Решить диофантово уравнение

Это тоже из области физико-химии растворов?...

Простите меня за неточность формулировки задачи, maxal... но необходимо найти ненулевые решения данной системы, т.е ни одно из $x, y, z, t, u, v$ не должны быть равны нулю...



Редактировалось 1 раз(а). Последний 26.08.2008 09:42.

Ненулевых решений тоже полно. Например, в частности, порождаемых пифагоровыми тройками;
$(x,z,v)=(y,t,u)=(3,4,5)$

вот тогда такое решение:

$(x,z,v) = (1, 9, 4)$, $(y,t,u) = (5, 3, 8)$

$(x,z,v) = (3, 4, 30)$, $(y,t,u) = (18, 24, 5)$

и т.д. и т.п.

или вы сейчас еще какое-нибудь ограничение вспомните?

общей формулы нет
но уже из одного решения можно получить бесконечное их множество просто домножая все значения переменных на одну и ту же константу.

а вот небольшой списочек примитивных решений (у которых НОД всех значений равен 1), с точностью до одновременной циклической перестановки обоих векторов:

[1, 4, 9] [5, 8, 3]
[1, 4, 10] [8, 7, 2]
[3, 4, 10] [6, 8, 5]
[3, 9, 12] [11, 7, 8]
[1, 4, 15] [13, 8, 3]
[3, 4, 15] [9, 12, 5]
[1, 8, 14] [12, 9, 6]
[1, 7, 16] [13, 11, 4]
[6, 8, 15] [9, 12, 10]
[4, 11, 14] [13, 8, 10]
[1, 9, 16] [7, 15, 8]
[2, 13, 14] [18, 6, 3]
[4, 10, 17] [12, 15, 6]
[6, 12, 15] [7, 16, 10]
[3, 4, 20] [12, 16, 5]
[5, 8, 19] [15, 12, 9]
[5, 13, 16] [15, 9, 12]
[3, 12, 18] [16, 11, 10]
[1, 11, 20] [17, 13, 8]
[2, 16, 17] [22, 7, 4]
[3, 13, 20] [21, 11, 4]
[1, 10, 22] [18, 15, 6]
[6, 15, 18] [17, 10, 14]
[2, 5, 24] [14, 20, 3]
[5, 16, 18] [20, 13, 6]
[3, 12, 22] [24, 5, 6]
[3, 4, 25] [15, 20, 5]
[2, 13, 22] [19, 14, 10]
[3, 9, 24] [19, 17, 4]
[4, 9, 25] [16, 21, 5]
[5, 11, 24] [7, 23, 12]
[6, 8, 25] [15, 20, 10]
[7, 17, 20] [19, 11, 16]
[2, 19, 20] [26, 8, 5]
[5, 16, 22] [20, 13, 14]
[2, 11, 26] [21, 18, 6]
[1, 5, 28] [13, 25, 4]
[5, 16, 23] [25, 8, 11]
[2, 10, 27] [26, 11, 6]
[4, 10, 27] [28, 5, 6]
[5, 12, 26] [10, 24, 13]
[1, 14, 26] [22, 17, 10]
[1, 16, 25] [9, 24, 15]
[3, 12, 27] [29, 4, 5]
[3, 12, 27] [19, 20, 11]
[8, 17, 23] [24, 9, 15]
[8, 19, 22] [21, 12, 18]
[3, 4, 30] [18, 24, 5]
[1, 13, 28] [23, 19, 8]
[4, 17, 26] [23, 16, 14]

Лучше поздно чем никогда, поэтому напишу ка я формулу решения этого уравнения. Буду надеяться, что нигде не ошибусь. Степень, мне тяжело набирать, поэтому заменю умножением само на себя. Если кто не совсем поймёт, зайдите на форум Академгородка, в раздел по летающим тарелкам, я там в виде рисунка тоже скину. Значит так! Система диофантовых уравнений:
$xx-yy+zz-tt+qq-uu=0$
$xy+zt-qu=0$
Имеет решения и их можно выразить через целые числа $a,b,n,k$ , для записи проще выразим через :
$p=aa-3bb$
$s=2ab-4bb$
$j=3bb-4ab+aa$
Тогда формула решения этого уравнения имеет следующий вид:
$x=[j(pp-4ps+3ss)-(p-s)(3pp-4ps+ss)]kk+2(j-2(p-s))(p-s)kn+(j-p+s)nn$
$y=(p-s)(4j(p-s)-3pp+4ps-ss)kk+2(p-s)(j-2(p-s))kn-(p-s)nn$
$z=[j(pp-4ps+3ss)+s(3pp-4ps+ss)]kk+2(p-s)(2s+j)kn+(j+s)nn$
$t=[j(p+s)-3pp+4ps-ss](p-s)kk+2[jp-2(p-s)(p-s)]kn+(j-p+s)nn$
$q=[j(5pp-8ps+3ss)-(p-s)(3pp-4ps+ss)]kk+2[j(2p-s)-2(p-s)(p-s)]kn+(j-p+s)nn$
$u=[j(pp-4ps+3ss)+(2s-p)(3pp-4ps+ss)]kk+2(p-s)(j+2(2s-p))kn+(j+2s-p)nn$

Формулы длинные, поэтому подбором их найти не получалось. Надо было решить это уравнение!
Кстати, после подстановок чисел, для получения примитивных решений может возникнуть необходимость, сократить на наиболее общий делитель.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 19.10.2013 11:35.

Задачу для сумм кубов решил для частного симметричного случая, когда 4 или 5 слагаемых. Я выбрал красивые, когда решения задаются Пифагоровыми тройками. Хотя решения можно записать для любого числа слагаемых. Кстати там на форуме Академгорода раздел Наука laite (лайт). Это раздел по не традиционной научной ориентации. Меня туда поместили за то что решил слишком много уравнений.

Некоторые формулы мне не видно или такая абракадабра, что не пойму что там.

Цитата
individ
Лучше поздно чем никогда, поэтому напишу ка я формулу решения этого уравнения. Буду надеяться, что нигде не ошибусь. Степень, мне тяжело набирать, поэтому заменю умножением само на себя. Если кто не совсем поймёт, зайдите на форум Академгородка, в раздел по летающим тарелкам, я там в виде рисунка тоже скину. Значит так! Система диофантовых уравнений:
$xx-yy+zz-tt+qq-uu=0$
$xy+zt-qu=0$
Имеет решения и их можно выразить через целые числа $a,b,n,k$ , для записи проще выразим через :
$p=aa-3bb$
$s=2ab-4bb$
$j=3bb-4ab+aa$
Тогда формула решения этого уравнения имеет следующий вид:
$x=[j(pp-4ps+3ss)-(p-s)(3pp-4ps+ss)]kk+2(j-2(p-s))(p-s)kn+(j-p+s)nn$
$y=(p-s)(4j(p-s)-3pp+4ps-ss)kk+2(p-s)(j-2(p-s))kn-(p-s)nn$
$z=[j(pp-4ps+3ss)+s(3pp-4ps+ss)]kk+2(p-s)(2s+j)kn+(j+s)nn$
$t=[j(p+s)-3pp+4ps-ss](p-s)kk+2[jp-2(p-s)(p-s)]kn+(j-p+s)nn$
$q=[j(5pp-8ps+3ss)-(p-s)(3pp-4ps+ss)]kk+2[j(2p-s)-2(p-s)(p-s)]kn+(j-p+s)nn$
$u=[j(pp-4ps+3ss)+(2s-p)(3pp-4ps+ss)]kk+2(p-s)(j+2(2s-p))kn+(j+2s-p)nn$
.

Вот результаты моих расчетов.

a  b  n   k   p    s    j    x     y    z     t      q    u      F      G
1  2  1   1  -11  -12   5   148   46   332  -204  -174   348   -2432   -368
1  2  1   2  -11  -12   5   592  175  1425  -600  -500  1500   -9536  -1400

В таблице F,G - вычисленные по формулам значения левых частей уравнений. Вполне возможно, что я ошибся, но проверял весьма тщательно. Нужно разобраться, как эти формулы работают.

Цитата
individ
Вы ошиблись когда считали Х. .

Действительно, коэффициент при nn у меня имел другой знак. Исправил и проверил при $ a, b, n, k, \in \{ 1, 2, ..., 50 \} $ - рассчитанные значения $ x, y, z, t, q, u $ удовлетворяют заданным уравнениям. Думаю, что проверка прямой подстановкой даст положительный результат.