Шестиугольники на шаре

Автор темы esb777 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеПравила и принципы форума «Высшая математика»28.10.2009 15:17
ОбъявлениеМатематики, программисты, репетиторов (платформа SapioX)28.01.2021 12:47
ОбъявлениеTinkoff Business Analyst / Product Owner19.02.2021 19:06
04.02.2009 18:49
Шестиугольники на шаре
Здравствуйте. Столкнулся с конкретной геометрической задачей. Помогите решить.
Необходимо на шар, заданного диаметра, нанести правильные шестиугольники разного размера так, чтобы они состояли из 6 равносторонних треугольников. Я так понимаю, не любое расстояние (длина дуги) будет удовлетворять условиям.
Одним словом, как зная диаметр шара, стоить на нем равносторонние треугольники, образующие шестиугольник и как узнать расстояние, которое позволит равномерно заполнить весь шар шестиугольниками или равносторонними треугольниками на подобии футбольного мяча.
Буду благодарен за помощь.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 04.02.2009 19:07.
05.02.2009 01:41
Шестиугольник невозможен
Суииа углов треугольника площади S на сфере единичного радиуса больше числа пи на величину S.
Сумма всех углов, образованных "сферическими лучами", выходящими из одной точки равна двум пи. Если это углы шести равносторонних треугольников , составляющих шестиугольник, то угол треугольника равен пи/3, т.е. сумма углов треугольника равна пи, т.е. площадь каждого треугольника равна нулю. Вывод: правильный сферический шестиугольник невозможно разрезать на правильные треугольники.
Дополнительно заметим, что правильные шестиугльники, имеющие общую сторону, равны; если два шестиугольника имеют налегающие стороны, то эти стороны совпадают, т.е. это общая сторона (т.к. шестиугольники по условию покрывают всю сферу и не имеют острых углов). Следовательно, если сферу разбить на правильные шестиугольники, то это непременно центральная проекция на сферу некоторого правильного многогранника состоящего из шестиугольных граней. Но среди пяти платоновых тел таких не наблюдается
Здесь как очевидное использованы факты: 1) равенство (сферических) треугольников по трем сторонам; 2) если из данных треугольников сложен многоугольник, то мы предполагаем, что их налегающие стороны являются общими и потому равны; 3) против равных углов в треугольнике лежат равные стороны и наоборот.
Эти факты очевидны не только в евклидовой планиметрии, но и в сферической.
На футбольном мяче можно сложить правильный пятиугольник из пяти правильных треугольников с углами 72 градуса. Площадь такого треугольника равна пи/5, а пятиугольника пи. Треугольники можно расположить только одним способом - центральная проекция на сферу вписанного икосаэдра. Это расположение из 20 треугольников можно представить как объединение двух центрально симметрично расположенных пятиугольников и разделяющего их пояса в виде правильной антипризмы Архимеда (проекция на сферу). Теоретически кажется возможным разбить поверхность сферы на 4 пятиугольника, но это не так, ибо в одной вершине не могут сойтись 6 треугольников.
Если не ошибаюсь, мяч покрывают пятиугольниками и квадратами неразбиваемыми на правильные треугольники. Надо подобрать полуправильный многогранник, который имеет такое сферическое изображение.
Но мяч (точнее - геометрическую сферу) можно склеить из 12 правильных пятиугольников - это проекция на сферу вписанного в нее додекаэдра. Эти пятиугольники можно составить из равнобедренных, но не равносторонних треугольников. Еще сферу можно склеить из 8 (проекция октаэдра) или 4-х (тетраэдр) треугольиков или 6-и квадратов (куб).

Для вычислений следует использовать следующие соображения: угол на сфере (между дугами больших кругов) равен двугранному углу (между этими кругами); площадь треугольника вычисляется через сумму углов (см. выше), и любого многоугольника тоже (теорема Гаусса-Бонне - см. справочник или учебник диф. геометрии), формулы сферической тригонометрии (теорема синусов и косинусов) можно найти в справочнике, если правильные треугольники имеют одинаковую площадь, то они равны (тоже о правильных многоугольниках). Площадь сферы 4пи (мы говорим о единичной сфере!!!)



Редактировалось 2 раз(а). Последний 05.02.2009 02:47.
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти