07.07.2004 16:17 Дата регистрации:
8 лет назад Посты: 303 | Действительно, увы :( Цитата
2Гастрит: конечно, мехмат и его выпускники -- люди весьма своеобразные, с высокой самооценкой и все такое, но со стороны ваше поведение производит крайне негативное впечателние. Пренебрежительно-нравоучительный тон, которым вы так часто пользуетесь, отнюдь не делает ваши доводы более убедительными, тем более что спорить вы почему-то беретесь на пустом месте. Я понимаю, в определенном возрасте всем хочется посамовыражаться, но мы-то с вами его давно преодолели...
Грешен :( У меня есть только одно оправдание - слово "Вы" в обращении я пишу с большой буквы. Кажется, один из немногих на данном форуме... С уважением, Гастрит
|
07.07.2004 17:54 Дата регистрации:
9 лет назад Посты: 14 | Неправильно А если m<n. Тогда что? Матрицу образать?
|
07.07.2004 20:28 Anonim | В условии ничего про это не сказано Поэтому говорить, что это неправильно - некорректно. А для этого случая - щас подумаю...
|
08.07.2004 16:08 mozzie | простите, что спрашиваю "мафемафик", это от слова мафия? :) Прошу прощения, но не удержлся :o)
|
09.07.2004 14:44 Дата регистрации:
8 лет назад Посты: 303 | Простите, что отвечаю Цитата
mozzie писал(а) :
"мафемафик", это от слова мафия? :)
Прошу прощения, но не удержлся :o)
Причём дважды повторённого: мафия из мафий :) :) С уважением, Гастрит
|
18.07.2004 19:14 deil | как нас учили на алгебре допустим у нас есть матрицы A, B и соотношение: A = B^2 т.е. B - и будет корень из матрицы по теореме, если А - положительно определена (положительно определённый оператор), то такое В существует и единственно и чтобы его найти, нужно для начала найти ортонормированный базис пространства (для пространства nxn - (1, .. , 0), (0, 1, ..) и т.д. :)), затем матрицу А перевести в данный базис. тогда [A]f будет иметь вид diag(a1, ... ,an), где a_i - собственные числа и тогда в данном базисе B будет иметь вид diag = (a1^1/2, ..., a_n^1/2) ну а затем нужно будет перевести матрицу В в начальный базис.. вообще, на практике это делается достаточно несложно.. единственное - надоедает считать :-) p.s. только вот никак не могу вспомнить.. вроде бы это только для квадратных матриц :-(
|
18.07.2004 21:27 Дата регистрации:
9 лет назад Посты: 85 | Дополнение Цитата
p.s. только вот никак не могу вспомнить.. вроде бы это только для квадратных матриц :-(
Скорее для симметрических -- в противном случае никакого ортонормированного собственного базиса может не быть. Положительная определенность здесь особо не нужна -- просто корни будет комплексные.
|
19.07.2004 01:45 deil | я вспомнил мм.. я вспомнил у нас есть линейный оператор A: V -> V [A] - его матрица и утверждается, что если А - положительно опеределён, то существуент единственный оператор B, такой что A = B^2 в данном случае [A] - квадратная матрица и, кстати, из прямоугольных матриц нельзя извлечь корень т.е. не существует такого B это следует из определения умножения матриц: B*B определено только тогда, когда В из M(n, K) но могу ошибаться.. алгебра кончилась более полугода назад..
|
19.07.2004 15:14 Anonim | А прочитать? В условии была задача нахождения такой прямоугольной матрицы X, что X*Xt = A, A - симм, полож. определённая. Конечно, если X - n x m, где m < n, а n - размер квадратной матрицы A, то задача может быть решена только для вырожденных матриц. В случае, если m = n - задача вырождается в нахождения корня. В случае, если m > n - тоже.
|
19.07.2004 15:49 Дата регистрации:
8 лет назад Посты: 303 | Лучше забудьте :) Цитата
deil писал(а) :
мм..
я вспомнил
у нас есть линейный оператор A: V -> V
[A] - его матрица
и утверждается, что если А - положительно опеределён, то существуент единственный оператор B, такой что A = B^2
Вам не кажется, что Ваш тезис несколько расходится с основной теоремой алгебры? ;) Цитата
в данном случае [A] - квадратная матрица
и, кстати, из прямоугольных матриц нельзя извлечь корень
т.е. не существует такого B
это следует из определения умножения матриц: B*B определено только тогда, когда В из M(n, K)
Вопрос был про B*B^T - читайте внимательнее. Цитата
но могу ошибаться.. алгебра кончилась более полугода назад..
Поистине, можете ;) С уважением, Гастрит
|
09.08.2004 04:23 deil | .. брр.. изначально стоял вопрос об извлечении корня из матрицы очевидно, что вопрос имеет ответ только для квадратных а для этого есть несложный алгоритм: переходим в ортонормированный базис, получаем диагональную матрицу, извлекаем корень и возвращаемся обратно это на практике.. в теории я попытался привести соответствующую теорему, но за давностью её изучения мог допустить некоторые неточности зы. если я всё-таки неправ в алгоритме, прошу меня поправить. а то вдруг придётся в очередной раз извлекать корни, а у меня каша в голове.. :)
|
09.08.2004 18:25 igor54 | Учись, Гастрит Пусть f - функция. Найти f(A). Обоснование и применимость оставим для Гастрита. Разложим f в степенной ряд (только теоритически). Пусть g - характеристический многочлен A. Поделим f на g с остатком. Итак, f=qg+r, где q - ряд и deg r< deg g. По известной теореме f(A)=r(A). Пусть \lambda - собственное значение кратности n. Имеем систему линейных уравнений f^(k)(\lambda)=r^(k)(\lambda), где k=1,...,n и так для всех собственных значений. Отсюда находится r. Если делить на минимальный многочлен, то можете в качестве упражнения доказать, что квадратный корень существует тогда и только тогда, когда нет жордановых клеток резмера > 1 с нулями на диагонали.
|
09.08.2004 19:42 Дата регистрации:
8 лет назад Посты: 303 | .... Цитата
deil писал(а) :
очевидно, что вопрос имеет ответ только для квадратных
а для этого есть несложный алгоритм: переходим в ортонормированный базис, получаем диагональную матрицу
А Вы уверены, что: 1) исходный базис не был ортонормированным? ;) 2) собственный базис всякой квадратной матрицы: __2a) существует; __2b) является ортонормированным? На практике: попробуйте применить Ваш несложный алгорифм к матрице (1&1\\0&1) ;) Цитата
извлекаем корень
Который (из двух для каждого собственного значения)? ;) С уважением, Гастрит
|
09.08.2004 19:49 Дата регистрации:
8 лет назад Посты: 303 | Учусь, igor54... Цитата
igor54 писал(а) :
Пусть f - функция. Найти f(A). Обоснование и применимость оставим для Гастрита. Разложим f в степенной ряд (только теоритически).
Нет уж, пожалуйте практически :) Функция f(z)=z^{1/2} раскладывается в степенной ряд не всегда :( И нет никакой гарантии, что в какой-то из кругов сходимости такого ряда попадёт весь спектр матрицы A :( :( С уважением, Гастрит
|
26.03.2012 22:16 Дата регистрации:
3 года назад Посты: 7 | извлечение корня Не забудьте еще что например матрица $A=\begin{Vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{Vmatrix}$ удовлетворяет уравнению $A^2=E$ и является также кандидатом на значение $\sqrt(A)$Таким образом значений корня из матрицы по крайней мере 2
|
27.03.2012 00:31 Дата регистрации:
2 года назад Посты: 678 | ... Иногда они возвращаются....
|
