Как определяется понятие существования в математике?

Автор темы Ent 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеПравила и принципы форума «Высшая математика»28.10.2009 15:17
ОбъявлениеОткрыта свободная публикация вакансий для математиков26.09.2019 16:34
ОбъявлениеАктуарий в PPF Life Insurance (Junior)25.03.2021 21:35
16.07.2004 03:54
Ent
Как определяется понятие существования в математике?
Как определяется понятие существования в математике?
16.07.2004 08:59
ljoha
Ээ...
"Существует A из множества B такое, что C(A)"--
это аналог выражения
"множество D={x из B|C(x)} не является пустым"

Понятие множества не определяется.
Понятие равенства множеств определяется:
A=B, это когда каждое из них -- подмножество второго.
A -- подмножество B, это когда любой элемент A содержится в B.
Понятие пустого множества определяется, но криво.
Например так: множество называется пустым, если оно является подмножеством любого множества.
Здесь не ясно, что такое любое множество (множества всех множеств нет).

Если я где-то наврал, поправьте меня!
16.07.2004 12:48
Ууу...
Цитата

ljoha писал(а) :
"Существует A из множества B такое, что C(A)"--
это аналог выражения
"множество D={x из B|C(x)} не является пустым"

Понятие множества не определяется.
Понятие равенства множеств определяется:
A=B, это когда каждое из них -- подмножество второго.
A -- подмножество B, это когда любой элемент A содержится в B.
Понятие пустого множества определяется, но криво.
Например так: множество называется пустым, если оно является подмножеством любого множества.
Здесь не ясно, что такое любое множество (множества всех множеств нет).

Если я где-то наврал, поправьте меня!

Наврали, причём многократно. Во-первых, Вас спрашивали "как определяется понятие существования в математике", а Вы стали отвечать на вопрос "как определяется понятие существования в канторовском учении о множествах". Так что Вы подменили поставленный вопрос своим собственным.

Во-вторых - докажите, что утверждение "любое D вида D={x из B|C(x)} пусто" не является истинным ;) Если у Вас имеется такое доказательство - марш за филдсовской и всеми прочими математическими премиями мира.

Число возражений против написанного Вами бреда (извините, но это - именно бред) можно умножать и дальше.

На самом деле в математике термин "существует" означает "потенциально осуществим". То есть фраза "существует объект X" расшифровывается как "известен способ построения объекта X" - например, имеется соответствующая программа для ЭВМ.

С уважением,
Гастрит

16.07.2004 17:20
Ent
Построение
Термин "построение" сам тоже не очень хорошо понятен...
Например, можно ли построением считать применение алгоритма, каждый шаг которого описан в правилах построения из аксиоматики?
Ведь иногда попадаются объекты, для построения которых приходится разрешать счётное применение шагов или даже больше.

А как насчёт "не противоречивости аксиоматики"? Например, существование множеств между алеф0 и континуумом не противоречит аксиоматике, но такие множества невозможно построить?

"существование", как "существование построения" опирается на само себя. Как ясно определить "существование построения"?
16.07.2004 17:53
Именно оно
Цитата

Ent писал(а) :
Термин "построение" сам тоже не очень хорошо понятен...
Например, можно ли построением считать применение алгоритма, каждый шаг которого описан в правилах построения из аксиоматики?
Ведь иногда попадаются объекты, для построения которых приходится разрешать счётное применение шагов или даже больше.

Когда реально совершите счётно-бесконечное число шагов, зайдите. Ко мне на могилу. :) Со своей. :)

Цитата

А как насчёт "не противоречивости аксиоматики"? Например, существование множеств между алеф0 и континуумом не противоречит аксиоматике, но такие множества невозможно построить?

Не следует искать смысла в основанных на классической логике аксиоматиках - просто потому, что его там нет. "Существование" в этих теориях - это просто буква такая (перевёрнутая "E" ), с которой мы работаем по определённым правилам.

Кстати, Ваше утверждение мне не вполне понятно. Разве кто-то уже доказал непротиворечивость аксиоматических теорий множеств? Вроде бы континуум-гипотеза рассматривалась лишь в предположении такой непротиворечивости...


Цитата

"существование", как "существование построения" опирается на само себя. Как ясно определить "существование построения"?

Не знаю, откуда Вы взяли "существование построения". Я говорил только об известности способа для осуществления такого построения. Чтобы такое построение действительно провести, нужно иметь достаточные запасы времени и материала. Чаще всего они есть, однако не всегда.

Например: вот у нас есть программа некоего расчёта, про которую известно, что предположение о "зависании" процесса работы этой программы противоречиво. Мы из этого делаем вывод о существовании (потенциальной осуществимости) объекта, возникающего в результате работы данной программы. Запустив эту программу и дождавшись её остановки, мы получаем этот объект актуально. Но ведь иные программы могут работать до остановки миллионы лет (и даже те расчёты, которые сегодня проводятся за сутки, на технике пятидесятилетней давности нереально довести до конца в обозримый промежуток времени). Перестаёт ли объект быть потенциально осуществимым из-за недостаточности в данный момент ресурсов для его актуального построения? По-видимому, всё же нет.

С уважением,
Гастрит

16.07.2004 21:22
Ent
Вот, например...
Если из аксиом теории множеств убрать аксиому о существовании натурального ряда, то можно ли считать, что бесконечных множеств не существует, потому что их невозможно построить с помощью конечного применения операций над множествами?

А всегда ли нужно построение и всегда ли оно есть? Например, если доказывать существование через противоречие несуществованию? Может ли такое оказаться, что существующий объект невозможно построить?
19.07.2004 15:43
А зачем её вообще добавляли?
Цитата

Ent писал(а) :
Если из аксиом теории множеств убрать аксиому о существовании натурального ряда, то можно ли считать, что бесконечных множеств не существует, потому что их невозможно построить с помощью конечного применения операций над множествами?

На самом деле бесконечных множеств (если понимать множество как актуальную совокупность элементов) не существует. Причём независимо от выбора аксиоматики - от того, что сапожную щётку мы зачислим в одну категорию с млекопитающими, у неё не вырастут молочные железы ;)

И из того, что в некоторых аксиоматических теориях множеств выводима формула $\exists X P(X)$, где $P$ - одноместный предикат "X есть бесконечное множество", не следует ничего, кроме того, что эта формула выводима (простите за тавтологию). Ибо непонятно, какова связь аксиоматики с реальностью.

Цитата

А всегда ли нужно построение и всегда ли оно есть? Например, если доказывать существование через противоречие несуществованию? Может ли такое оказаться, что существующий объект невозможно построить?

Ваш вопрос неправильно поставлен - надо было спрашивать "может ли такое оказаться, что будет формально доказано существование несуществующего объекта"? Да, может. Во-первых, это будет так в любой противоречивой теории - в ней можно будет доказать что угодно :) Во-вторых, это может оказаться так, если аксиомы противоречат реальности.

С уважением,
Гастрит

19.07.2004 17:02
Пример: главные идеалы в кольце многочленов
Предварительные соглашения.
Идеалом (в кольце многочленов с рациональными коэффициентами)
назовём предикат-алгорифм J, которому в качестве аргумента
даётся многочлен (в виде набора коэффициентов),
причём выполняются обычные свойства идеала:
1) если p, q - многочлены, J(p) и J(q), то J(p+q);
2) если p, q - многочлены и J(p), то J(pq).
(Естественно, в теоретико-множественной математике
вместо "J(p)" пишут "p принадлежит J".)

Для любого многочлена p определим предикат J_p следующим правилом:
J_p(q)=1 <=> p\q (p делит q).
Ясно, что J_p - идеал. Будем говорить, что он порождён многочленом p.
(Идеалы такого вида называют главными.)

Легко видеть, что если J - идеал и p - многочлен,
то следующие условия равносильны:
(a) J=J_p;
(b) для любого q из условия J(q) следует p\q;
(c) для любого q из условия J(q) следует deg(p)<=deg(q).

В теоретико-множественной математике отсюда выводится,
что любой идеал является главным, то есть для любого идеала J _существует_ такой многочлен p, что J=J_p. (В качестве порождающего многочлена p "берётся" многочлен наименьшей степени, принадлежащий J.)

Формулировка вопроса:
Можно ли здесь слову _существует_ придать конструктивный смысл?

Возникает предположение, что если несколько хороших математиков
основательно изучат принцип работы алгорифма J, то они смогут найти порождающий многочлен p (такой, что J=J_p).

В случае с монотонными последовательностями подобное предположение, оказалось ложным. :) Интересно, как обстоит дело здесь.
19.07.2004 17:09
P.S.: достаточно предъявить хотя бы один элемент идеала,
и среди его делителей, имеющих старшие коэффициенты 1 (таких делителей конечное число) найдётся многочлен, порождающий идеал.
Можно ли по предикату J построить хотя бы один многочлен p, удовлетворяющий J?
20.07.2004 04:00
Фёдорыч
Обоснование существования
Цитата

Ибо непонятно, какова связь аксиоматики с реальностью.
На математических форумах я пытаюсь протолкнуть, казалось бы, простую мысль: "Вселенная многообразна, и Разум, как продукт Вселенной, не может изобрести ничего такого, чего в ней нет". Соответственно, и аксиомы существования, на самом деле являются выбором позиции наблюдателя.

20.07.2004 12:44
сон разума творит чудовищ :)
Цитата

Фёдорыч писал:
На математических форумах я пытаюсь протолкнуть, казалось бы, простую мысль: "Вселенная многообразна, и Разум, как продукт Вселенной, не может изобрести ничего такого, чего в ней нет".
...

Мне тоже иногда хочется так думать.
Наверное, где-то летает живой семнадцатиголовый оранжевый дракон с размахом крыльев 10^100 метров, которого я только что изобрёл... Конечно, этот дракон возник не на пустом месте: в мире есть число семнадцать (в каком-то смысле), есть апельсины и были птеродактили. Более того, этот дракончик сейчас присутствует в виде процесса в наших церебральных частях тела. Но вопрос-то в том, существует ли он на самом деле.

Вы сами знаете множество придуманных объектов в математике и естественных науках, которые либо имеют внутренние противоречия, либо противоречат экспериментам, так что существовать в действительности никак не могут.
21.07.2004 03:50
Фёдорыч
Летает - но где и когда?
Цитата

Вы сами знаете множество придуманных объектов в математике и естественных науках, которые либо имеют внутренние противоречия, либо противоречат экспериментам, так что существовать в действительности никак не могут.

Всем, что можно проверить экспериментом, занимается натуральная философия. Там это высший судья. Для прочих видов философии важна лишь внутренняя непротиворечивость.
Математика - та же философия, и подчинена тем же законам. Есть эксперементальная, с циркулем и линейкой - и много иных, где за основу берётся набор аксиом.

21.07.2004 10:02
Учитесь делать нормальные цитаты (+)
Фёдорыч,

Чтобы сделать цитату, надо заключить текст в тэги [quotе] и [/quotе].
Это и многое другое описано в помощи.

21.07.2004 14:58
Хто-то
Правильно вопрос поставлен(+)
Цитата (Ent):

А всегда ли нужно построение и всегда ли оно есть? Например, если доказывать существование через противоречие несуществованию? Может ли такое оказаться, что существующий объект невозможно построить?


Ответ Гастрита:
Ваш вопрос неправильно поставлен - надо было спрашивать "может ли такое оказаться, что будет формально доказано существование несуществующего объекта"? Да, может. Во-первых, это будет так в любой противоречивой теории - в ней можно будет доказать что угодно Во-вторых, это может оказаться так, если аксиомы противоречат реальности.

А по моему правильно вопрос поставлен. По моему ожидать, что мы своими мозгами можем построить все что существует - это самоуверенность. Объекты появляются не только путем построения или вывода. Может ведь и случайно мысль в голову прийти что, вот существует объект с такими-то и такими-то свойствами и окажется, что свойства эти не противоречат свойствам уже существующих объектов. А потом еще окажется, что и в реальности этому объекту что-то соответствует. Может такое быть? Противоречивость тут не причем.

И вообще о противоречивости. Часто объекты, пришедшие извне - противоречивы. (Дельта-функция Дирака, например). Потом математика их как-то переваривает, включает в себя, но - вначале они противоречивы. Так что с противоречиями я бы поаккуратней был...

Ага, сразу вопрос - как бы вы построили дельта-функцию Дирака?

(Чур меня, чур, нету такой функции! - Так что ли?)
21.07.2004 15:09
в аксиоматике важна не только внутренняя непротиворечивость
Цитата

Фёдорыч писал:
Всем, что можно проверить экспериментом, занимается натуральная философия. Там это высший судья. Для прочих видов философии важна лишь внутренняя непротиворечивость.
Математика - та же философия, и подчинена тем же законам. Есть эксперементальная, с циркулем и линейкой - и много иных, где за основу берётся набор аксиом.

Бывает ещё важно, насколько хорошо математическая теория применяется к решению известных задач (как "чисто математических", так и задач, имеющих отношение к "натуральной философии": физике, химии, биологии, экономике и т. д.).

Система аксиом по-настоящему интересна тогда, когда она имеет простые и важные реализации (конечные группы, гильбертово пространство). В этом случае система аксиом - просто такой набор свойств, которыми обладают "реальные" объекты, который оказывается достаточным при рассмотрении определённых задач.

Другими словами:
Наиболее интересны те аксиомы, которые можно "доказать" (c).
(Проверить, что эти аксиомы для чего-то выполняются.)

Гастрит вот утверждает, что всё, что есть полезного в математике, может быть получено с помощью конструктивных методов. Правда, это скорее девиз, чем факт. Учебников по конструктивному функциональному анализу либо по конструктивной теории дифференциальных уравнений я пока что не замечал.
21.07.2004 15:19
(+-*/)
Цитата

Хто-то писал(а) :

А по моему правильно вопрос поставлен. По моему ожидать, что мы своими мозгами можем построить все что существует - это самоуверенность. Объекты появляются не только путем построения или вывода. Может ведь и случайно мысль в голову прийти что, вот существует объект с такими-то и такими-то свойствами и окажется, что свойства эти не противоречат свойствам уже существующих объектов. А потом еще окажется, что и в реальности этому объекту что-то соответствует. Может такое быть? Противоречивость тут не причем.

Спасибо Вам - теперь я знаю, что такое поток сознания...

Цитата

И вообще о противоречивости. Часто объекты, пришедшие извне - противоречивы. (Дельта-функция Дирака, например).

Вы хоть знаете, что это такое? Или Вы - один из тех третьекурсников, которые месяц назад на моих глазах хватали заслуженные двойки за попытки определить оную как "функцию с бесконечным значением в нуле и нулевыми значениями вне нуля"? :)

Прежде чем делать выводы о том или ином математическом объекте, нужно этот объект изучить. Впредь, пожалуйста, так и поступайте.

Цитата

Ага, сразу вопрос - как бы вы построили дельта-функцию Дирака?

(Чур меня, чур, нету такой функции! - Так что ли?)

Да, так - для Вас такой функции нету, ибо Вы не знаете, что она из себя представляет. Но это - не мои проблемы.

С уважением,
Гастрит

22.07.2004 06:38
Хто-то
О дельта-функции и конструктивизме
Гастрит писал:
Вы хоть знаете, что это такое? Или Вы - один из тех третьекурсников, которые месяц назад на моих глазах хватали заслуженные двойки за попытки определить оную как "функцию с бесконечным значением в нуле и нулевыми значениями вне нуля"?
... Вы не знаете, что она из себя представляет. Но это - не мои проблемы.

Отвечаю.

Я бы вам посоветовал с оценками собеседников поаккуратней быть. (Чтоб в глупое положение не попадать.)

Специализировался я по функану, так что про функцию Дирака могу много чего рассказать. А появилась эта функция как собственная функция оператора с непрерывным спектром (оператора умножения на независимую координату). И построения, за которые вы ратуете не помогут к этой функции прийти. (Вам обидно? "опять природа ведет себя не так"?). Функция Дирака в результате абстракции появляется: собственных функций у оператора умножения на независимую координату нет, но есть функции похожие на собственные. Если довести дело до конца, то как раз и получится функция везде , кроме одной точки,равная нулю, но интеграл от нее равен единице. И только после этого "определения" (и то не сразу) были придуманы обобщенные функции. Такова история. В реальности, вне математики(!), возникли некие объекты. Они не были построены таким образом, что взяли некие положения и жонглируя символами построили новое.

Ваша беда в том, что вы, похоже, слишком зациклились на конструктивизме. На мой взгляд (только не обижайтесь!), конструктивизм появился как реакция на работы Георга Кантора. Кантор сделал кое-что - и разворошил тем самым осиное гнездо. Завидно людям стало, вот и начали они его критиковать. Надо было людям как-то себя проявить, а где Кантор побывал - там Кронекеру делать нечего, остается только критиковать. За хорошими теориями стоят сильные эмоции - вера в бога, желание всех облагодетельствовать, или, наоборот, всех изничтожить... Ну а если теория на зависти построена, как конструктивизм, то она вряд ли будет хорошей, вряд ли можно с ее помощью что-нибудь получить. Это мое мнение, я прошу вас не обижаться. Я никого не хочу обидеть. Так я вижу факты.
23.07.2004 03:10
Фёдорыч
извинение
Цитата

Чтобы сделать цитату, надо заключить текст в тэги ...

В угол поставлен, лекция прочитана - уже на пути к исправлению.

23.07.2004 03:53
Фёдорыч
В сказке своя реальность
Цитата

Наиболее интересны те аксиомы, которые можно "доказать" (c).(Проверить, что эти аксиомы для чего-то выполняются.)
Любое утверждение истинно - в некой своей реальности. Если в нашей реальности оно ложно - это наши проблемы.Так что аксиомы можно избирать произвольно - лишь бы теория отвечала, в каком-либо сочетании, на основные вопросы философии: "Что, Где, Когда, Почему?" В частности, в натуральной философии отсутствует вопрос: "Почему?" - "Мы, Здесь, Сейчас!" - всё.

23.07.2004 13:55
красиво сказано
Цитата

Фёдорыч писал:
Любое утверждение истинно - в некой своей реальности. Если в нашей реальности оно ложно - это наши проблемы.

Да, этот сказочный подход неплохо сам себя подтверждает:
прочитав утверждение
(A) Любое утверждение истинно - в некой своей реальности,
сразу понимаешь, что в некой реальности (A) истинно. :)

Конечно, можно называть "реальностями" любые состояния моей мозги, и тогда любая чушь, промелькнувшая в моём сознании (и подсознании), сразу будет считаться реальной. Но такое тривиальное решение я не считаю красивым.

Интересно, в каких реальностях, по Вашему, истинны следующие
простые утверждения:
1. 0 не равен 0.
2. Утверждение 2 ложно.

Комментарии.
1. В утверждении 1 словам "0" и "не равен" уже приписан чёткий смысл, и утверждение явно ложно. Как Вы сделаете его истинным, не меняя смысла слов "0" и "не равен" ?
2. Как я понимаю, в обычной логике предложение 2 вообще не является утверждением. Что можно сказать о нём с точки зрения Вашего подхода?

Цитата

Фёдорыч писал :
Так что аксиомы можно избирать произвольно - лишь бы теория отвечала, в каком-либо сочетании, на основные вопросы философии: "Что, Где, Когда, Почему?" В частности, в натуральной философии отсутствует вопрос: "Почему?" - "Мы, Здесь, Сейчас!" - всё.

Я так понимаю: объяснить причину - значит показать, как частное явление следует из общего закона. В этом смысле математика и естественные науки порою неплохо отвечают на некоторые вопросы "почему".

Как может какая-нибудь теория ответить на вопрос, почему истинны аксиомы этой теории? При обычном (не сказочном) подходе истинность аксиом теории проверяется вне теории.
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти