Равнораспределение означает, что вероятность попадания точки в "бесконечно малую область" пропорциональна площади этой области.
1) Рассмотрим преобразование квадрата IxI в треугольник с помощью преобразования:
$\lambda_1=\min(p,q)$$\lambda_2=\max(p,q)-\lambda_1$Выбросим из единичного квадрата IxI его диагональ (она имеет меру 0). На каждом из двух оставшихся треугольников мы имеем взаимно однозначное линейное отображение с модулем якобиана равным 1 в любой точке. Эти треугольники при этом склеиваются, но это не важно - главное это то, что одинаковые площади преобразуются в одинаковые площади (что характерно для линейных 1-1 преобразований). Образом квадрата получается треугольник ограниченный координатными прямыми и прямой
$\lambda_1+\lambda_2=1$2) Полученный треугольник является проекцией треугольника получаемого пересечением плоскости
$\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1$ с трехгранным углом, образуемым положительными квадрантами координатных плоскостей (это равносторонний треугольник, получаемый Вами в п.2).
Т.к. проектирование переводит равные площади в равные, то распределение
$(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)$ является равномерным в указанном треугольнике.
3) В пункте 3 Вы с помощью линейного преобразования переводите этот треугольник в данный. Как уже отмечалось, якобиан линейного преобразования не зависит от точки и сохраняет равновеликость.
Замечание: отображение одной плоскости на другую, порожденное линейным пребразованием трехмерного пространства является линейным преобразованием плоскости при любом выборе координат в плоскостях . Термин "линейное преобразование" я использовал в школьном смысле, т.е. речь идет об афинном преобразовании.
