Предел: ((a^(1/n) + b^(1/n))/2)^n при n стремящемуся к бесконечности

Никак не удается найти предел:
$ \lim_{n \to +\infty}{{ \left( \frac{\root{n}{a}+\root{n}{b}}{2} \right) }^n} $



Редактировалось 1 раз(а). Последний 09.07.2009 15:08.

Если a = b, то вычисление предела не вызывает затруднений, он равен а.
Далее полагаем, что a > b, тогда, вынося за скобки $\root{n}{a}$ ,
получим предел выражения (постоянный множитель опускаем):
$\frac{(1+r_n)^n}{2^n}$, где $r_n\to1$ при $n\to\infty$.
Это положительная последовательность чисел $x_n$ , логарифм которых равен
$\lnx_n=n\ln(\frac{1+r_n}{2})$.
Для вычисления предела логарифма делаем замену переменной: $x=\frac{1}{n}$.
Получим при $x\to0$ вычисляется предел выражения (далее r = b/a):
$\frac{\ln(1+r^x)-\ln2}{x}$. По правилу Лопиталя этот предел равен $\frac{\lnr}{2}$.

Исходный предел равен: $\sqrt{ab}$.

Рад и горд, что смог помочь Вам найти этот сложный предел!
Использовать в столь тривиальной ситуации умыкнутое маркизом де Лопиталем у Бернулли правило считаю излишним.
В ситуации, когда ищется $\lim_{n \to +\infty}(a_n )^{b_n } = 1^\infty$ , он существует и равен $e^A$ , если существует конечный или бесконечный предел $\lim_{n \to +\infty}((a_n )-1)(b_n ) = A$.
В данном случае $A = \lim_{n \to +\infty}\frac{(\root{n}{a} - 1)}{2}n+\lim_{n \to +\infty}\frac{(\root{n}{b} - 1)}{2}n = \lim_{t \to 0}\frac{{t\ln a}}{{2\ln (t + 1)}} + \lim_{u \to 0} \frac{{u\ln b}}{{2\ln (u + 1)}} = \ln \sqrt {ab}$.

В тесте РЭШ ?