Тервер: Проверте решение задачи. Имеется 2 урны и 50 черных и 50 белых шаров...

Имеется 2 урны и 50 черных и 50 белых шаров. В урны раскиданы шары соответствующем образом: x₁ и y₁ соответственно черных и белых шаров в первой урне и x₂ и y₂ соответсвенно черных и белых шаров во второй урне. x₁+x₂=y₁+y₂=50.
Человек с закрытыми глазами берет из наугад выбранной урны шар. Вопрос: какова наибольшая вероятность вытянуть черный шар и каков расклад шаров при макисмальной вероятности в урнах.

Я решал так:
Имеется x₁+x₂=50 черных и y₁+y₂=50 белых шариков. Причем в 1-ой корзине
лежат x₁+y₁ шарики, а во второй x₂+y₂ шариков.
Тогда вероятность вытащить черный шарик P(A)=P(H₁)P_H1(A)+P(H₂)P_H2(A),
где H₁ и H₂ - гипотезы обращения соотвественно к первой и второй
корзинам, а А - событие "вытащить черный шарик".

P(H₁)=P(H₂)=0.5
$ P_{H_1}(A)=\frac{x_1}{x_1+y_1}=\frac{x_1}{x_1+50-y_2} $
$ P_{H_2}(A)=\frac{x_2}{x_2+y_2}=\frac{50-x_1}{50-x_1+y_2} $


Заменим x=x₁ и y=y₂
$P(A)=P(H_1)P_{H_1}(A)+P(H_2)P_{H_2}(A)=0.5(\frac{x}{x+50-y}+\frac{50-x}{50-x+y})$

Далее находим производные $\frac{dP(A)}{dx}$ и $\frac{dP(A)}{dy}$ и решаем систему
$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{dP(A)}{dx}=0,\\ \frac{dP(A)}{dy}=0 \end{array} \right. $


$\frac{dP(A)}{dx} = \frac{1}{x+50-y} - \frac{x}{(x+50-y)^2} - \frac{1}{50-x+y} + \frac{50-x}{(50-x+y)^2}$
$\frac{dP(A)}{dy} =\frac{x}{(x+50-y)^2} - \frac{50-x}{(50-x+y)^2}$


Маткад ее решил как x=25 и y=25 и в вероятность в этом случае P(A)=0.5.
Это и будет максимальная вероятность вытащить черный шар.

А на графике поверхности видно что решение не одно а целый отрезок и на всем этом отрезке P(A)=0.5.

Подскажите, пожалуйста, верно ли я решил эту задачу?



Редактировалось 3 раз(а). Последний 13.07.2009 13:44.

Цитата
luckystr
Имеется 2 урны и 50 черных и 50 белых шаров. В урны раскиданы шары соответствующем образом: x₁ и y₁ соответственно черных и белых шаров в первой урне и x₂ и y₂ соответсвенно черных и белых шаров во второй урне. x₁+x₂=y₁+y₂=50.
Человек с закрытыми глазами берет из наугад выбранной урны шар. Вопрос: какова наибольшая вероятность вытянуть черный шар и каков расклад шаров при макисмальной вероятности в урнах.

Я решал так:
Имеется x₁+x₂=50 черных и y₁+y₂=50 белых шариков. Причем в 1-ой корзине
лежат x₁+y₁ шарики, а во второй x₂+y₂ шариков.
Тогда вероятность вытащить черный шарик P(A)=P(H₁)P_H1(A)+P(H₂)P_H2(A),
где H₁ и H₂ - гипотезы обращения соотвественно к первой и второй
корзинам, а А - событие "вытащить черный шарик".

P(H₁)=P(H₂)=0.5
$ P_{H_1}(A)=\frac{x_1}{x_1+y_1}=\frac{x_1}{x_1+50-y_2} $
$ P_{H_2}(A)=\frac{x_2}{x_2+y_2}=\frac{50-x_1}{50-x_1+y_2} $


Заменим x=x₁ и y=y₂
$P(A)=P(H_1)P_{H_1}(A)+P(H_2)P_{H_2}(A)=0.5(\frac{x}{x+50-y}+\frac{50-x}{50-x+y})$

Далее находим производные $\frac{dP(A)}{dx}$ и $\frac{dP(A)}{dy}$ и решаем систему
$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{dP(A)}{dx}=0,\\ \frac{dP(A)}{dy}=0 \end{array} \right. $


$\frac{dP(A)}{dx} = \frac{1}{x+50-y} - \frac{x}{(x+50-y)^2} - \frac{1}{50-x+y} + \frac{50-x}{(50-x+y)^2}$
$\frac{dP(A)}{dy} =\frac{x}{(x+50-y)^2} - \frac{50-x}{(50-x+y)^2}$


Маткад ее решил как x=25 и y=25 и в вероятность в этом случае P(A)=0.5.
Это и будет максимальная вероятность вытащить черный шар.

А на графике поверхности видно что решение не одно а целый отрезок и на всем этом отрезке P(A)=0.5.

Подскажите, пожалуйста, верно ли я решил эту задачу?

На мой взгляд, Вы верно решали задачу. А вот что там ответил
Маткад - мне проверять лень...