Какова мощность множества: Рассматривается множество (бесконечных) последовательностей...

Прежде всего заметим, что таких последовательностей не больше чем произвольных последовательностей натуральных чисел, а этих последних - ровно континуум.
С другой стороны, таких последовательностей не меньше , чем последовательностей , состоящих из 0 и 1, которые начинаются с 1. Но если такие двоичные последовательности записать в виде:
1,01100010111100..., то любая такая последовательность является двоичной записью числа из отрезка [1; 2], а это - континуум.

Таким образом, множество Ваших последовательностей имеет мощность континуума.

Так называемый Декартов квадрат множества натуральных чисел, т.е. множество упорядоченных пар натуральных чисел, счетно. Множество подмножеств счетного множества имеет мощность континуума (любое подмножество 1-1 связано со своей характеристической функцией, которая отображает данное счетное множество, которое можно считать мн-вом натуральных чисел, в множество {0; 1} - т.е. с множеством последовательностей из 0 и 1). В частности, множество подмножеств декартова квадрата - континуум. Любая последовательность натуральных чисел есть функция из N в N, следовательно, является подмножеством декартова квадрата (определение бинарного отношения и одноместной функции как подмножества декартова произведения , т.е. как некоторого множества пар). Вывод : последовательностей не больше континуума. То, что и не меньше - это Вы уже знаете.

Конечно, можно было бы вспомнить представление вещественных чисел цепными дробями, но это требует знания теории.