Нужно применить алгоритм Евклида в методе Остроградского

Итак, $\int{\frac{P(x)}{Q(x)}}dx=\frac{M(x)}{L(x)} + \int{\frac{N(x)}{K(x)}}dx$ на интервале не содержащем действительных корней Q(x) ($Q\left(x\right)=a_n\left(x-\lambda_1\right)^{k_1}...\left(x-\lambda_m\right)^{k_m}$). M(x) и N(x) мы записываем в общем виде и затем можем найти их коэффициенты. Однако для этого нужно знать $K\left(x\right)=\left(x-\lambda_1\right)...\left(x-\lambda_m\right)$ и $L\left(x\right)=a_n\left(x-\lambda_1\right)^{{k_1}-1}...\left(x-\lambda_m\right)^{{k_m}-1}$. Проблема в том что нам неизвестны корни Q(x).Вот что написано в книге (Никольский С.М. "Курс математического анализа") : "Многочлен L можно получить при помощи алгоритма Eвклида, а многочлен K - делением P на L(тут наверно опечатка Q на L?!) . Для этого не нужно знать корни Q" . Так как же применять алгоритм? Если можете приведите пример, заранее благодарен.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 21.07.2009 12:15.

На самом деле я тут понял что это вообще очевидно, если написать:
$Q\left(x\right)=a_n\left(x-\lambda_1\right)^{k_1}...\left(x-\lambda_m\right)^{k_m}$
$Q'\left(x\right)=a_n\left(x-\lambda_1\right)^{{k_1}-1}...\left(x-\lambda_m\right)^{{k_m}-1}\left( k_1\left(x-\lambda_2\right)...\left(x-\lambda_m\right)+...+k_m \left(x-\lambda_{1}\right) ...\left(x-\lambda_{m-1}\right) \right)$
что
$a_nL\left(x\right)=a_n\left(x-\lambda_1\right)^{{k_1}-1}...\left(x-\lambda_m\right)^{{k_m}-1}$
- НОД Qn(x) и Q'n(x).
Но мне бы хотелось понять и Ваши рассуждения. кратность корня
$\lambda$ для Qn(x) > 1 => $\lambda$ корень
Q'n(x) - это легко доказать
но вот обратно $\lambda$ корень Q'n(x) => кратность корня
$\lambda$ для Qn(x) > 1 - доказать не получается
Ну хорошо допустим доказано, тогда что?....
так, все корни $a_nL\left(x\right)$ есть в
$Q\left(x\right)$ и кратность их >1. Значит они также
корни $Q'\left(x\right)$.
Теперь ясно что Q(x) и Q'(x) делятся на
$a_n\left(x-\lambda_1\right)...\left(x-\lambda_m\right)$.
Разделим их. Если все корни Qn(x) являющийся и корнями $a_nL\left(x\right)$ (т.е. корени с кратностью >1) имеют кратность 2, то
для Q'n(x) этот корень будет кратности 1, таким образом после деления многочленов далее они не будут делиться на множители $\left(x-\lambda\right)$, где $\lambda$ один из этих корней корень, и тогда $a_n\left(x-\lambda_1\right)...\left(x-\lambda_m\right)=.a_nL\left(x\right)$ - наибольший общий делитель.
Если один из корней имеет кратность >2, то если его кратность 3, тогда он также корень кратности >1 многочлена получившегося после деления Qn(x), тогда он корень производной этого многочлена (уже поделённого) {наверно самое нудное доказательство, но просто хочется довести до конца}. Эта производная умноженная на частное и суммированная с произведением разделённого Qn(x) и производной частного очевидно даёт Q'n(x), которая при таком представлении имеет корнем этот корень , и причём второго порядка, следствие того что он корень Qn(x) третьего порядка. И тогда если больше нет корней с кратностью 3
и более то Qn(x) и Q'(x) делятся на $a_n\left(x-\lambda_1\right)^2...\left(x-\lambda_m\right)$ и не делится на многочлен большего порядка и к тому же $a_nL\left(x\right)=a_n\left(x-\lambda_1\right)^2...\left(x-\lambda_m\right)$ - значит НОД.
Если же есть ещё один корень кратности 3 то очевидно НОД умножается на соответствующий множитель и это будет НОД.
Если есть корень кратности четыре то аналогично {всё, достало} доказываем что он является корнем Qn(x) нужной кратности и т.д. .....

да что тут доказывать...достаточно рассмотреть параболу ветвями вверх, пересекающую оx в 2-х разных точках, и её производную. Её корень очевидно не будет корнем параболы.
однако всё таки попробовал доказать от противного
доказывается.......только не "λ корень Q'n(x) => кратность корня λ для Qn(x) > 1", а "λ корень Q'n(x) и Qn(x) => кратность корня λ для Qn(x) > 1"