Натуральное число n такое, что числа 2n+1 и 3n+1...

Натуральное число n такое, что числа 2n +1 и 3n +1 являются квадратами некоторых чисел. Доказать, что число n делится на 8.



Редактировалось 2 раз(а). Последний 23.07.2009 11:14.

Пусть $2n+1=k^2$ и $3n+1=l^2$. Тогда ясно, что $k$ нечётно, $k=2m+1$. Тогда $2n=(2m+1)^2-1=4m^2+4m$, откуда $n$ чётно. Далее, имеем $n=l^2-k^2$, $n$ чётно, $k$ нечётно, значит и $l$ нечётно. Тогда в разложении $n=(l-k)(l+k)$ каждая скобка чётна, значит, $n$ делится на $4$. Докажем, что на самом деле хотя бы одна из этих скобок делится на $4$. Действительно, иначе $l-k=4p+2$ и $l+k=4q+2$, и тогда $k=2q-2p$ чётно, противоречие, чтд.