Парадоксы про множества

Автор темы avoidpro 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеПравила и принципы форума «Высшая математика»28.10.2009 15:17
ОбъявлениеМатематик-алгоритмист (Vehicle Routing Problem) – удаленная работа03.06.2020 17:58
ОбъявлениеПреподаватель мехмата МГУ удостоен международной премии по математике Presburger Award28.07.2020 01:04
20.09.2009 14:00
Парадоксы про множества
А правда ли, что рациональных чисел счетное число? Тут есть некоторый парадоксы, которые мне еще никто не разъяснил confused

Формальный парадокс - Для любого x, принадлежащего N, верно что он принадлежит Q, но существуют y, который принадлежит Q, но не принадлежит N, следовательно существует множество E=Q\N, и при этом Q является объединением E и N, то есть Q однозначно больше, чем множество E

В статье написано, что алгоритм нумерования рациональных чисел дает следующую нумерацию: дробь 1/1 сопоставлена 1, дробь 2/1 сопоставлена 2, дробь 3/1 сопоставлена 3, и так далее. Назовите натуральное число, отличное от бесконечности, которое можно сопоставить дроби 1/2

Допустим, что все рациональные числа пронумерованы. Но мы знаем, что множество рациональных числе всюду плотно, а значит между любыми двумя рациональыми числами надется третье, которое окажется еще не пронумеровано, а мы предположили что все числа пронумернова, а значит получили противорение

Самый простой парадокс, но тоже требует объяснения: Для того, чтобы доказать счетность рациональный чисел, нужно установить биекцию между ними и натуральными числами. Установим в качестве биекции фукнцию y=1/x, в которой x индуктивно принимат все возможные натуральные числа. Какому натуральному числу будет тогда соответствовать дробь 2/3 ?

Можно доказать, что число рациональных чисел равно числу иррациональному, а значит и докадать их несчетность??? Вообще и здесь есть парадокс: Пускай у нас есть рациональное число с m знаком после плавающей точки, прибавим к нему еще одно десятичное число к самый конец десятичной дроби, в результате у нас m+1 знак после плавающей точки, и так будем продолжать процедуру до бесконечности. В какой момент число перестанет быть рациональым и станет иррациональым
20.09.2009 21:27
Где же ты, чистый родник?
Расскажите, какими источниками знаний Вы пользуетесь, изучая теорию множеств?
21.09.2009 22:38
Конструктивная беседа :-)
Вот господа пока вы молчите, один уважаемый товарищ ведет со мной беседу, причем весьма конструктивную, позволю себе здесь процитировать нашу беседу

Цитата
Он
Счётность множества рациональных чисел — факт, известный с древнего мира. Поверьте, здесь и сейчас Вам его не опровергнуть. Готов ответить на все ваши «парадоксы» :)
Всё верно написано, кроме последней фразы. не больше, чем . И в том, и в другом множестве бесконечное число элементов. Таким образом счётность не опровергается.
Нет. В статье написано иначе. 1/1 действительно соответствует 1, 2/1 — 2, но тройке соответствует не 3/1, а как раз таки 1/2. Дальше идёт 1/3. а 3/1 соответствует пятёрке, т.к. 2/2 пропускается. Это наглядно проиллюстрировано на картинке.
Пусть все рациональные числа занумерованы. Берём рациональные числа с номерами n и n + 1. Между ними тоже существует рациональное число. Но утверждать, что у него нет номера, — безосновательное занятие, ибо мы только что сказали, что все числа занумерованы. У него есть номер, отличный от n и n + 1, благо натуральных чисел ещё много.
В Вашем примере дроби 2/3 действительно не соответствует никакого натурального числа. И это наглядно свидетельствует, что приведённое Вами отношение биекцией не является. Увы. Это вовсе не значит, что настоящих биекций не существует.
Тут вообще не понял, о чём речь. Число рациональных чисел не есть иррациональное число. Это вообще не число. Это бесконечность. Бесконечность — это абстракция, а не число.

Вот так, друзья. Математика — точная наука. Её не сломаешь такими парадоксами.

Цитата
Я
Спасибо Вам большое за ответ! В принципе, мне частично стало яснее, но не могли бы Вы привести пример той самой загадочной биекции, которая переводит все рациональные числа в натуральные? Это наверное будет какая-то специальная функция типа Гамма-функции, или я вновь ошибаюсь? Заранее спасибо Вам за ответ :-)

Цитата
Он
Пример биекции явно приведён в статье в разделе Счётность. Просто само отношение биекции задано не строгой формулой, а алгоритмом нумерования. Ничего криминального в этом нет, ибо само отображение есть по определению множество, так что в качестве закона, по которому натуральным числам сопоставляются рациональные и обратно, мы можем задать не формулу, а просто формальный алгоритм. См. пункт 2 моего предыдущего комментария. Там написаны первые значения этой загадочной функции. Тут правда есть нюанс: для простоты понимания в статье устанавливается биекция не со всеми рациональными числами, а только с положительными. Но дальше по свойству мощностей множеств выводы легко обобщаются, и всё окончательно доказывается. К слову, можно привести алгоритм и для нумерации всех рациональных чисел сразу

Цитата
Я
Спасибо Вам еще раз за ответ! В принципе я уже почти готов согласиться с такой трактовкой, то есть то что мощность рациональных чисел равна алеф-нулю. Но хотелось бы еще тогда пояснения следующего факта Возьмем к примеру множество алгебраических (Нетрансцендентных) иррациональных чисел, фактически каждое из таких чисел представляет упорядоченную четверку (A1,A2,B1,B2), которые можно записать как ${\frac{A1}{A2}}^{\frac{B1}{B2}}$, и по сути такая четверка представляет собой декартовое произведение QxQ, а раз Q счетно, то и QxQ тоже счетно В итоге мы доказали, что мнодества алгебраических иррациональных чисел счетно, и я даже могу по аналогии привести алгоритм, только если для рациональных чисел был квадрат, то здесь четерехмерный куб

Если этот уважаемый товарищ не будет против, я дам на него ссылку



Редактировалось 1 раз(а). Последний 21.09.2009 22:41.
22.09.2009 07:41
О поведенческих особенностях троллей.
Да, троллей здесь плохо кормят, вот им и приходится самим огоньку в топку швырять, чтобы хоть как-то горело.
22.09.2009 16:08
Простое объяснение
Цитата

Да, троллей здесь плохо кормят, вот им и приходится самим огоньку в топку швырять, чтобы хоть как-то горело.
Нет это говорит о том что Вы не знаете, как объяснить эти парадоксы, хотя нет, точнее это говорит о том что вы хотя и знаете объяснения парадоксов, но не можете объяснить их на элементарном уровне, чтобы было понятно нематематику
23.09.2009 05:44
Он уже всё Вам разжевал
Чего ещё изволите желать? Не лучше ли раскрыть учебник (практически любой) и во введении прочитать хотя бы определения?

_____________________________
Правила русского языка категорически против решения пределов, интегралов, рядов, матриц, определителей, функций, ...
..
23.09.2009 18:59
Да все уже
Да все уже, объяснил мне он до конца, и я понял в чем было дело парадоксам - ведь множество алгебраических (Нетрнасцедентных) иррациональных чисел в точности по размеру (Мощности) равно множеству рациональных чисел

Цитата
Я
Спасибо Вам еще раз за ответ! В принципе я уже почти готов согласиться с такой трактовкой, то есть то что мощность рациональных чисел равна алеф-нулю. Но хотелось бы еще тогда пояснения следующего факта Возьмем к примеру множество алгебраических (Нетрансцендентных) иррациональных чисел, фактически каждое из таких чисел представляет упорядоченную четверку (A1,A2,B1,B2), которые можно записать как ${\frac{A1}{A2}}^{\frac{B1}{B2}}$, и по сути такая четверка представляет собой декартовое произведение QxQ, а раз Q счетно, то и QxQ тоже счетно В итоге мы доказали, что мнодества алгебраических иррациональных чисел счетно, и я даже могу по аналогии привести алгоритм, только если для рациональных чисел был квадрат, то здесь четерехмерный куб

Цитата
Он
Абсолютно верно подмечено. Множество алгебраических чисел счётно. Это доказывает, если мне не изменяет память, теорема Кантора. Факт бесспорный и очень интересный, но опять же никак не опровергающий счётности самого множества рациональных чисел. Дело в том, что далеко не все иррациональные числа являются алгебраическими, а лишь их ничтожно малая часть.

Цитата
Я
Вот это большое спасибоеперь-то я на самом деле понял всю соль вопроса. Просто до этого некоторые нехорошие люди сказали мне, что множество рациональных счетно, а алгебраических нет, вот я и находился в стопоре, так как их очевидно равное число! Ну а теперь мне четко ясно, что если трансцедентные числа обозначить T, то все числа R\T будут счетны! Еще раз спасибо за то, что помогли разобраться с теорией множеств!

Так что теперь я тоже среди осведемленных, и посвященных в тайну теории множеств и аксиому выбора :-)

P.S. А вам бы господа brukvalub и bot, с вашими большими знаниями, не помешало бы научиться объяснять их простым людям, имеющим к математике опосредованное отношение, но кому приходися это изучать :-)

P.P.S. Да здравствует Википедия, свободная энциклопедия!



Редактировалось 2 раз(а). Последний 23.09.2009 19:03.
25.09.2009 13:28
.
avoidpro, объяснять каждому персонально - не труъ. На пятнадцатый раз наскучивает. Если бы тема была не настолько тыщу-раз-разжеванная, то еще можно было бы.
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти