Счетно ли несчетное множество?

У меня вопрос к доказательству несчетности множества вещественных чисел (в интервале от 0 до 1). Напомню, что там использовался метод от противного. Предполагалось, что все вещественные числа из указанного диапазона счетны, и строилось новое вещественное число, отличное в n-ном разряде от числа под номером n, и, таким образом, неперечисленное.
Меня смущает вот что - в доказательстве предполагается, что все вещественные числа счетны. И строится новое вещественное число из указанного диапазона. Уже на этом моменте следует признать, что раз это число вещественное, то оно удовлетворяет нашему предположению счетности, и доказывать, что оно не имеет номера бессмысленно. Тот факт, что оно отличается от остальных вещественных чисел - неудивительно, так как все они отличаются друг от друга. И мы можем доказать только то, что это число отличается от всех остальных.
В чем подвох?

Я не требую ответа от тех, кому не хочется думать на эту тему или нечего сказать. Хотя и понимаю, что вопросы бесконечности - это скорее из области философии, а не математики. Если мой пост удалят - я не против.

Уважаемый Zklb, я не считаю себя вправе назвать Вас троллем, т.к. не достаточно знаком с определением данного вида существ, но то, что г-н Brukvalub отметил выше:

Цитата

Если некто берется комментировать методы линейного и целочисленного программирования, явно находясь при этом "в теме", то никто другой не поверит, что этот некто не знает принципа доказательства "от противного"

, - является бесспорным.
Что же касается Вашего замечания:

Цитата

Хотя и понимаю, что вопросы бесконечности - это скорее из области философии, а не математики.

, - то что, собственно, относится к философским проблемам бесконечного, вот этот пассаж:

Цитата

в доказательстве предполагается, что все вещественные числа счетны. И строится новое вещественное число из указанного диапазона. Уже на этом моменте следует признать, что раз это число вещественное, то оно удовлетворяет нашему предположению счетности, и доказывать, что оно не имеет номера бессмысленно. Тот факт, что оно отличается от остальных вещественных чисел - неудивительно, так как все они отличаются друг от друга. И мы можем доказать только то, что это число отличается от всех остальных.

???
Давайте бегло осмотримся:
1) В доказательстве НЕ предполагается что все вещественные числа счетны (делается предположение о счетности МНОЖЕСТВА вещественных чисел;
2) [ В доказательстве ] НЕ строится новое вещественное число из указанного диапазона (строится/указывается просто число из нужного диапазона, не новое, а обычное, всегда и ранее существовавшее, ибо речь идет о т.н. классической математике);
3) Раз это число , хотя бы и не вещественное, то оно НЕ удовлетворяет Вашему предположению о счетности, т.к. счетность - это свойство инкриминируемое или нет совокупностям, а не тому или иному выбранному числу;
4) Из чего никак не следует, что доказывать, что оно не имеет номера бессмысленно.

Оно, конечно, терминологические, возможно, проблемы, но если бы мне пришла в голову идея пообсуждать какую-нибудь тему , особенно новую, на форуме, то я бы постарался сформулировать свои мысли так, чтобы не было мучительно больно...(и т.д. см. Н.Островский, Как закалялась сталь).

Что же касается проблемы бесконечного и вопросов философии в основаниях математики, то это тема знаменитая и интересная. Если Вы предпочитаете не принимать актуальную бесконечность, то и ладно. Так поступали интуиционисты, но у них не было проблем с несчетностью, т.к. она у них вообще бессмысленна.

zklb, просто освойте язык предикатов под названием ZFC и формально проверьте это общеизвестное рассуждение. Это тривиальная задача, с которой даже компьютер справляется.

Вся беда в том, что для наблюдателя, уже несколько лет как отирающегося на матем. форумах, Ваш старттопик выглядит типичнейшим троллингом, поскольку за эти годы такой наблюдатель видел десятки троллей, которые начинали троллинговую атаку именно с обсуждения мнимых "пороков" Канторовой теории континуума и, что самое забавное, именно теми же словами.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 24.11.2009 14:55.

Цитата
zklb (Дмитрий)
Дайте мне разумный довод в неприменимости канторовского диагонального метода к множеству натуральных чисел. Если конечно, "забыть", что мы изначально предполагаем его счетным.

Еще марксисты учили нас, что практика - критерий истины.
Вот и попробуйте применить на практике канторовский диагональный метод к множеству натуральных чисел... Такого рода попытка сильнее прочих доводов убедит Вас в его неприменимости.

"Полученное число будет натуральным (по крайней мере целым и положительным"
Вот здесь и "поздравляю Вас, гражданин, соврамши"
(Воланд: Так что же говорит этот человек? Фагот: А он попросту соврал! (Бенгальскому) Поздравляю вас, гражданин, соврамши! Михаил Булгаков. "Мастер и Маргарита").
Ведь каждое натуральное число в предложенной записи имеет только конечное количество отличных от нуля символов, а построенное - этим свойством обладать не может.

Цитата
zklb (Дмитрий)
Получается - всякое бесконечное множество конечных последовательностей счетно?

И что насчет числа 1111...111? Оно тоже не натуральное?

Про первое высказывание я скажу так: если в огороде - бузина, то необязательно в Киеве - дядька.
А насчет числа 1111...111 - силюсь понять, но ниасилю.

Я понимаю что бузина и дядька это необязательно, но все таки счетно или нет?

2 bot : В том, в чем я разбираюсь - я разбираюсь самостоятельно. A тут как раз обсуждаю темы, в которых не разбираюсь. Ведь глупо задавать вопросы, на которые знаешь ответ.
А эта Ваша фраза "множество конечных последовательностей с членами из некоторого множества с неограниченным в совокупности числом членов и множество бесконечных - это разные множества и мощность их разная." Как она согласуется с множеством корней из натуральных чисел, каждый из которых представляет собой бесконечную "последовательность с членами из некоторого множества". Оно тоже отличается по мощности от "множества конечных последовательностей" сиречь множества натуральных чисел?

Уж коли я тут решил подвергнуть сомнению мощность множества действительных чисел, то использовать его элементы для построения конечных даже последовательностей я не вправе. что вы скажете насчет "всевозможных натуральных чисел" ?