Счетно ли несчетное множество?

Автор темы zklb (Дмитрий) 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеРаботодателям и кадровым агентствам: Размещение вакансий26.03.2008 03:07
ОбъявлениеПравила и принципы форума «Высшая математика»28.10.2009 15:17
ОбъявлениеЗапущен новый раздел «Задачки и головоломки»29.08.2019 00:42
04.01.2010 00:07
Это становится невыносимо
Это становится невыносимо - вот честное слово!
Вот я буду сыпать фактами - любое рациональное число это число вида прямого произведения множества NxZ - в то же время числа вида NxZxNxZ - это уже не рациональные числа но их такое же число - да и вообще любое конечное или счетное произведение NxZx...xNxZ это тоже счетное число
С другой стороны рациональное число это в первую очередь дробь Z/N - причем так как и N и Z целые числа и они могут быть очень большими
ВАЖНО - Никто не может отрицать существование натурального числа с бесконечным числом разрядов - как следствие любая дробь может состоять из числителя и знаменателя с бесконечным числом разрядов - значит дробь в десятичной форме может иметь бесконечное число разрядов
Значит дробь которая считается рациональным числом - может содержать бесконечное число разрядов а значит и являться иррациональным числом - причем произвольным в том числе и трансцендентным
Так как сумма счетных множеств счетная то действительных чисел счетное число
Теорема железно доказано - если кто-то скажет что существует действительное число которое нельзя пронумеровать то сразу же существует рациональная дробь которую нельзя пронумеровать - внутреннее противоречие
В общем весь секрет открывался не так уж сложно - просто рациональные и иррациональные числа это в точности одно и то же - просто часть рациональных чисел имеет бесконечное число нулей в разрядах
PS Убедительная просьба - прежде чем опять что-то критиковать - указывайте КОНКРЕТНОЕ место в моем доказательстве
04.01.2010 00:49
Конкретное место
1)
Цитата

- да и вообще любое конечное или счетное произведение NxZx...xNxZ это тоже счетное число
Тут Вы погорячились. "Счетное произведение", т.е. совокупность счетных последовательностей, имеет мощность континуума. И не нужно так отчаянно ломиться в открытую дверь, вопросы существования натуральных чисел и многое другое активно обсуждались великими мужами в первой половине ХХ века. Просмотрите бегло их теории и попробуйте понять, о чем они там толкуют, высказывая притом кучу "глупостей". Помните, что они - ВЕЛИКИЕ, а если кому-то их мысли показались глупыми, то не слишком ли мало он сам понимает?
Рекомендую: А.Гейтинг, Интуиционизм. Готов по мере сил давать комментарии к конкретным высказываниям великих на правах студента-троечника.
04.01.2010 02:19
Хочу ответить Neznayke
Цитата:
Цитата

Только я не понял, что в первом доказательстве вызывает неудовлетворенность. Мне так кажется, что первое доказательство очень даже соответствует контексту. Я не уверен, что второе доказательство более привлекательно для тех, кто не принимает закон исключенного третьего.
1) Мне кажется, что первое доказательство в данном случае вызывает у меня ощущение неудовлетворенности из-за недоверия к информации, полученной из мистических источников. После этого доказательства (диагональным методом) я все еще не понимаю, а почему бы мне не попытаться построить подходящую функцию? Ведь доказательство не объясняет, почему такое построение не может быть осуществлено, а только напоминает, что математика, вообще-то не противоречива. Я, конечно, верю в непротиворечивость, но убежден, что доказать ее невозможно. А вот второе доказательство указывает на причину невозможности путем исправлений сделать нужную функцию - вот она, эта причина: чисел, записываемых данным количеством цифр, скажем n, много больше, чем n и у них у всех после n-ой цифры идут сплошь нули.
2) Что касается закона исключенного третьего, то можно считать, что первое доказательство , также как и второе, его не использует. Это обычный метод "от противного" - редукция к абсурду, т.е. средство признаваемое всеми нормальными интуиционистами. Но важно иметь ввиду причины, по которым люди ограничивают себя в использовании закона исключенного третьего, например, нормальные интуиционисты. Здесь существенна область, с которой приходится иметь дело. В первом доказательстве мы берем произвольную сюръективную функцию и для нее показываем, что некоторое подмножество ее области определения должно быть бесконечным. Но интуиционисты потому и ограничивают себя, что смысл в эти самые множества оне вкладывают весьма ограниченный и мы сталкиваемся с необходимостью неких переформулировок, которые многими будут сочтены, как не адекватные. Во втором же доказательстве, мы показываем (при подходящей перефразировке рассуждения под интуиционизм), что для произвольной заданной (по интуиционистким понятиям) функции и для произвольного заданного натурального числа, найдется подходящее натуральное число i превосходящее данное, для которого выполнено нужное неравенство.
3) Что касается соответствия контексту, то это я недопонял. Думаю.
04.01.2010 08:13
От простого к сложному
Начну, пожалуй, с конца.
Цитата
museum
3. Что касается соответствия контексту, то это я недопонял.
Можно теоремы теории чисел доказывать методами анализа. Такие теоремы красивы и демонстрируют единство математики. Но если теорему можно доказать методами теории чисел, то такое доказательство имеет преимущество потому, что использует более слабую аксиоматику.
Цитата
museum
2. Что касается закона исключенного третьего
Пока не разобрались с диагональным методом, предлагаю этот вопрос пока отложить.
Цитата
museum
1. недоверия к информации, полученной из мистических источников
Звучит очень и очень загадочно. Я не могу догадаться, о какой информации вы говорите. Проясните, пожалуйста, чему вы не доверяете. Может оказаться так, что мое объяснения окажется для вас из того же источника.
04.01.2010 09:50
Он надо мной издевается.
Цитата
a3846792
Никто не может отрицать существование натурального числа с бесконечным числом разрядов
Может, рано на наш форум-то заходить, высшую математику обсуждать, сначала там на палочках посчитайте, задачки про яблоки порешайте ... А? Или чего там у нас нынче в первом классе изучают? rolleyes

P.S.
Цитата
neznayka
Можно теоремы теории чисел доказывать методами анализа. Такие теоремы красивы и демонстрируют единство математики. Но если теорему можно доказать методами теории чисел, то такое доказательство имеет преимущество потому, что использует более слабую аксиоматику.
Эт правда, мне тоже лекции по теории чисел напомнило. smile



Редактировалось 3 раз(а). Последний 04.01.2010 09:56.
04.01.2010 10:16
ну понеслась...
если человек чего то не понимает - не стоит, думаю, издеваться над его компетенцией, или отсылать к многотомным трудам великих. в первом случае это говорит о вашей грубости а во втором - о вашей неспособности объяснить то, что вы сами поняли.

вернемся к диагональному методу. в самом начале обсуждения мне уже давали ответы на его корректность, правда, по большей части объяснения касались некорректности формулировок. да и прочие лидеры обсуждения предлагали мне четко дать описание метода, чтобы оценить уровень моего понимания. ну и все равно - повторю. сомнительные для меня места буду помечать знаком вопроса в скобках.

итак, предположим, что множество действительных чисел в открытом интервале $(0;1)$ счетно. то есть каждое действительное число имеет порядковый номер (?). будем строить действительное число из этого же диапазона диагональным методом (описывать подробно не буду). данное число отличается от всех чисел в данном интервале хотя бы в одном разряде, но входит в этот интервал (?), следовательно оно не имеет номера, а значит исходная посылка о счетности неверна.

1 вопрос: уж если данное число входит в интервал, все числа которого имеют номера, то почему сразу не полагается что оно имеет номер?
2 вопрос: данное число $x$ входит в интервал. значит на каком то шаге мы дойдем диагональным методом и до него, но дойдя, мы изменим наше диагональное число в некотором разряде так, что оно уже будет $\nex$. не напоминает ли это парадокс Рассела с его использованием некорректного понятия "множества всех множеств"? и следует ли на основании этого делать какие то выводы?
3 вопрос: вообще, корректно ли пытаться доказывать/опровергать счетность/несчетность множества действительных чисел?



Редактировалось 2 раз(а). Последний 04.01.2010 10:18.
04.01.2010 10:28
Опять всё сначала?
Цитата

если человек чего то не понимает - не стоит, думаю, издеваться над его компетенцией, или отсылать к многотомным трудам великих. в первом случае это говорит о вашей грубости а во втором - о вашей неспособности объяснить то, что вы сами поняли.
А если человек делает заведомо (см. выше) ложные заявления, то эту ложность надо продемонстрировать публике, чтобы у нормальных людей не осталось сомнений.
Цитата

уж если данное число входит в интервал, все числа которого имеют номера, то почему сразу не полагается что оно имеет номер?
Именно. А мы только что доказали, что оно не имеет номера. Полученное противоречие завершает доказательство.
Цитата

не напоминает ли это парадокс Рассела с его использованием некорректного понятия "множества всех множеств"?
Не напоминает, потому что в нашем случае противоречие произошло не только из аксиоматики теории множеств, но и из дополнительного предположения: "множество действительных чисел счётно". А парадокс Рассела доказал именно противоречивость самой аксиоматики (наивной теории множеств).
Цитата

вообще, корректно ли пытаться...?
Пытаться всегда корректно. Вопрос не понятен.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 04.01.2010 10:31.
04.01.2010 10:38
насчет корректности
корректно только тогда, когда не доказано, что данная теорема в принципе недоказуема.

вот ad_dy мне настоятельно рекомендовал перейти к "к множеству подмножеств $\mathbb{N}$". а в рамках аксиоматики ZFC, дополненной аксиомой регулярности, такие множества некорректны (простите за такой невеликий источник как википедия). или я снова не прав в чем-то?



Редактировалось 3 раз(а). Последний 04.01.2010 10:46.
04.01.2010 10:52
хм.
"Именно. А мы только что доказали, что оно не имеет номера."

Как это Вы доказали? Это число в интервале есть. Построением Вы доказываете, что оно не совпадает ни с одним числом из интервала. В том числе и с собой. Что же это за число, которое и есть в интервале и одновременно нет? Тогда уж некорректно говорить не о номере числа, а о существовании самого такого числа.



Редактировалось 2 раз(а). Последний 04.01.2010 10:56.
04.01.2010 11:14
Математика тут бессильна
Цитата
zklb (Дмитрий)
Как это Вы доказали? Это число в интервале есть. Построением Вы доказываете, что оно не совпадает ни с одним числом из интервала. В том числе и с собой. Что же это за число, которое и есть в интервале и одновременно нет?
Противоречие, сэр! Это и есть доказанное нами противоречие. В средние века этот прием так и называли Reductio ad absurdum. Вам уже много раз одно и то же повторяют, а.вы не можете это понять.



Редактировалось 3 раз(а). Последний 04.01.2010 11:23.
04.01.2010 11:49
Мда.
Цитата

корректно только тогда, когда не доказано, что данная теорема в принципе недоказуема.
А это доказано?
Цитата

Как это Вы доказали?
Не мы, а Вы. rolleyes
Цитата

вот ad_dy мне настоятельно рекомендовал перейти к "к множеству подмножеств $\mathbb{N}$". а в рамках аксиоматики ZFC, дополненной аксиомой регулярности, такие множества некорректны
Серьёзно? Докажите.
(Там вообще-то аксиома множества всех подмножеств есть)



Редактировалось 1 раз(а). Последний 04.01.2010 12:04.
04.01.2010 16:52
Наверное мне хочется оправдаться
Цитирую из недавнего поста Zklb (Дмитрия):
Цитата

если человек чего то не понимает - не стоит, думаю, издеваться над его компетенцией, или отсылать к многотомным трудам великих. в первом случае это говорит о вашей грубости а во втором - о вашей неспособности объяснить то, что вы сами поняли.
Вообще-то я ни про кого не писал, что он чего-то совсем уж не пониамает. А к многотомным томам отослал на случай, если человеку захочется действительно посмотреть подробно такие глубокие темы, которые затрагиваются здесь. Да и всех-то томов - одна книжечка Гейтинга, содержащая примерно 200 страниц. К ним можно добавить первые 70 страниц из Клини "Введение в метаматематику". Кроме того я выразил готовность к даче комментариев к высказываниям великих, но только на правах студента-троечника. Таким образом я выразил готовность к обсуждению конкретных тем, но не как НОСИТЕЛЬ ИДЕЙ, а как человек, читавший кое-что, пытавшийся кое-что из прочитанного понять и, хотя и не много понявши, готовый к беседе в надежде на ее плодотворность, т.е. приобретение новых мыслей. Какая же тут грубость? Всего-навсего мне не хочется терять время на изобретение веника.
А насчет непонимания - это я заметил про себя самого - так я же сказал, что думаю (т.е. нахожусь в состоянии обдумывания, которое еще не принесло результата).
04.01.2010 17:25
Neznayke
Цитата

Можно теоремы теории чисел доказывать методами анализа. Такие теоремы красивы и демонстрируют единство математики. Но если теорему можно доказать методами теории чисел, то такое доказательство имеет преимущество потому, что использует более слабую аксиоматику.

Если под методами теории чисел понимаются методы формальной арифметики первой ступени, то, конечно, это более слабая аксиоматика. Вообще же теория чисел, как и анализ или современная алгебра ни в коей мере не ограничивает себя средствами этой весьма бедной теории. Например, ее средствами нельзя доказать что уравнение Ферма для n = 3 не имеет решений. Речь, как мне показалось, шла о методах современной математики в отношении понятия бесконечности. Тем не менее, с Вашим утверждением я полностью согласен, только не уверен, что оно приблизило меня к контексту.

Кроме того, уважаемый Neznayka, Вы привели короткую цитату из Вашего покорного слуги и дали к ней комментарий:
Цитата

Звучит очень и очень загадочно. Я не могу догадаться, о какой информации вы говорите. Проясните, пожалуйста, чему вы не доверяете. Может оказаться так, что мое объяснения окажется для вас из того же источника.
Речь шла об информации, к которой апеллирует доказательство - к непротиворечивости математики, в которую я верю. Любое доказательство "от противного" отсылает нас именно к этой вере. Разумеется это не формальная связь, а психологическая: Я принимаю факт потому, что верю в непротиворечивость системы. Если бы Вы привели в цитате мое рассуждение целиком, то это, по-моему, было бы ясно.
04.01.2010 19:24
Вот это темка
Господин museum!
Цитата

Рекомендую: А.Гейтинг, Интуиционизм. Готов по мере сил давать комментарии к конкретным высказываниям великих на правах студента-троечника.
Цитата

Вообще-то я ни про кого не писал, что он чего-то совсем уж не пониамает. А к многотомным томам отослал на случай, если человеку захочется действительно посмотреть подробно такие глубокие темы, которые затрагиваются здесь. Да и всех-то томов - одна книжечка Гейтинга, содержащая примерно 200 страниц. К ним можно добавить первые 70 страниц из Клини "Введение в метаматематику"
Спасибо вам большое - вы хотя бы пытаетесь помощь разобраться в достаточно мутной и запутанной теме
Хорошо я понял про объединение счетного числа множеств - то что оно имеет мощность континиума это хорошо - по поводу такого ответ я даже гораздо больше доволен
Про долбанный диагональный метод мне наверное вообще не дано понять - но все равно спасибо

Господин ad_dy!
Цитата

Может, рано на наш форум-то заходить, высшую математику обсуждать, сначала там на палочках посчитайте, задачки про яблоки порешайте ... А? Или чего там у нас нынче в первом классе изучают?
Я конечно оценил вашу шутку - но я разбираюсь в этой теории не по прямой надобности а ради чистого интереса - я работаю вообще в области отличной от математики

Всем господам!
Я конечно понимаю что чтобы я не сказал - на все найдется какой-нибудь формальный ответ - поэтому прошу комментировать ТОЛЬКО ОДНУ СЕНТЕНЦИЮ:
Положительное рациональное число это положительная дробь - положительная дробь это пара из двух натуральных чисел - число разрядов в любом натуральном числе может быть бесконечным - десятичное представление дроби состоящей из двух несократимых натуральных чисел после запятой будет иметь не меньше разрядов чем число разрядов в большем из натуральных чисел - таким образом положительная дробь может иметь бесконечное число разрядов - а значит она иррациональное число и их число автоматически континиум
04.01.2010 20:13
Ближе к контексту.
Цитата
museum
с Вашим утверждением я полностью согласен, только не уверен, что оно приблизило меня к контексту
Все хорошо, со всем согласен. Так что мы уже достигли контекста. Не будем пока из него выходить.
Цитата
museum
После этого доказательства (диагональным методом) я все еще не понимаю, а почему бы мне не попытаться построить подходящую функцию? Ведь доказательство не объясняет, почему такое построение не может быть осуществлено, а только напоминает, что математика, вообще-то не противоречива.
И находясь в контексте доказательства (диагональным методом) у меня возникает недоумение. Диагональный метод не дал вам возможности построить подходящую функцию? Потому что доказательство от противного? Но и ваше второе доказательство также от противного. А если по другой причине, то тогда мне надо познакомится с вашим доказательством поближе.
04.01.2010 21:07
Уже.
Цитата

прошу комментировать ТОЛЬКО ОДНУ СЕНТЕНЦИЮ:
Уже прокомментировал и указал ошибочное заявление, а также - неявно, но весьма однозначно - класс средней общеобразовательной школы, в котором проходят его ошибочность.
Цитата

Я конечно оценил вашу шутку - но я разбираюсь в этой теории не по прямой надобности а ради чистого интереса - я работаю вообще в области отличной от математики
Так вот, а изучение области, в которой Вы делаете килограммами неверные заявления, заканчивается в шестом классе той же школы.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 04.01.2010 21:08.
05.01.2010 00:40
Это не объединение (для a3846792 )
Объединение счетного числа счетных множеств, конечно, счетно. А вот произведение счетного числа счетных множеств - это континуум.
Если $Z$ - множество целых чисел, то декартово произведение $Z\timesZ$ (множество упорядоченных пар) можно представить, как объединение счетного числа счетных множеств. Достаточно на координатной плоскости рассмотреть точки с целыми координатами:
(1,1), (-1,3) и т.д. Это множество счетно, т.к. эти точки можно выписать в виде последовательности:
(0.0), (1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1), (2,0), ....- выписываем обходя центр координат против часовой стрелки.
А вод произведение счетного числа экземпляров множества $Z$, т.е. $Z\timesZ\timesZ...$ - континуум.
05.01.2010 13:28
Ага
Господин museum! Спасибо за пояснения - в принципе теперь стало ясно почему произведение двух счетных множеств счетно (Через объединение и обход против часовой стрелки)
Но вот никто так и не может объяснить чем рациональное число отличается от иррационального - ведь и то и то имеет бесконечное число знаков после запятой
И вот еще - почему же множество всех подмножеств больше самого множества? Ведь если множество счетно то и все его подмножества счетны - а объединение счетного числа счетных множеств тоже счетно

Госопдин ad_dy
Цитата

Так вот, а изучение области, в которой Вы делаете килограммами неверные заявления, заканчивается в шестом классе той же школы.
К сожалению я уже очень плохо помню шестой класс моей школы и учебник уже куда-то задевался - но никаких бесконечных множеств и мощностей мы точно не проходили - ограничивались лишь задачами про две трубы с бассейном и им подобные
05.01.2010 14:09
запросто
Цитата
a3846792
Но вот никто так и не может объяснить чем рациональное число отличается от иррационального - ведь и то и то имеет бесконечное число знаков после запятой

у любого рационального числа в десятичной записи есть конечный период - цепочка повторяющихся цифр. если эту запись взять в скобки как например $0,33333...=0,(3)$, то тогда мы получим конечную запись рационального числа. это если вас не устраивает конечная запись того же рац числа в виде дроби с двумя конечными числами в числителе и знаменателе.
05.01.2010 17:56
.
Цитата
a3846792
К сожалению я уже очень плохо помню шестой класс моей школы и учебник уже куда-то задевался - но никаких бесконечных множеств и мощностей мы точно не проходили - ограничивались лишь задачами про две трубы с бассейном и им подобные
Вот и я про то же. Натуральные числа проходят в первом классе, рациональные - в пятом, действия с десятичными дробями - в шестом. Я призываю Вас указать мне хоть один учебник для не-выше-чем-шестого класса, в котором утверждается существование
Цитата
a3846792
натурального числа с бесконечным числом разрядов
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти