Счетно ли несчетное множество?

Это становится невыносимо - вот честное слово!
Вот я буду сыпать фактами - любое рациональное число это число вида прямого произведения множества NxZ - в то же время числа вида NxZxNxZ - это уже не рациональные числа но их такое же число - да и вообще любое конечное или счетное произведение NxZx...xNxZ это тоже счетное число
С другой стороны рациональное число это в первую очередь дробь Z/N - причем так как и N и Z целые числа и они могут быть очень большими
ВАЖНО - Никто не может отрицать существование натурального числа с бесконечным числом разрядов - как следствие любая дробь может состоять из числителя и знаменателя с бесконечным числом разрядов - значит дробь в десятичной форме может иметь бесконечное число разрядов
Значит дробь которая считается рациональным числом - может содержать бесконечное число разрядов а значит и являться иррациональным числом - причем произвольным в том числе и трансцендентным
Так как сумма счетных множеств счетная то действительных чисел счетное число
Теорема железно доказано - если кто-то скажет что существует действительное число которое нельзя пронумеровать то сразу же существует рациональная дробь которую нельзя пронумеровать - внутреннее противоречие
В общем весь секрет открывался не так уж сложно - просто рациональные и иррациональные числа это в точности одно и то же - просто часть рациональных чисел имеет бесконечное число нулей в разрядах
PS Убедительная просьба - прежде чем опять что-то критиковать - указывайте КОНКРЕТНОЕ место в моем доказательстве

Цитата:

Цитата

Только я не понял, что в первом доказательстве вызывает неудовлетворенность. Мне так кажется, что первое доказательство очень даже соответствует контексту. Я не уверен, что второе доказательство более привлекательно для тех, кто не принимает закон исключенного третьего.

1) Мне кажется, что первое доказательство в данном случае вызывает у меня ощущение неудовлетворенности из-за недоверия к информации, полученной из мистических источников. После этого доказательства (диагональным методом) я все еще не понимаю, а почему бы мне не попытаться построить подходящую функцию? Ведь доказательство не объясняет, почему такое построение не может быть осуществлено, а только напоминает, что математика, вообще-то не противоречива. Я, конечно, верю в непротиворечивость, но убежден, что доказать ее невозможно. А вот второе доказательство указывает на причину невозможности путем исправлений сделать нужную функцию - вот она, эта причина: чисел, записываемых данным количеством цифр, скажем n, много больше, чем n и у них у всех после n-ой цифры идут сплошь нули.
2) Что касается закона исключенного третьего, то можно считать, что первое доказательство , также как и второе, его не использует. Это обычный метод "от противного" - редукция к абсурду, т.е. средство признаваемое всеми нормальными интуиционистами. Но важно иметь ввиду причины, по которым люди ограничивают себя в использовании закона исключенного третьего, например, нормальные интуиционисты. Здесь существенна область, с которой приходится иметь дело. В первом доказательстве мы берем произвольную сюръективную функцию и для нее показываем, что некоторое подмножество ее области определения должно быть бесконечным. Но интуиционисты потому и ограничивают себя, что смысл в эти самые множества оне вкладывают весьма ограниченный и мы сталкиваемся с необходимостью неких переформулировок, которые многими будут сочтены, как не адекватные. Во втором же доказательстве, мы показываем (при подходящей перефразировке рассуждения под интуиционизм), что для произвольной заданной (по интуиционистким понятиям) функции и для произвольного заданного натурального числа, найдется подходящее натуральное число i превосходящее данное, для которого выполнено нужное неравенство.
3) Что касается соответствия контексту, то это я недопонял. Думаю.

Цитата
a3846792
Никто не может отрицать существование натурального числа с бесконечным числом разрядов

Может, рано на наш форум-то заходить, высшую математику обсуждать, сначала там на палочках посчитайте, задачки про яблоки порешайте ... А? Или чего там у нас нынче в первом классе изучают?

P.S.

Цитата
neznayka
Можно теоремы теории чисел доказывать методами анализа. Такие теоремы красивы и демонстрируют единство математики. Но если теорему можно доказать методами теории чисел, то такое доказательство имеет преимущество потому, что использует более слабую аксиоматику.

Эт правда, мне тоже лекции по теории чисел напомнило.



Редактировалось 3 раз(а). Последний 04.01.2010 09:56.

Цитата

если человек чего то не понимает - не стоит, думаю, издеваться над его компетенцией, или отсылать к многотомным трудам великих. в первом случае это говорит о вашей грубости а во втором - о вашей неспособности объяснить то, что вы сами поняли.

А если человек делает заведомо (см. выше) ложные заявления, то эту ложность надо продемонстрировать публике, чтобы у нормальных людей не осталось сомнений.

Цитата

уж если данное число входит в интервал, все числа которого имеют номера, то почему сразу не полагается что оно имеет номер?

Именно. А мы только что доказали, что оно не имеет номера. Полученное противоречие завершает доказательство.

Цитата

не напоминает ли это парадокс Рассела с его использованием некорректного понятия "множества всех множеств"?

Не напоминает, потому что в нашем случае противоречие произошло не только из аксиоматики теории множеств, но и из дополнительного предположения: "множество действительных чисел счётно". А парадокс Рассела доказал именно противоречивость самой аксиоматики (наивной теории множеств).

Цитата

вообще, корректно ли пытаться...?

Пытаться всегда корректно. Вопрос не понятен.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 04.01.2010 10:31.

"Именно. А мы только что доказали, что оно не имеет номера."

Как это Вы доказали? Это число в интервале есть. Построением Вы доказываете, что оно не совпадает ни с одним числом из интервала. В том числе и с собой. Что же это за число, которое и есть в интервале и одновременно нет? Тогда уж некорректно говорить не о номере числа, а о существовании самого такого числа.



Редактировалось 2 раз(а). Последний 04.01.2010 10:56.

Цитата

корректно только тогда, когда не доказано, что данная теорема в принципе недоказуема.

А это доказано?

Цитата

Как это Вы доказали?

Не мы, а Вы.

Цитата

вот ad_dy мне настоятельно рекомендовал перейти к "к множеству подмножеств $\mathbb{N}$". а в рамках аксиоматики ZFC, дополненной аксиомой регулярности, такие множества некорректны

Серьёзно? Докажите.
(Там вообще-то аксиома множества всех подмножеств есть)



Редактировалось 1 раз(а). Последний 04.01.2010 12:04.

Цитата

Можно теоремы теории чисел доказывать методами анализа. Такие теоремы красивы и демонстрируют единство математики. Но если теорему можно доказать методами теории чисел, то такое доказательство имеет преимущество потому, что использует более слабую аксиоматику.

Если под методами теории чисел понимаются методы формальной арифметики первой ступени, то, конечно, это более слабая аксиоматика. Вообще же теория чисел, как и анализ или современная алгебра ни в коей мере не ограничивает себя средствами этой весьма бедной теории. Например, ее средствами нельзя доказать что уравнение Ферма для n = 3 не имеет решений. Речь, как мне показалось, шла о методах современной математики в отношении понятия бесконечности. Тем не менее, с Вашим утверждением я полностью согласен, только не уверен, что оно приблизило меня к контексту.

Кроме того, уважаемый Neznayka, Вы привели короткую цитату из Вашего покорного слуги и дали к ней комментарий:

Цитата

Звучит очень и очень загадочно. Я не могу догадаться, о какой информации вы говорите. Проясните, пожалуйста, чему вы не доверяете. Может оказаться так, что мое объяснения окажется для вас из того же источника.

Речь шла об информации, к которой апеллирует доказательство - к непротиворечивости математики, в которую я верю. Любое доказательство "от противного" отсылает нас именно к этой вере. Разумеется это не формальная связь, а психологическая: Я принимаю факт потому, что верю в непротиворечивость системы. Если бы Вы привели в цитате мое рассуждение целиком, то это, по-моему, было бы ясно.

Цитата
museum
с Вашим утверждением я полностью согласен, только не уверен, что оно приблизило меня к контексту

Все хорошо, со всем согласен. Так что мы уже достигли контекста. Не будем пока из него выходить.

Цитата
museum
После этого доказательства (диагональным методом) я все еще не понимаю, а почему бы мне не попытаться построить подходящую функцию? Ведь доказательство не объясняет, почему такое построение не может быть осуществлено, а только напоминает, что математика, вообще-то не противоречива.

И находясь в контексте доказательства (диагональным методом) у меня возникает недоумение. Диагональный метод не дал вам возможности построить подходящую функцию? Потому что доказательство от противного? Но и ваше второе доказательство также от противного. А если по другой причине, то тогда мне надо познакомится с вашим доказательством поближе.

Объединение счетного числа счетных множеств, конечно, счетно. А вот произведение счетного числа счетных множеств - это континуум.
Если $Z$ - множество целых чисел, то декартово произведение $Z\timesZ$ (множество упорядоченных пар) можно представить, как объединение счетного числа счетных множеств. Достаточно на координатной плоскости рассмотреть точки с целыми координатами:
(1,1), (-1,3) и т.д. Это множество счетно, т.к. эти точки можно выписать в виде последовательности:
(0.0), (1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1), (2,0), ....- выписываем обходя центр координат против часовой стрелки.
А вод произведение счетного числа экземпляров множества $Z$, т.е. $Z\timesZ\timesZ...$ - континуум.

Цитата
a3846792
Но вот никто так и не может объяснить чем рациональное число отличается от иррационального - ведь и то и то имеет бесконечное число знаков после запятой

у любого рационального числа в десятичной записи есть конечный период - цепочка повторяющихся цифр. если эту запись взять в скобки как например $0,33333...=0,(3)$, то тогда мы получим конечную запись рационального числа. это если вас не устраивает конечная запись того же рац числа в виде дроби с двумя конечными числами в числителе и знаменателе.