Счетно ли несчетное множество?

Цитата
ad_dy

Цитата

Господин zklb (Дмитрий)! Спасибо вам за понимание вопроса и убедительная просьба объясните этот парадокс приведенный мною выше

О, точно, давайте сами теперь.

а я как то не совсем уловил в чем суть парадокса.

Цитата
museum
Диагональный метод априори предполагает, что выписывая по порядку цифры мы получим число.

Насколько мне представляется, диагональный метод (и вообще, математика) не предполагает, что, выписывая по порядку цифры, мы получаем число. Какое число? Каждый раз, выписывая цифру, мы изменяем написанное число. Когда же мы закончим выписывание, то, конечно, мы получим число, которое будет конечным.

Цитата
museum
Интуиционист с этим согласится только в том случае, если Вы предъявите номер

Не надо соглашаться ни в каком случае.

Цитата
museum
Интуиционист с этим согласится только в том случае, если Вы предъявите номер (натуральное число), начиная с которого все выписываемые цифры равны нулю.

На самом деле вы говорите не о числе, а о бесконечной последовательности цифр. Другими словами, о функции, которая для каждого натурального числа выдает цифру. В каждой теории имеется свой запас функций. Это прямо не относится к диагональному методу. Например, в теории множеств можно рассматривать все функции, определенные на данном множестве со значениями в данном множестве. В конструктивной математике в качестве функции могут выступать алгоритмы. Если задан такой алгоритм, конструктивист будет говорить о бесконечной последовательности цифр, не требуя, чтобы начиная с некоторого натурального числа, алгоритм выдавал бы только нули.

Цитата
museum
Таким образом, рассуждение для интуициониста изначально бессмысленно.

И для классика тоже.

Цитата
museum
Грубо говоря, функция с бесконечной областью определения имеет смысл только как процесс.

Поскольку вы изначально сделали неверное предположение, то ваш вывод пока остается необоснованным. Хотя можно рассматривать его как ваше кредо.

Цитата
museum
Проблема для инт-та звучит так:
Пусть дан процесс, про который известно, что он вычисляет все натуральные числа. Может ли быть, чтобы НЕ НАШЕЛСЯ номер i такой, чтобы (.....).

Схема доказательства диагональным методом иная. От противного мы предполагаем, что такой i существует. И затем приходим к противоречию. Снятия двойного отрицания не происходит.

Цитата
museum
Конечно, если бы речь шла о существовании только одного номера, то все было бы легче, но нам нужно предъявить ФУНКЦИЮ, которая для любого n предъявит за время, зависящее от n, подходящий номер, превосходящий n. Это именно то, чего и не дает диагональный метод.

Подходящий номер, превосходящий n? Для чего это? Этого не требуется. От диагонального метода требуется предъявить функцию, которая бы приводила к противоречию, точнее, для любого аргумента давала значение отличное от того, что соответствовало бы первоначальному предположению.

- Как известно, 1=2.
- Серьёзно?
- В пределе, разумеется. При достаточно больших значениях 1.

Цитата

Вы же никогда не сможете написать такую таблицу которая бы ставила в соответствие все рациональные числа целым.

А и не надо ее выписывать. Нужно функцию указать. Кто как умеет. Задавать функции таблицами - извращение в любом случае.

Цитата

Вы просто ставите в соответствие некоторые, а потом ставите три точки. Потому что очевидно, что дальше нумерация по аналогии.

Нет, не поэтому. А потому что теорема о построениях по индукции.

Цитата

Теперь здесь, мы нумеруем точки, находим непрнумерованную точку, нумеруем её

Нет, мы её не нумеруем. Мы заканчиваем рассуждение словами "чтд". Больше я этот вопрос обсуждать не буду: Вы не первый и не последний, кто ничего не понимает в логике, и объяснять такую тривиальщину каждому персонально я не собираюсь.

koky Вот наконец-то мой коллега нашелся! Я тоже считаю что ни в коем случае нельзя пронумеровать рациональные числа целыми - и что рациональные числа ничем не отличаются от иррациональных - и даже привел неразрешимые парадоксы доказывающие мою правоту - см сайт math-simple.ya.ru (И соответственно мой почтовый ящик math-simple@ya.ru )
Но вот спорить я уже сильно не стану - хоть мне сначала не смогли ответить на вопросы и казалось бы показали свою некомпетентность - потом один мудрый господин объяснил мне что все дело в том что это НЕСТАНДАРТНЫЙ АНАЛИЗ и там все это верно
А обычный канторовский анализ полное фуфло - то говорят что числе бесконечно много натуральных чисел а потом говорят что они конечны - так что вот так

Цитата

НЕСТАНДАРТНЫЙ АНАЛИЗ - СИЛА
Тупой канторовской теории могила

Простите не удержался :-)



Редактировалось 1 раз(а). Последний 17.01.2010 19:46.

Итак господа наконец-то я могу разгромить теорему Кантора и частично все что с ней связано - благодаря тому что сейчас будет приведено доказательство несчетности рациональных чисел
Сначала нестрого - мы нумеруем дроби по диагонали что в принципе является единственно правильным методом но с некоторого момента диагональ станет бесконечной по длине и дальше нее мы уйти не сможем (Хоть натуральных чисел бесконечность все равно дробей на главной диагонали тоже бесконечность) и таким образом половина таблицы окажется не пронумерованной - даже если предположить что она счетна все равно игра закончилась и мы нашли счетное множество которое не включено в нумерацию - а значит рациональных чисел континиум (Вот так мы боремся с врагом его же средствами) Далее становиться очевидно что дробей рациональных чисел и иррациональных чисел поровну - и что это на самом деле одно и то же - и что все иррациональные числа представимы дробью
Теперь докажем это формально - когда мы нумеруем то или иное числовое множество с помощью натуральных чисел то мы вводим на этом множестве определенный порядок элементов - а так как все эти элементы являются числами то при нумерации натуральными числами некоторого числа таких элементов мы получим некоторый упорядоченный набор значений - причем одно из значений будет максимальным по модулю Введем функцию S которая является отношением модуля максимального из пронумерованных чисел к количеству пронумерованным чисел - когда количество пронумерованных чисел стремится к бесконечности - то есть по сути предел
Теперь покажем что функция S верная - для натуральных чисел ее значение равно 1 - а для целых 0.5 но половина бесконечного множества это такое же бесконечное множества так что все верно - целые числа отлично нумеруются Но есть взять рациональные и расположить их для нумерацию уголком (По сути по диагонали) следующим образом - (1/1) (1/2 2/1) (1/3 2/3 3/2 3/1) (1/4 2/4 3/4 4/3 4/2 4/1) и так далее группами - причем в каждой i-ой группе максимальным значением является i - таким образом при нумерации i чисел мы попадаем в группу под номером floor[log_2(i)]+1 причем как было указано номер группы это то же самое что и максимальный элемент на группе - таким образом предел при i стремящемся к бесконечности (floor[log_2(i)]+i)/i равен нулю - то есть мы может пронумеровать 0 процентов дробей - утверждение доказано

Цитата

Обнаружил в своём предыдущем сообщении ошибку В последнем предложении я использовал будущее время, но теперь вынужден признать, что это было неправильно

Комплимент ваш это конечно хорошо но я претендую на роль чокнутого профессора (И никогда не стремился к этому :-) Но вот опровергнуть данные вещи вы конечно же не можете - потому что не можете мыслить по-другому - и самое главное вы хоть прочти это???

Цитата

я думаю, что здесь вопрос именно в корректности определения термина "функция" - принимать ли за аргумент точку в бесконечномерном пространстве или нет.

Функция - это теоретико-множественное понятие, к размерностям пространства оно вообще никакого отношения не имеет.

Цитата

я претендую на роль чокнутого профессора (И никогда не стремился к этому :-)

Претендуете, но никогда не стремились. Раздвоение личности?

Цитата

Но вот опровергнуть данные вещи вы конечно же не можете

Мне лень, и выше я объяснял, почему. Ждите тех, кому еще не надоело разбирать доказательства заведомо ложных утверждений. Нет, даже не читал.

ad_dy писал:
Функция - это теоретико-множественное понятие, к размерностям пространства оно вообще никакого отношения не имеет.

отчего же тогда Кантор рассматривает множество действительных чисел в таком бесконечномерном виде, да еще берет их вид за основу доказательства? то есть к размерностям пространства отношения это не имеет, а посему можно крутить ими как угодно?)

представление о функции у меня вполне классическое и с википедным совпадает - каждому элементу множества X сопоставляется один и только элемент множества Y. вот только у Кантора функция в качестве прообраза берет все элементы множества X. а потом в Вашем вопросе есть определенное лукавство - читайте ту же вики: "Иногда функция также принимается как основное понятие, не требующее определения".