Счетно ли несчетное множество?

Автор темы zklb (Дмитрий) 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеРаботодателям и кадровым агентствам: Размещение вакансий26.03.2008 03:07
ОбъявлениеПравила и принципы форума «Высшая математика»28.10.2009 15:17
ОбъявлениеКниги по математике и экономике в добрые руки!10.08.2023 09:45
09.01.2010 12:21
В том же духе
Цитата
museum
у меня нет и не может быть математических возражений против диагонального метода доказательства несуществования обсуждавшейся выше функции.
Очень хорошо. А есть ли у вас интуиционистские возражения против диагонального метода доказательства несуществования обсуждавшейся выше функции? А если есть, то какие?

- А я не знаю, знаю я или не знаю @ Незнайка
09.01.2010 15:28
хм.
Цитата
ad_dy
Цитата

Господин zklb (Дмитрий)! Спасибо вам за понимание вопроса и убедительная просьба объясните этот парадокс приведенный мною выше
О, точно, давайте сами теперь. smile

а я как то не совсем уловил в чем суть парадокса.
10.01.2010 00:58
О функции , строящей число
Ответ для незнайки.

Диагональный метод априори предполагает, что выписывая по порядку цифры мы получим число. Интуиционист с этим согласится только в том случае, если Вы предъявите номер (натуральное число) , начиная с которого все выписываемые цифры равны нулю. Таким образом, рассуждение для интуициониста изначально бессмысленно. Грубо говоря, функция с бесконечной областью определения имеет смысл только как процесс. Проблема для инт-та звучит так:
Пусть дан процесс, про который известно, что он вычисляет все натуральные числа. Может ли быть, чтобы НЕ НАШЕЛСЯ номер i такой , чтобы (.....). Диагональный метод ответит: "Не, не может".
Озачает ли это, что мы доказали, что НАЙДЕТСЯ такой номер, что (......). Интуиционист отвечает: "Это с какого такого рожна? Пока что Вы установили, что НЕ ВЕРНО, что НЕ НАЙДЕТСЯ...". Здесь присутствует двойное отрицание, которое не все позволяют убирать. Что бы установить , что НАЙДЕТСЯ такой номер, что (......), нужно предъявить процедуру, которая закончится в некоторое время построением нужного номера.
Конечно, если бы речь шла о существовании только одного номера, то все было бы легче, но нам нужно предъявить ФУНКЦИЮ, которая для любого n предъявит за время , зависящее от n, подходящий номер, превосходящий n. Это именно то, чего и не дает диагональный метод.
10.01.2010 12:57
Конкретный разговор
Цитата
museum
Диагональный метод априори предполагает, что выписывая по порядку цифры мы получим число.
Насколько мне представляется, диагональный метод (и вообще, математика) не предполагает, что, выписывая по порядку цифры, мы получаем число. Какое число? Каждый раз, выписывая цифру, мы изменяем написанное число. Когда же мы закончим выписывание, то, конечно, мы получим число, которое будет конечным.

Цитата
museum
Интуиционист с этим согласится только в том случае, если Вы предъявите номер
Не надо соглашаться ни в каком случае.

Цитата
museum
Интуиционист с этим согласится только в том случае, если Вы предъявите номер (натуральное число), начиная с которого все выписываемые цифры равны нулю.
На самом деле вы говорите не о числе, а о бесконечной последовательности цифр. Другими словами, о функции, которая для каждого натурального числа выдает цифру. В каждой теории имеется свой запас функций. Это прямо не относится к диагональному методу. Например, в теории множеств можно рассматривать все функции, определенные на данном множестве со значениями в данном множестве. В конструктивной математике в качестве функции могут выступать алгоритмы. Если задан такой алгоритм, конструктивист будет говорить о бесконечной последовательности цифр, не требуя, чтобы начиная с некоторого натурального числа, алгоритм выдавал бы только нули.

Цитата
museum
Таким образом, рассуждение для интуициониста изначально бессмысленно.
И для классика тоже.

Цитата
museum
Грубо говоря, функция с бесконечной областью определения имеет смысл только как процесс.
Поскольку вы изначально сделали неверное предположение, то ваш вывод пока остается необоснованным. Хотя можно рассматривать его как ваше кредо.

Цитата
museum
Проблема для инт-та звучит так:
Пусть дан процесс, про который известно, что он вычисляет все натуральные числа. Может ли быть, чтобы НЕ НАШЕЛСЯ номер i такой, чтобы (.....).
Схема доказательства диагональным методом иная. От противного мы предполагаем, что такой i существует. И затем приходим к противоречию. Снятия двойного отрицания не происходит.

Цитата
museum
Конечно, если бы речь шла о существовании только одного номера, то все было бы легче, но нам нужно предъявить ФУНКЦИЮ, которая для любого n предъявит за время, зависящее от n, подходящий номер, превосходящий n. Это именно то, чего и не дает диагональный метод.
Подходящий номер, превосходящий n? Для чего это? Этого не требуется. От диагонального метода требуется предъявить функцию, которая бы приводила к противоречию, точнее, для любого аргумента давала значение отличное от того, что соответствовало бы первоначальному предположению.
15.01.2010 04:44
согласен на ничью.. поспорьте, если не жалко времени
Цитата
brukvalub
Вот играете Вы в шахматы. И поставил Ваш противник Вам мат. Вы же не кричите: "обознатушки-перепрятушки!!! , давай я все свои ходы, начиная с пятого, заново перехожу". Нет, Вы честно лезете под стол и оттуда три раза ку-ка-ре-ку-ете, если игра шла на "три ку-ка-ре-ку".
Так и здесь: "Ну пусть мы нашли число не входящее в множество пронумерованных. Ну и что?! " - ВСЕ, АЛЛЕС КАПУТ, ПАРТИЯ ПРОИГРАНА! В доказательствах тоже "перехаживать заново с пятого хода" нельзя.

Ну тогда так. Не то что бы я перехаживаю, я говорю, что я учёл ошибки и давай играть заново. Ну как люди выясняют кто лучше играет?! Играют, например 3 партии... Конечно, в каждой партии я проиграю. Но после каждой партии я нумерую следующе число.. и нумерую и нумерую... опяь и опять... бесконечно... конечно ... я никогда не пронумерую... Впрочем, я никогда не пронумерую и рациональные. А так я нумерую, всё новые и новые числа, процесс бесконечный, но может быть в пределе... хм...
15.01.2010 06:50
koky, спасибо, что объяснили глубокий смысл этого анекдота
- Как известно, 1=2.
- Серьёзно?
- В пределе, разумеется. При достаточно больших значениях 1.
15.01.2010 10:38
хаха
хаха...ладн..насчёт предела я переборщил, но осталное... Вы же никогда не сможете написать такую таблицу которая бы ставила в соответствие все рациональные числа целым. Вы просто ставите в соответствие некоторые, а потом ставите три точки. Потому что очевидно, что дальше нумерация по аналогии. Теперь здесь, мы нумеруем точки, находим непрнумерованную точку, нумеруем её, находим другую, и её тоже нумеруем, дальше по аналогии...и если мы будем продолжать так счётное количество раз, то множество счётно... однако если оно счётно, то мы всё равно найдём непронумерованное число, и это не верно. ну да... моножество счётно или несчётно. если счётно, тогда противоречие, значит несчётно. Но противоречие можно устранить, пронумеровав новое число. Да, нам никогда не доказать что оно счётно. Но и никода не доказать, что оно несчётно... или нет



Редактировалось 2 раз(а). Последний 15.01.2010 11:28.
16.01.2010 20:50
.
Цитата

Вы же никогда не сможете написать такую таблицу которая бы ставила в соответствие все рациональные числа целым.
А и не надо ее выписывать. Нужно функцию указать. Кто как умеет. Задавать функции таблицами - извращение в любом случае.
Цитата

Вы просто ставите в соответствие некоторые, а потом ставите три точки. Потому что очевидно, что дальше нумерация по аналогии.
Нет, не поэтому. А потому что теорема о построениях по индукции.
Цитата

Теперь здесь, мы нумеруем точки, находим непрнумерованную точку, нумеруем её
Нет, мы её не нумеруем. Мы заканчиваем рассуждение словами "чтд". Больше я этот вопрос обсуждать не буду: Вы не первый и не последний, кто ничего не понимает в логике, и объяснять такую тривиальщину каждому персонально я не собираюсь.
16.01.2010 21:23
согласен
Да, действительно у меня пока очень недостаточно знаний в логике, чтобы оформить свои рассуждения строго. И времени на это жалко. И бесперспективно наверно. Вобщем то это был и не насущный вопрос, я же не утверждаю, что всю математику надо призанть неверной ....и т.д. Я вообще не утверждал, что теорема не верная. Очень даже строгая и логичная. И тем более наверняка не единственая. Просто хотел поделиться мнением. Всё... больше не пишу.
17.01.2010 19:35
Вот это да
koky Вот наконец-то мой коллега нашелся! Я тоже считаю что ни в коем случае нельзя пронумеровать рациональные числа целыми - и что рациональные числа ничем не отличаются от иррациональных - и даже привел неразрешимые парадоксы доказывающие мою правоту - см сайт math-simple.ya.ru (И соответственно мой почтовый ящик math-simple@ya.ru )
Но вот спорить я уже сильно не стану - хоть мне сначала не смогли ответить на вопросы и казалось бы показали свою некомпетентность - потом один мудрый господин объяснил мне что все дело в том что это НЕСТАНДАРТНЫЙ АНАЛИЗ и там все это верно
А обычный канторовский анализ полное фуфло - то говорят что числе бесконечно много натуральных чисел а потом говорят что они конечны - так что вот так
Цитата

НЕСТАНДАРТНЫЙ АНАЛИЗ - СИЛА
Тупой канторовской теории могила
Простите не удержался :-)



Редактировалось 1 раз(а). Последний 17.01.2010 19:46.
17.01.2010 20:03
Я так и знал ...
museum, ну зачем Вы рассказали этому человеку про нестандартный анализ, когда он пятый класс осилить не может ... Теперь свихнётся окончательно ...
17.01.2010 20:14
Формализм
Итак господа наконец-то я могу разгромить теорему Кантора и частично все что с ней связано - благодаря тому что сейчас будет приведено доказательство несчетности рациональных чисел
Сначала нестрого - мы нумеруем дроби по диагонали что в принципе является единственно правильным методом но с некоторого момента диагональ станет бесконечной по длине и дальше нее мы уйти не сможем (Хоть натуральных чисел бесконечность все равно дробей на главной диагонали тоже бесконечность) и таким образом половина таблицы окажется не пронумерованной - даже если предположить что она счетна все равно игра закончилась и мы нашли счетное множество которое не включено в нумерацию - а значит рациональных чисел континиум (Вот так мы боремся с врагом его же средствами) Далее становиться очевидно что дробей рациональных чисел и иррациональных чисел поровну - и что это на самом деле одно и то же - и что все иррациональные числа представимы дробью
Теперь докажем это формально - когда мы нумеруем то или иное числовое множество с помощью натуральных чисел то мы вводим на этом множестве определенный порядок элементов - а так как все эти элементы являются числами то при нумерации натуральными числами некоторого числа таких элементов мы получим некоторый упорядоченный набор значений - причем одно из значений будет максимальным по модулю Введем функцию S которая является отношением модуля максимального из пронумерованных чисел к количеству пронумерованным чисел - когда количество пронумерованных чисел стремится к бесконечности - то есть по сути предел
Теперь покажем что функция S верная - для натуральных чисел ее значение равно 1 - а для целых 0.5 но половина бесконечного множества это такое же бесконечное множества так что все верно - целые числа отлично нумеруются Но есть взять рациональные и расположить их для нумерацию уголком (По сути по диагонали) следующим образом - (1/1) (1/2 2/1) (1/3 2/3 3/2 3/1) (1/4 2/4 3/4 4/3 4/2 4/1) и так далее группами - причем в каждой i-ой группе максимальным значением является i - таким образом при нумерации i чисел мы попадаем в группу под номером floor[log_2(i)]+1 причем как было указано номер группы это то же самое что и максимальный элемент на группе - таким образом предел при i стремящемся к бесконечности (floor[log_2(i)]+i)/i равен нулю - то есть мы может пронумеровать 0 процентов дробей - утверждение доказано
17.01.2010 20:46
Ошибка.
Обнаружил в своём предыдущем сообщении ошибку. В последнем предложении я использовал будущее время, но теперь вынужден признать, что это было неправильно. rolleyes
17.01.2010 20:59
Эээ
Цитата

Обнаружил в своём предыдущем сообщении ошибку В последнем предложении я использовал будущее время, но теперь вынужден признать, что это было неправильно
Комплимент ваш это конечно хорошо но я претендую на роль чокнутого профессора (И никогда не стремился к этому :-) Но вот опровергнуть данные вещи вы конечно же не можете - потому что не можете мыслить по-другому - и самое главное вы хоть прочти это???
18.01.2010 10:26
хм.
вообще хитрая функция у Кантора в диагональном методе: она зависит от бесконечного числа аргументов. я думаю, что здесь вопрос именно в корректности определения термина "функция" - принимать ли за аргумент точку в бесконечномерном пространстве или нет.
19.01.2010 09:30
.
Цитата

я думаю, что здесь вопрос именно в корректности определения термина "функция" - принимать ли за аргумент точку в бесконечномерном пространстве или нет.
Функция - это теоретико-множественное понятие, к размерностям пространства оно вообще никакого отношения не имеет.
Цитата

я претендую на роль чокнутого профессора (И никогда не стремился к этому :-)
Претендуете, но никогда не стремились. Раздвоение личности?
Цитата

Но вот опровергнуть данные вещи вы конечно же не можете
Мне лень, и выше я объяснял, почему. Ждите тех, кому еще не надоело разбирать доказательства заведомо ложных утверждений. Нет, даже не читал.
19.01.2010 12:18
Ай, Моська - знать она сильна ...
Цитата
a3846792
Итак господа наконец-то я могу разгромить теорему Кантора и частично все что с ней связано - благодаря тому что сейчас будет приведено доказательство несчетности рациональных чисел
Сначала нестрого - мы нумеруем дроби

А кто Вас заставляет действовать заведомо непригодным способом?
Давайте пронумеруем все натуральные. Начнём-ка, пожалуй, с чётных
Цитата

что в принципе является единственно правильным методом
ибо они (even) ровные и гладкие, а нечётные (odd) - странные и лишние ...
Цитата

но с некоторого момента чётных станет бесконечно много и дальше них мы уйти не сможем (Хоть натуральных чисел бесконечность все равно чётных тоже бесконечность) и таким образом половина чисел окажется не пронумерованной - даже если предположить что она счетна все равно игра закончилась и мы нашли счетное множество которое не включено в нумерацию - а значит натуральных чисел континиум

А чего мелочиться? Теперь можно прикрыть лавочку с простыми числами - среди чётных чисел простое одно, а среди нечётных (то есть лишних) - их, сказывают, бесконечно много. Счётно их или несчётно и с какой стати их простыми называют?

_____________________________
Правила русского языка категорически против решения пределов, интегралов, рядов, матриц, определителей, функций, ...
..
19.01.2010 17:05
хм...
ad_dy писал:
Функция - это теоретико-множественное понятие, к размерностям пространства оно вообще никакого отношения не имеет.

отчего же тогда Кантор рассматривает множество действительных чисел в таком бесконечномерном виде, да еще берет их вид за основу доказательства? то есть к размерностям пространства отношения это не имеет, а посему можно крутить ими как угодно?)
19.01.2010 17:37
Поскольку вопрос все равно не понятен ...
zklb, приведите здесь сейчас же определение понятия "функция" (ну или "отображение"). Хочу убедиться, что оно Вам известно, дабы было о чем говорить вообще (Это, кстати, мой любимый тест, отличающий математиков от прочих умников)



Редактировалось 1 раз(а). Последний 19.01.2010 17:38.
19.01.2010 18:25
хм.
представление о функции у меня вполне классическое и с википедным совпадает - каждому элементу множества X сопоставляется один и только элемент множества Y. вот только у Кантора функция в качестве прообраза берет все элементы множества X. а потом в Вашем вопросе есть определенное лукавство - читайте ту же вики: "Иногда функция также принимается как основное понятие, не требующее определения".
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти