Счетно ли несчетное множество?

Автор темы zklb (Дмитрий) 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеПравила и принципы форума «Высшая математика»28.10.2009 15:17
ОбъявлениеОткрыта свободная публикация вакансий для математиков26.09.2019 16:34
ОбъявлениеКниги по математике и экономике в добрые руки!10.08.2023 09:45
23.01.2010 03:01
именно так.
Цитата
brukvalub
Как я понял, zklb (Дмитрий) спрашивает о возможности выписать все действительные числа одно за другим в некотором порядке.
23.01.2010 05:46
Что - "так"?
Ну так я уже ответил в соответствии с этим пониманием.
23.01.2010 18:15
ага.
значит бесмысленно доказывать счетность используя всякого рода таблицы? ведь таблица задает порядок, а стало быть счетность уже заведомо полагается. и как тогда быть с рациональными числами?
23.01.2010 18:20
Не могу понять.
Рациональные числа записываются в бесконечную вправо и вниз таблицу без предположения их счетности, а просто исходя из их определения.
Вы спросили, можно ли выписать одно за другим действительные числа, но сами такого способа не предложили.
Я сообщил Вам, что это невозможно и привел аргумент, почему это невозможно.
Как отсюда следует Ваша реплика: "значит бесмысленно доказывать счетность используя всякого рода таблицы? ведь таблица задает порядок, а стало быть счетность уже заведомо полагается. и как тогда быть с рациональными числами?" ?
23.01.2010 18:31
хм
я тут думаю о таком методе взятия упорядоченного множества действительных чисел: берем интервал (0;1), и внутри его выбираем точку - действительное число. это первый элемент множества. точка разбивает интервал на два интервала - берем последовательно вторую и третью точку из этих двух интервалов. уже имеет три точки, делящие интервал на 4 части. берем далее 4 точки из полученных интервалов и так далее. этот метод не годится?
23.01.2010 18:42
Ну. это вряд ли.
Годится, если докажете, что каждая точка интервала когда-то будет названа.
Вот только что-то мне подсказывает. что вряд ли Вы это докажете...
23.01.2010 19:20
примерно так:
любая точка, которая предполагается невзятой, содержится в одном из интервалов, полученных на текущем шаге. на следующем шаге правило выбора не запрещает нам выбрать именно эту точку и все последующие указанные отдельно.
то есть какую бы вы точку ни указали - ее номер можно всегда получить на очередном этапе выбора.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 23.01.2010 19:22.
23.01.2010 19:31
А вот еще
Я уже догадываюсь как это будет воспринято - но все-таки вынесу к вашему вниманию следующую теоремку
Цитата
Теорема1
Множество P состоящее только из положительных чисел является счетным тогда и только тогда - когда это множество не содержит верхней границы и при этом существуют числа конечные a и b - такие что a<b и если взять все элементы множества Pi которые лежат в интервале a<Pi<b - и их окажется конечное число - то множество является счетным
Цитата
Теорема2
Если множество P содержит и отрицательные элементы - то можно принять в рассмотрение модули соответствующих чисел и теорема будет верна
Я никого громить не хочу но очевидно что данные теоремы верны

Помимо прочего данные теоремы подтверждают факт о всюду плотности дробей - и как следствие континуальность всех таких множеств



Редактировалось 1 раз(а). Последний 23.01.2010 19:32.
23.01.2010 20:49
Хорошо пошутили
Цитата

Множество P состоящее только из положительных чисел является счетным тогда и только тогда - когда это множество не содержит верхней границы и ...
Так, то есть любое счетное множество положительных чисел не содержит верхней границы. Думаю, можно вешать на стенку в черную рамочку.
23.01.2010 20:49
Но деньги - вперед!
Цитата
zklb (Дмитрий)
любая точка, которая предполагается невзятой, содержится в одном из интервалов, полученных на текущем шаге. на следующем шаге правило выбора не запрещает нам выбрать именно эту точку и все последующие указанные отдельно.
то есть какую бы вы точку ни указали - ее номер можно всегда получить на очередном этапе выбора.
Даже спившийся монтер Мечников, и тот хорошо понимал незыблемость принципа "Утром деньги - днем стулья, днем деньги - вечером стулья", я же по утрам не опохмеляюсь, поэтому обмануть меня тем более не удастся.
Итак, сначала предъявите способ выписывания всех действительных чисел и докажите, что они все выписаны (как это сделано с рац. числами), а уж потом я предъявлю вам не выписанную точку, а не наоборот - я предъявляю вам точку, и вы тут же даете ей номер.
(а клоуна mat-h-simple (Math-Simple) фтопку).



Редактировалось 1 раз(а). Последний 23.01.2010 21:44.
23.01.2010 23:20
хм.
brukvalub

иными словами вы требуете от меня явную функцию соответствия?)
23.01.2010 23:26
Я требую правды.
Я требую предъявить такой способ последовательного выписывания всех действительных чисел, про который вы сможете доказать, что каждое действительное число было действительно вами выписано, а не будете дописывать невыписанные числа после предъявления вам таковых.
23.01.2010 23:38
хм.
докажите что я не выпишу ни одно из чисел.
23.01.2010 23:44
В артели "напрасный труд" не состою.
Глупостями не занимаюсь, отвечу анекдотом: К мужчине, ведущем в зоопарке за руку сына, подбегает взволнованный смотритель и заикаясь сообщает ему: "Там, возле клетки с тигром, ваша жена немного замешкалась, и тигр затянул ее лапой в клетку", на что мужчина возмущенно отвечает:"Ну, и что вы теперь от меня хотите? В конце концов, это ваш тигр, вот вы его теперь и спасайте".
24.01.2010 03:58
Хм...
Вот brukvalub считается одним из знатоков на этом форуме - но за время моего присутствия он то несет ерунду (Про всяких троллей и гоблинов - а сейчас и про цирковые выступления братства кольца :-) то травит анекдоты (Прям хоть на острие не ходи) Но все-таки хорошо было бы увидеть его в деле!



Редактировалось 1 раз(а). Последний 24.01.2010 03:59.
24.01.2010 04:25
анекдот как аргумент.
в доказательстве от противного легко прокатывают неявно указанные предполагаемые функции, но если уж доказывать на прямую - тут уж вынь да положь явную зависимость для каждого аргумента.
24.01.2010 10:22
Про дело.
Цитата
mat-h-simple (Math-Simple)
Вот brukvalub считается одним из знатоков на этом форуме - но за время моего присутствия он то несет ерунду (Про всяких троллей и гоблинов - а сейчас и про цирковые выступления братства кольца :-) то травит анекдоты (Прям хоть на острие не ходи) Но все-таки хорошо было бы увидеть его в деле!
Раз пошли на дело я и Рабинович,
Рабинович выпить захотел......
24.01.2010 14:42
На самом деле
На самом деле у меня есть доказательство счетности множества вещественных чисел - благодаря счетности его составляющих рациональных и иррациональных чисел
Известно что функция Дирихле прерывная в каждой ее точке - если взять точку рациональную то и слева и справа от нее окажутся иррациональные точки - потому что если бы оказалась рациональная то функция была бы непрерывна в этих точках Аналогичное рассуждения и для иррациональных
Известно что рациональные можно пронумеровать - сначала пронумеруем их а потом дадим каждому заместо номера n номер 2n - освободив так номера 2n+1 А все иррациональные числа которые заключены между рациональными дадим им как раз номер 2n+1
Все счетное действиятельная ось
24.01.2010 14:52
Неверно
Цитата
mat-h-simple (Math-Simple)
если взять точку рациональную то и слева и справа от нее окажутся иррациональные точки
Справа от рациональной точки будет множество всех вещественных точек, больших ее, а слева - соответственно меньших ее. Так что справа и слева окажутся и рациональные, и иррациональные точки. Или у вас особый взгляд на действительную прямую?
24.01.2010 15:04
Идея не нова.
Так еще А.С. Пушкин все числа в своих стихах нумеровал: "Пойдёт направо - песнь заводит, налево - сказки говорит..."
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти