Счетно ли несчетное множество?

Автор темы zklb (Дмитрий) 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеРаботодателям и кадровым агентствам: Размещение вакансий26.03.2008 03:07
ОбъявлениеЗапущен новый раздел «Задачки и головоломки»29.08.2019 00:42
ОбъявлениеКниги по математике и экономике в добрые руки!10.08.2023 09:45
Форумы Список тем Новая тема
25.11.2009 16:50
bot
Очень хорошо согласуется
Цитата
zklb (Дмитрий)
Как она согласуется с множеством корней из натуральных чисел, каждый из которых представляет собой бесконечную "последовательность с членами из некоторого множества". Оно тоже отличается по мощности от "множества конечных последовательностей" сиречь множества натуральных чисел?
Разумеется нет - первое инъективно погружается в декартов квадрат второго, которое счётно, а потому и само счётно.
Первое множество содержит не все бесконечные последовательности.

_____________________________
Правила русского языка категорически против решения пределов, интегралов, рядов, матриц, определителей, функций, ...
..
Ответить Цитировать
25.11.2009 20:06
zklb (Дмитрий)
Точно
Цитата
bot
Первое множество содержит не все бесконечные последовательности.
Именно, что не все.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 25.11.2009 20:07.
Ответить Цитировать
25.11.2009 20:18
zklb (Дмитрий)
Уточнение
Цитата
brukvalub
Возьмите постоянные конечные последовательности

Я правильно понимаю под этим термином последовательности из определенного числа N членов?
Ответить Цитировать
25.11.2009 20:28
brukvalub
Правильное понимание.
Цитата
zklb (Дмитрий)
Цитата
brukvalub
Возьмите постоянные конечные последовательности

Я правильно понимаю под этим термином последовательности из определенного числа N членов?
Нет, неправильно.
В каждой послед-сти конечное число членов, но у разных послед-стей число членов может различаться.
Ответить Цитировать
26.11.2009 02:29
zklb (Дмитрий)
Решение домашнего задания с заменой действительных чисел на натуральные
Цитата
brukvalub
"Возьмите постоянные конечные последовательности из всевозможных действительных чисел и попробуйте определить мощность этого мн-ва последовательностей.
Если получится - отпишитесь здесь.

Пусть $X$ - множество конечных последовательностей натуральных чисел. Каждое натуральное число составлено из конечного числа цифр. Для каждой последовательности $x\inX$ можно осуществить конкатинацию ее членов, приписывая к первому члену справа второй, далее третий и т.д. Поскольку последовательность конечна и число цифр в записи каждого ее члена конечно - этот процесс конечен. Число цифр в полученной записи $s$ конечно, ибо это конечная сумма конечного числа цифр. Сопоставим последовательности $x$ натуральное число, соответствующее записи $s$. Таким образом, каждой последовательности $s$ сопоставляется некоторое натуральное число. Следовательно, множество $X$ по мощности равно подмножеству натуральных чисел, то есть не более, чем счетно.
Ответить Цитировать
26.11.2009 07:38
brukvalub
Зачтено!
.......
Ответить Цитировать
26.11.2009 09:46
neznayka
Не верю!
Цитата
brukvalub
Зачтено!
Вы же спрашивали о последовательностях действительных, а не натуральных чисел.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 26.11.2009 09:48.
Ответить Цитировать
26.11.2009 15:08
zklb (Дмитрий)
Следите за перепиской.
Цитата
neznayka
Цитата
brukvalub
Зачтено!
Вы же спрашивали о последовательностях действительных, а не натуральных чисел.

Я не могу использовать в доказательстве множество, мощность которого мне "непонятна")

И вообще весь сыр-бор тут не из за того - счетно или несчетно множество действительных чисел, а из-за сомнений в самом диагональном методе, который является единственным аргументом в пользу несчетности. У меня уже сложилось подозрение (и спасибо форуму за это), что корень проблемы в том, что натуральные числа мы обязываем на конечность их записи, не требуя того от действительных чисел. Получается, что бесконечная запись цифр действительного числа для нас не менее число, чем конечная.



Редактировалось 2 раз(а). Последний 26.11.2009 15:17.
Ответить Цитировать
26.11.2009 15:21
neverland
что есть число
Цитата
zklb (Дмитрий)
Получается, что бесконечная запись цифр действительного числа для нас не менее число, чем конечная.
Уж извините, но вот это -- просто набор слов.
Ответить Цитировать
26.11.2009 15:32
zklb (Дмитрий)
Доведение до абсурда
Определяя, например, мощность множества рациональных чисел, мы полагаемся на конечную запись их в виде дроби, мощность множества алгебраических чисел - на конечную последовательность коэффициентов соответствующего многочлена. И если доказать, что каждое действительное число можно выразить через конечное число любых символов, то тогда его счетность доказывается легко. Диагональный метод же ведет себя, как мне кажется, следующим образом: говорит, вот, мол, Петя, Вася, Коля и прочие - это люди. А вот Вам Вольдемар - он не Петя, не Вася и не Коля и не все прочие, а Вольдемар сам по себе. Следовательно, он не человек.
Ответить Цитировать
26.11.2009 15:40
zklb (Дмитрий)
Посмотрите
Цитата
neverland
Цитата
zklb (Дмитрий)
Получается, что бесконечная запись цифр действительного числа для нас не менее число, чем конечная.
Уж извините, но вот это -- просто набор слов.

http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc1p/15770
Ответить Цитировать
26.11.2009 15:52
neverland
мда...
Что вы хотели сказать ссылкой на определение действительного числа из энциклопедии, затрудняюсь ответить. Вы чем не довольны? Диагональной процедурой Кантора? Доказательством от противного как методом доказательства? Абстракцией действительного числа? Или всем сразу?
Ответить Цитировать
26.11.2009 15:57
zklb (Дмитрий)
Пояснение
Прочитайте мой самый первый пост.
Ответить Цитировать
26.11.2009 16:44
brukvalub
Ведь можем, когда захотим!
"У меня уже сложилось подозрение (и спасибо форуму за это), что корень проблемы в том, что натуральные числа мы обязываем на конечность их записи, не требуя того от действительных чисел. Получается, что бесконечная запись цифр действительного числа для нас не менее число, чем конечная." писал zklb (Дмитрий).
Именно в этом и есть корень зла! Даже бесконечные последовательности только из двух разных символов уже образуют мн-во мощности континуум, а множество конечных последовательностей, составленных из конечного, фиксированного набора символов - образуют счетное множество.
Ответить Цитировать
26.11.2009 17:31
zklb (Дмитрий)
Поправка
Цитата
brukvalub
а множество конечных последовательностей, составленных из конечного, фиксированного набора символов - образуют счетное множество.

Разве в "домашнем задании" я не показал, что множество конечных последовательностей, составленных из бесконечного набора символов (то есть множества натуральных чисел) тоже образуют счетное множество? Ваше же утверждение слабее.
Ответить Цитировать
26.11.2009 17:45
brukvalub
Давайте опять поиграем в войнушку! (а то я в детстве все умные книжки читал и не наигрался).
"Разве в "домашнем задании" я не показал, что множество конечных последовательностей, составленных из бесконечного набора символов (то есть множества натуральных чисел) тоже образуют счетное множество? Ваше же утверждение слабее." А данное Ваше утверждение без упоминания счетности набора символов, из которых составляются конечные последовательности, становится попросту неверно....
Отмечу также. что подмена слов "составленных из бесконечного набора символов" на слова "(то есть множества натуральных чисел)" не является тождественной подменой.
Ответить Цитировать
26.11.2009 19:16
zklb (Дмитрий)
Каюсь
Да Вы правы - при переходе от конечного набора к бесконечному, естественно надо указать его счетность или несчетность. И там должно было быть "бесконечного счетного набора символов".
Ответить Цитировать
16.12.2009 03:08
zklb (Дмитрий)
а если так?
попробуем взять диагональный метод себе во благо. возьмем одно действительное число и дадим ему номер 1. поместим его в множество X - множество всех пронумерованных действительных чисел. затем диагональным методом построим другое действительное число x, не совпадающее с числами в множестве X. перенумеруем в множестве X все числа, увеличив их номера на единицу и поместим в это множество под номером 1 полученное число x.
проблема тут как и у кантора - вся в методе - конечен ли способ получения диагональным методом числа, отличного от всех уже пронумерованных? очевидно - нет.
Ответить Цитировать
16.12.2009 03:56
neznayka
Очевидно - да
Цитата
zklb (Дмитрий)
конечен ли способ получения диагональным методом числа, отличного от всех уже пронумерованных?

Если возможно определить конечный алгоритм (а других не бывает), который по данному способу нумерации дает новый способ нумерации, то "конечный способ" существует. Конкретно в рассматриваемом нами случае такой способ, очевидно, существует.
Ответить Цитировать
16.12.2009 17:36
zklb (Дмитрий)
извините
что значит конечный алгоритм? если не ошибаюсь - это алгоритм, который завершается за конечное число шагов. на каждом шаге диагонального метода мы меняем один разряд действительного числа. а число разрядов действительного числа бесконечно. где же тут конечность? алгоритм построения никогда не завершится.
Ответить Цитировать
Страницы: 1234567891011…16
« Следующая тема   Предыдущая тема »
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти