Счетно ли несчетное множество?

Цитата
a3846792

Цитата

Думаю, на этом месте пора разговор заканчивать. И слишком долгим он был.

Спасибо за беседу

Из стихотворения Александра Трифоновича Твардовского "Ленин и печник".

..............
А печник и рад отчасти,-
По-хозяйски руку в бок,-
Ведь при царской прежней власти
Пофорсить он разве мог?

Грядка луку в огороде,
Сажень улицы в селе,-
Никаких иных угодий
Не имел он на земле...

- Эй ты, кто там ходит лугом!
Кто велел топтать покос?! -
Да с плеча на всю округу
И поехал, и понес.

Разошелся.
А прохожий
Улыбнулся, кепку снял.
- Хорошо ругаться можешь! -
Только это и сказал.
.........



Редактировалось 1 раз(а). Последний 24.12.2009 22:21.

Блин я сам хотел удалить эту надпись да мой интернет мне не дал :-) Сорри всем за это

Цитата

тогда диагональный метод бессилен что-либо сделать

Серьёзно?
Ну-ка:

0.000000000000000...
0.100000000000000...
0.110000000000000...
0.111000000000000...
...

Ну и диагональный метод в этом месте смело выдаёт 1.000000...=1, и оказывается прав.

а вот слева от запятой мы не будем разряды менять) только справа) или уж в угоду первого разряда возьмем открытый интервал.



Редактировалось 5 раз(а). Последний 26.12.2009 22:52.

Цитата

а вот слева от запятой мы не будем разряды менять) только справа) или уж в угоду первого разряда возьмем открытый интервал.

Ну значит Вы неправильно применяете метод Кантора. Для доказательства несчетности открытого интервала (0,1) он в этой форме не работает.

Вы всё время жульничаете, приписывая Кантору то, чего он никогда не утверждал. С тем же успехом Вы могли пытаться доказать несчетность множества, состоящего из всех чисел, кроме того, которое получается избранным Вами конкретным диагональным методом. Это абсолютно то же самое.

Кстати, напомню, что метод Кантора есть частный случай теоремы Бэра о категориях. Для теоремы Бэра, как известно, нужна полнота упомянутого в ней пространства.

Цитата

есть такой вопрос - конечно ли число, равное бесконечной сумме конечных натуральных чисел?

Заводите отдельную тему, не оффтопьте. А вообще $-\frac1{12}$, см. здесь.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 27.12.2009 07:48.

Цитата
zklb
насчет открытого интервала - разве ж это нечестно? я еще с универовской скамьи помню, что вся числовая ось, отображается именно в открытый интервал (через полуокружность)

Мало ли что куда отображается? Ну да, есть отображение, которая не только биекция, но и гомеоморфизм даже, но оно не сохраняет свойств, требуемых для работоспособности метода Кантора (или, точнее, надо заметить, что сам метод Кантора Вы провести через отображение забыли).

Цитата
zklb
ну это хитрый вопрос - метод кантора в одних условиях работает, а в других нет.

Методу Кантора при построении математики достаточно сработать всего один раз. При доказательстве, что $\left|2^X\right|>|X|$, где множество $X$ произвольно (и в такой форме он всегда работает, кроме, быть может, тривиального случая $X=\emptyset$, когда ему просто делать нечего).

Цитата
ad_dy
если кто не заметил, в двоичной системе метод Кантора действительно косячит в связи с проблемами вида 0.(1)=1 (и это тривиально и общеизвестно). Нужно либо брать троичную систему (и тогда можно будет заведомо не выбирать никогда двойку), либо говорить о $2^\mathbb{N}$, а не о $\mathbb{R}$.

и это я еще жульничаю. "тривиально и общеизвестно" - это не повод оправдать косяки метода, не работающего в "неудобной" системе счисления.
вообще, странно такое вот апологетство. если бы доказательство счетности действительных чисел и было - на него тут же можно дать опровержение по кантору - мол, выстраиваем и поехали по диагонали. причем выстраиваем "формально", ибо порядка непосредственного следования у действительных чисел нет, а любое введение такого порядка трактуется как произвол.в конце концов, пусть даже счетно множество действительных чисел - есть ли в том качественный скачок? множеств с промежуточной мощностью, например, так и не найдено.

и уж поймите меня правильно - я не в пантеон великих математиков лезу со своим мнением. мне соглашатели не нужны. просто в универе студенты проглатывают это канторовское доказательство и ничуть не задумываются о нем. а я хочу чтобы именно задумались.

Цитата

ибо порядка непосредственного следования у действительных чисел нет, а любое введение такого порядка трактуется как произвол.

Любое множество можно вполне упорядочить. Это называется теорема Цермело, она эквивалентна аксиоме выбора. Правда, для несчетных множеств такой порядок никто никогда не видел, ну и фиг с ним.

Цитата
ad_dy

Цитата

ибо порядка непосредственного следования у действительных чисел нет, а любое введение такого порядка трактуется как произвол.

Любое множество можно вполне упорядочить. Это называется теорема Цермело, она эквивалентна аксиоме выбора. Правда, для несчетных множеств такой порядок никто никогда не видел, ну и фиг с ним.

читал читал. и про парадокс Хаусдорфа - Банаха - Тарского тоже. и какой же, интересно, минимальный элемент во вполне упорядоченном множестве $(0;1)$? или он как суслик - "никто не видел, а он есть"?

и не надо таких художеств. я не считаю, что две разные системы счисления это кошка и капуста. математика должна одинаково работать в любых позиционных системах счисления. или я и тут не прав?



Редактировалось 2 раз(а). Последний 28.12.2009 10:19.

Цитата

я не считаю, что две разные системы счисления это кошка и капуста.

А я считаю.
Доказательство не зависит от системы счисления. Результат тоже. Потому что в доказательстве железно прошито число 10. А просто число ни от чего не зависит.

А что тупо заменить в тексте доказательства число 10 на число 2 нельзя - вот это и есть кошка в микроволновке.



Редактировалось 2 раз(а). Последний 28.12.2009 10:23.