Счетно ли несчетное множество?

и интересно - как Вы докажете, что для любого разряда в действительном числе "не хватит" столбика? число разрядов действительного числа счетно. для диагонального метода их хватает.

и еще не понятно - почему на основе противоречия Вы приходите к выводу $|2^{X}|>|X|$, а не $|2^{X}|<|X|$. по аналогии с мощностями конечных множеств?



Редактировалось 2 раз(а). Последний 29.12.2009 12:01.

да. про неравенство можете не отвечать. вспомнил, про срввнение множеств. по идее всю мою писанину после Вашего поста можно удалить.

тут почти любой, задающий вопрос, кажется "странным". и чем меньше знаний - тем страннее.

тут был написан бред.



Редактировалось 4 раз(а). Последний 29.12.2009 19:15.

извините. пост удалил. согласен с вами. бред бред и еще раз бред. я пока тут не буду больше писать. буду думать.

Цитата
a3846792
Гы-гы

Вы бы за своими сообщениями последили. Только что одно (про предел) прокомментировал, а другое про "несложный" анализ не стал, надеюсь сами увидите, что оно ошибочное.

_____________________________
Правила русского языка категорически против решения пределов, интегралов, рядов, матриц, определителей, функций, ...
..

Этот пост отредактирован после того, как были обнаружены неточности: в формулировке утверждения произведена замена "на i-ом месте справа" заменено на "на i-ом месте считая справа налево ", кроме того были устранены грамматические ошибки. Ниже г-н Zklb (Дмитрий) приводит цитату с неясностью (я благодарю господина за замечание и приношу извинение за апостериорное исправление), которая теперь устранена, впрочем, уже раньше ее исправил один из участников обсуждения.

Я не собирался принимать участия в обсуждении, но сегодня мне показалось, что, действительно, получилась простенькая, но симпатичная задачка на тему философии математики. Но, видимо, придется вернуться к истокам темы. Начну с цитат, которые можно считать классическими для данной темы:
Сначала Автор темы (две цитаты):

Цитата

И вообще весь сыр-бор тут не из за того - счетно или несчетно множество действительных чисел, а из-за сомнений в самом диагональном методе, который является единственным аргументом в пользу несчетности.

Цитата

Расположим натуральные числа в ряд, начиная с единицы, и припишем каждому числу слева бесконечное число нулей. Далее по схеме - строим новое натуральное число, в i-ый разряд которого записываем цифру, отличную от цифры в i-ом разряде i-го числа. Полученное число будет натуральным (по крайней мере целым и положительным) и не будет иметь номера в пронумерованном множестве натуральных чисел, так как не будет совпадать ни с одним из них.Разряды, естественно, считаем справа налево. Все с точностью до зеркального подобия.

Теперь один из ведущих оппонентов (Brukvalub):

Цитата

Ведь каждое натуральное число в предложенной записи имеет только конечное количество отличных от нуля символов, а построенное - этим свойством обладать не может.

.

Что касается философской части оснований математики, то можно прочитатать у специалистов первой половины минувшего века. Напомню только, что уже тогда диагональный метод вызывал серьезные нарекания , причем даже и без аксиомы выбора. Нарекания были сугубо методологические, часто выливавшиеся в закон исключенного третьего, каковой не признавался некоторыми течениями. Так вот, замечание Brukvalubа , как мне показалось, дает любопытную задачку, а эта задачка имеет подходящее решение даже в интуиционистской математике, хотя Автор темы, того , возможно, не признает.

И так, пусть $f:N\toN$ сюръективное отображение множества натуральных чисел на себя. Требуется доказать, что для бесконечно большого множества чисел $i$ в десятичной записи числа $f(i)$ на месте с номером $i$ считая справа налево стоит 0.

Доказать этот факт можно с использованием диагнонального метода:
Предположем, что это не так, тогда по 1-ой цитате из Автора темы получим натуральное число, которое не входит в образ отображения $N$ - искомое противоречие.
Но это доказательство, согласитесь, оставляет чувство неудовлетворенности. Что-то вроде масла маслянного. А вот теперь задача - привести доказательство, которое удовлетворит и интуициониста (а они не часто соглашаются признавать факты, получаемые диагональным методом).
Сделаю паузу, чтобы собеседник успел обдумать задачку и попытаться напрямую установить, что утверждение верно.
Продолжаю держать паузу.
Сделаю паузу, чтобы собеседник успел обдумать задачку и попытаться напрямую установить, что утверждение верно.
Продолжаю держать паузу.

А теперь само доказательство:

Утверждение будет доказано, если для произвольной функции $f$ , удовлетворяющей условию будет доказано, что для бесконечного числа значений $i$ выполняется неравенство: $i-1>\lg(f(i))$. Действительно, если это неравенство выполнено, то на i-ом месте и на всех следующих стоят нули.
Предположем, что это неверно. Тогда для почти всех (кроме конечного числа) значений $i$ выполнено неравенство $\frac{1}{10^{i-1}}>\frac{1}{f(i)}$. Но тогда мы получим, что ряд $\sum\frac{1}{f(i)}$ - сходится, чего не может быть, ибо он получен из гармонического перестановкой членов, возможно с повторениями.
Полученное противоречие завершает доказательство.

В довершение отмечу, что мы использовали расходимость гармонического ряда. Возможно поэтому множество р-адических целых чисел должно быть несчетным ? Там ряд сходится, если его член стремиться к нулю (это в порядке шутки).



Редактировалось 1 раз(а). Последний 03.01.2010 18:49.

Да, красиво!

Цитата
museum
Но это доказательство, согласитесь, оставляет чувство неудовлетворенности. Что-то вроде масла маслянного.

Только я не понял, что в первом доказательстве вызывает неудовлетворенность. Мне так кажется, что первое доказательство очень даже соответствует контексту. Я не уверен, что второе доказательство более привлекательно для тех, кто не принимает закон исключенного третьего.

Цитата
zklb (Дмитрий)
так справа или слева?

На месте с номером $i$, считая справа налево. Например 987654321, где цифры указывают номера своих мест.

Корректно, более того, такого рода теоремы входят в обязательный курс математического анализа. (см. начало лекции 12.)