22.09.2004 06:31 голос | Разложения суммы двух квадратов на произведение натуральных множителей Предлагаю найти общее решение разложения суммы двух квадратов на произведение натуральных множителей. Примеры: 2^2+4^2=2*10 2^2+9^2=17*5 И т.д.
|
24.09.2004 07:37 голос | Пустяк Ребята,это такой пустяк,что я в своё время посмотрел на него,как на забавный казус.Вот решение a^2+b^2=(a+b+scrpt2ab)(a+b-scrpt2ab) Рассказывать дальше? Это службишка,не служба. Посмотрите новую тему "Некоторое предложение". Оно будет чуть посложнее...
|
24.09.2004 10:51 Дата регистрации:
21 год назад Посты: 398 | Это же не общее решение Цитата
голос писал:
Предлагаю найти общее решение разложения суммы двух квадратов на произведение натуральных множителей.
...
Вот решение
a^2+b^2=(a+b+scrpt2ab)(a+b-scrpt2ab)
Если понимать "scrpt" как квадратный корень (обычно пишут sqrt), то предложенное решение не является общим. Очевидно, приведённая Вами формула даёт решение лишь для тех a и b, при которых 2ab является квадратом целого числа. Например, при a=3 и b=5 сумма a^2+b^2 равна 34 и прекрасно раскладывается на множители (2 и 17), но эти множители не получаются по приведённой Вами формуле, так как корень из 2*3*5 не является целым числом.
|
24.09.2004 11:52 mozzie | имхо можно составить задачу про скорости пешеходов так, что решением будет комплексное число. Но из этого решения не следует, что сам пешеход комплексный и пьет комплексное пиво. По видимому, какой-то артефакт...
|
24.09.2004 12:08 iogan18tm | А можно пример? (-) Это какие же надо скорости подобрать?
|
03.10.2004 17:36 некто | Ну почему? Пусть в приведённых формулах будет a+b=2n.Тогда a^2+b^2=2(n^2+(n-a)^2) Вновь из предложенной формулы получена общая формула.При эн равным четырём получается Ваш пример.
|
03.10.2004 19:21 Дата регистрации:
21 год назад Посты: 398 | Какая связь с формулами голоса? Нужно получить разложение суммы квадратов натуральных чисел в произведение сомножителей (разумеется, натуральных). Цитата
некто писал(а) :
Пусть в приведённых формулах будет a+b=2n.Тогда
a^2+b^2=2(n^2+(n-a)^2)
Вы нашли общее решение для случая, когда a+b чётно, но я не вижу, как Ваше решение связано с формулами голоса. Цитата
голос писал:
a^2+b^2=(a+b+scrpt2ab)(a+b-scrpt2ab)
Какое отношение имеют его множители (a+b+scrpt2ab) и (a+b-scrpt2ab) (которые могут быть иррациональными) к Вашим множителям 2 и (n^2+(n-a)^2) ?
|
03.10.2004 21:04 некто | связь Очень простая.Предложенная формула является частным решением формулы голоса...
|
04.10.2004 00:04 Дата регистрации:
21 год назад Посты: 398 | "решение формулы" Цитата
некто писал(а) :
Очень простая.Предложенная формула является частным решением формулы голоса...
голос сначала предложил задачу: (1) разложить a^2+b^2 на натуральные множители, а затем объявил решение (которое, к сожалению, не является общим решением): (2) a^2+b^2=(a+b+scrpt2ab)(a+b-scrpt2ab). Конечно, Ваша формула - частное решение задачи (1), а не частный случай формулы (2). Видимо, я неправильно понял Ваши фразы "ну почему" и "из предложенной формулы получена общая формула".
|
04.10.2004 11:49 некто | Толкования... Возможно,Вы правы.Всё зависит от толкований.Последнюю формулу я получил так: (a+b+sqrpt2ab)(a+b-sqrpt2ab)=((a+b)^2-2ab) a+b=2n Это равенство явно частный случай.Но поскольку оно вполне имеет быть,то надо его решить.Что и пришлось: a=2n-b (4n^2-2(2n-b)b)=2(2n^2-2nb+b^2) =2(2n(n-b)+b^2) Или (a+b+sqrpt2ab)(a+b-sqrpt2ab)=2(2n(n-b)+b^2) при условии,если a+b=2n Возможно,в моих рассуждениях есть слабые звенья.Я чрезвычайно Вам благодарен за их выявления.Разумеется,они элементарны,и я никак не претендую на серьёзную математику.Более того,прекрасно зная более чем слабую свою математическую "подготовку",прошу серьёзных математиков обратить внимание на предложенное.Здесь есть чему развиться.Например,можно обсудить утверждение: Если простое число выражается формулой q=4n+1,то n не может быть неким числом в четвёртой степени. Ваше мнение?
|
04.10.2004 22:38 Дата регистрации:
21 год назад Посты: 398 | понятно Спасибо за объяснение. Значит, разложение (2) (a+b+sqrt(2ab))(a+b-sqrt(2ab)) послужило Вам подсказкой; Вы свернули его обратно и разложили по-своему (при чётном a+b). Цитата
некто писал:
Возможно,в моих рассуждениях есть слабые звенья.
Я лишь придирался к словам: Ваше разложение - не частный случай разложения (2), так как Ваши множители - не частный случай множителей (2). Интересно, есть ли общее решение у первоначальной задачи: (1) разложить a^2+b^2 на натуральные множители. Скажем, в случае a=7, b=4 не годится ни Ваше разложение (a+b нечётно), ни разложение (2), которое предложил голос (2ab не является точным квадратом). Цитата
некто писал:
Например,можно обсудить утверждение:
Если простое число выражается формулой q=4n+1,то n не может быть неким числом в четвёртой степени.
Ваше мнение?
Утверждение весьма правдоподобное (подтверждается для n<100^4), но я далёк от этих вещей. Желаю удачи.
|
04.10.2004 23:42 Pivis | Решение задачи если q = 4*a^4 + 1, то q= 4*a^4 + 4*a^2 + 1 - 4*a^2 = = (2*a^2 + 1)^2 - (2*a)^2 = = (2*a^2 - 2*a +1)(2*a^2 + 2*a +1) то есть q разлагается на произведение двух натуральных чисел, и при a не равном единице оба этих числа больше 1. Поэтому q простым не будет.
|
05.10.2004 01:19 Владимир | Разложения суммы двух квадратов на произведение натуральных множителей >>>>Предлагаю найти общее решение разложения суммы двух квадратов на произведение натуральных множителей. - Вопрос: количество множителей, положительные, отрицательные, четные, нечетные... - Голос, а слабо найти общее правило представления разницы двух квадратов в виде целого положительного числа?
|
05.10.2004 04:04 Владимир | Разложения суммы двух квадратов на произведение натуральных множителей Наверное я поторопился. Это сложно. Упростим задачу. Существует закономерность в представления куба целого положительного числа в виде разностей квадратов двух целых положительных чисел. Это несложная задача: из области теории чисел или из комбинаторики, - кому какое название нравится, столько воды утекло, столько терминов новых придумали... В качестве дополнения можно и необходимо отметить, что данная задача имеет непосредственное отношение к вашему вопросу, так как разница квадратов... происходит от закономерности представления квадрата целого положительного числа в виде суммы целых положительных чисел натурального ряда (только не нужно понимать буквально и соответственно многократно складывать основание степени). Еще одна подсказка: решение имелось в материалах, которые уничтожили при погроме пифагорейских школ. И сожаления: в исторических архивах упомянутые материалы не содержатся. С уважением, Владимир.
|
05.10.2004 09:15 некто | Нет Ну,прежде всего,голос-это я,некто.Меня просто за визгливость заблокировали,а сказать по-прежнему есть что.Вот и пустился во все тяжкие...Извините. Второе.Приведённая формула разложения суммы двух квадратов есть не что иное,как следствие решения уравнения Пифагора: z=a+b+-sq(2ab) и теоремы Виета-произведение корней есть свободный член.Потому решения в целых числах будут только для пифагоровых троек-так я полагал.К моему изумлению,Вы привели другой пример.Пришлось искать решение. Что касется утверждения,то это теорема.Доказательство я готов представить любому интересующемуся.Следствий довольно много.Весьма интересных.
|
05.10.2004 09:20 некто | Именно! Поздравляю.Именно так. А теперь найдите как можно больше множителей числа q.Ничего не удивляет?
|
05.10.2004 12:54 некто | Разница... Разница между двумя квадратами имеет следующее решение x^2-y^2=z^2 x=d^2+-i*2cd y=2c^2+-i*2cd z=d^2+2c^2+-i*2cd При каких условиях зет-натуральное число,думаю,определите сами.
|
05.10.2004 13:52 некто | Отбой Ерунду сотворил.Утюг. Вот формулы: x^2-y^2=z^2 x=-d^2-2c^2+-2cd y=-2c^2+-2cd z=-d^2+-2cd
|
05.10.2004 14:03 некто | Ответ Отвечаю на вопрос.Сомножителей-два.Оба одного знака.Впрочем,это надо обсудить... Вопрос два.Не понял.Быть может,в "виде квадрата целого положительного числа"?Тогда ответ в другом ответе.
|
10.10.2004 11:57 mozzie | вот |
