Вспомним Ферма?

К решению одной из задач Ферма:

Найти все целочисленные прямоугольные треугольники с разностью
катетов равной определенному числу?

Если вы имеете треугольник со сторонами, например,

А(1)=3, В(1)=4, С(1)=5,

где разница катетов равна

В(1)-А(1)=4-3=1,

то значения сторон следующего треугольника, с такой же разницей
катетов, находится следующим образом:

А(2)=А(1)+Р(1)+С(1) ,

В(2)=В(1)+Р(1)+С(1) ,

С(2)=С(1)+2Р(1) ,

где Р(1) - это периметр (сумма сторон) предыдущего треугольника.

Дельта для А и В всегда одинакова: это периметр + гипотенуза.
Дельта для С, это удвоенный периметр.

Вот и все. На все случаи жизни. (Жаль только, что нет сервиса нижних индексов. В скобках - нижние индексы.)

Соответственно, общие формулы следующие:


А(n+1)=А(n)+Р(n)+С(n) ,

В(n+1)=В(n)+Р(n)+С(n) ,

С(n+1)=С(n)+2Р(n) , или


А(n+1)=2Р(n)-В(n) ,

В(n+1)=2Р(n)-А(n) ,

С(n+1)=2Р(n)+С(n).

Что, собственно, одно и то же.

Ниже приведены первые 7 троек чисел с разницей катетов = 1.

3,4,5

20,21,29

119,120,169

696,697,985

4059,4060,5741

23660,23661,33461

137903,137904,195025

Проверяйте, но это, знал еще Пифагор.
Разница катетов не имеет значения, - любая целая величина.

Теперь внимание!!!!

Для любителей есть вторая ступень этой задачи:

найти формулу для определения

А(n), В(n), С(n), если известны А(1), В(1), С(1).

С сохранением начальных условий.

Найдите формулу, но в таком виде как говорил Гильберт: чтобы это было понятно любому встречному.

С уважением,
Владимир.

А можно не любые стороны, а конкретные?

Дано: треугольник, в котором разница катетов B(1) - A(1) = 7. Первая пифагорова тройка, удовлетворяющая этому условию A(1) = 5, B(1) = 12, C(1) = 13.

Найти: A(17), B(17), C(17), с сохранением разницы катетов B(17) - A(17) = 7.

Не сочтите за труд, покажите, как Вы пользуете Ваши формулы?

Некто, - откровение на окровение: я пока и сам не знаю решения. Если получу, - выложу. Но интуиция подсказывает, что оно должно быть.

У Некто имя-то есть?

A.T.I.D@rambler.ru

Цитата

некто писал(а) :
Любые стороны любого треугольника Пифагора находятся по формулам:
A=d^2+2cd
B=2c^2+2cd
C=2c^2+d^2+2cd
В чём трудности?

a=k(x^2-y^2)
b=k2xy
c=k(x^2+y^2)

При любых целых значениях k, x, y, и x>y, получим весь набор Пифагоровых троек.

С уважением! Какоткин Р. В.

Цитата

некто писал(а) :
Особенно изучив формулу разложения суммы двух квадратов на сомножители.
Специализация, Какоткин?И иррациональностью несёт...
Уют.

Какая специализация, господин "голос Некты"? О чем это Вы?

У Вас на слово "иррациональность" аллергия?

С уважением! Какоткин Р. В.

Цитата

некто писал(а) :
Что-то знакомое почудилось мне... Топор,ты?

Я не Топор, и не "железный дровосек"! Что с Вами, Уважаемый?!

Понимате, Какоткин, если приводится своя, т.е. новая формула, то обычно и пример приводят. В отношении меня можете принять условие "по умолчаниию", что я тупой! Это для того, чтобы не перебирать варианты и не проверять на ограничения, а если что-то стоящее вывели, - честь Вам и хвала, - новое в математике никогда лишним не бывает. Но есть и другая сторона медали: если без примера, то это сразу настораживает, - а пишущий, сам-то, проверил? Это не только к данному предложенному варианту решения относится. Извините, но Вы не Ферма, чтобы на слово верить.

Уважаемый Некто!
Что значит "передрал"? Разве я пытался выдать разложение за свое?
Просто данное представление действительно для всех целочисленных значений (т.е. является общим).
Неужели Вы пользуетесь исключительно формулами, полученными самостоятельно? Наука есть общее достояние, а Вы обвиняете меня чуть ли не в плагиате.
Что я сделал плохого лично Вам???

Ссылаюсь.
Это разложение по методу (доказательство для взаимно простых a и b) Юрия Ивановича Манина - член-корреспондента Российской академии наук, лауреата Ленинской премии.
Взято из книги "Popular Lectures on Mathematics".

С уважением! Какоткин Р. В.