Вспомним Ферма?

Автор темы Владимир 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеМатематик-алгоритмист (Vehicle Routing Problem) – удаленная работа03.06.2020 17:58
ОбъявлениеМатематики, программисты, репетиторов (платформа SapioX)28.01.2021 12:47
ОбъявлениеTinkoff Business Analyst / Product Owner19.02.2021 19:06
29.09.2004 19:34
Владимир
Вспомним Ферма?
К решению одной из задач Ферма:

Найти все целочисленные прямоугольные треугольники с разностью
катетов равной определенному числу?

Если вы имеете треугольник со сторонами, например,

А(1)=3, В(1)=4, С(1)=5,

где разница катетов равна

В(1)-А(1)=4-3=1,

то значения сторон следующего треугольника, с такой же разницей
катетов, находится следующим образом:

А(2)=А(1)+Р(1)+С(1) ,

В(2)=В(1)+Р(1)+С(1) ,

С(2)=С(1)+2Р(1) ,

где Р(1) - это периметр (сумма сторон) предыдущего треугольника.

Дельта для А и В всегда одинакова: это периметр + гипотенуза.
Дельта для С, это удвоенный периметр.

Вот и все. На все случаи жизни. (Жаль только, что нет сервиса нижних индексов. В скобках - нижние индексы.)

Соответственно, общие формулы следующие:


А(n+1)=А(n)+Р(n)+С(n) ,

В(n+1)=В(n)+Р(n)+С(n) ,

С(n+1)=С(n)+2Р(n) , или


А(n+1)=2Р(n)-В(n) ,

В(n+1)=2Р(n)-А(n) ,

С(n+1)=2Р(n)+С(n).

Что, собственно, одно и то же.

Ниже приведены первые 7 троек чисел с разницей катетов = 1.

3,4,5

20,21,29

119,120,169

696,697,985

4059,4060,5741

23660,23661,33461

137903,137904,195025

Проверяйте, но это, знал еще Пифагор.
Разница катетов не имеет значения, - любая целая величина.

Теперь внимание!!!!

Для любителей есть вторая ступень этой задачи:

найти формулу для определения

А(n), В(n), С(n), если известны А(1), В(1), С(1).

С сохранением начальных условий.

Найдите формулу, но в таком виде как говорил Гильберт: чтобы это было понятно любому встречному.

С уважением,
Владимир.
03.10.2004 17:21
некто
В чём вопрос?
Любые стороны любого треугольника Пифагора находятся по формулам:
A=d^2+2cd
B=2c^2+2cd
C=2c^2+d^2+2cd
В чём трудности?

03.10.2004 21:25
Владимир
В чём вопрос?
А можно не любые стороны, а конкретные?

Дано: треугольник, в котором разница катетов B(1) - A(1) = 7. Первая пифагорова тройка, удовлетворяющая этому условию A(1) = 5, B(1) = 12, C(1) = 13.

Найти: A(17), B(17), C(17), с сохранением разницы катетов B(17) - A(17) = 7.

Не сочтите за труд, покажите, как Вы пользуете Ваши формулы?
04.10.2004 11:56
некто
Сдаюсь
Я был не прав.То,что Вы сделали,мне не по зубам.
Поделитесь?
04.10.2004 12:55
Владимир
Сдаюсь
Некто, - откровение на окровение: я пока и сам не знаю решения. Если получу, - выложу. Но интуиция подсказывает, что оно должно быть.
04.10.2004 13:53
некто
Привет
Так будем работать.Мои подходы интересуют?
05.10.2004 04:14
Владимир
Привет
У Некто имя-то есть?

A.T.I.D@rambler.ru
05.10.2004 09:03
некто
Понял
Намёк понял.Приду.
05.10.2004 12:56
Какоткин Р. В.
А еще можно так...
Цитата

некто писал(а) :
Любые стороны любого треугольника Пифагора находятся по формулам:
A=d^2+2cd
B=2c^2+2cd
C=2c^2+d^2+2cd
В чём трудности?


a=k(x^2-y^2)
b=k2xy
c=k(x^2+y^2)

При любых целых значениях k, x, y, и x>y, получим весь набор Пифагоровых троек.

С уважением! Какоткин Р. В.

05.10.2004 13:57
некто
Вполне.
Особенно изучив формулу разложения суммы двух квадратов на сомножители.
Специализация, Какоткин?И иррациональностью несёт...
Уют.
05.10.2004 19:27
Какоткин Р. В.
Какая специализация???
Цитата

некто писал(а) :
Особенно изучив формулу разложения суммы двух квадратов на сомножители.
Специализация, Какоткин?И иррациональностью несёт...
Уют.

Какая специализация, господин "голос Некты"? О чем это Вы?

У Вас на слово "иррациональность" аллергия?

С уважением! Какоткин Р. В.

05.10.2004 21:06
некто
Ну-ну
Что-то знакомое почудилось мне... Топор,ты?
05.10.2004 22:37
Какоткин Р. В.
Ни - ни
Цитата

некто писал(а) :
Что-то знакомое почудилось мне... Топор,ты?

Я не Топор, и не "железный дровосек"! Что с Вами, Уважаемый?!
07.10.2004 05:08
Владимир
А еще можно так...

И что? - Что-то получится?
07.10.2004 05:24
Владимир
А еще можно так...
Понимате, Какоткин, если приводится своя, т.е. новая формула, то обычно и пример приводят. В отношении меня можете принять условие "по умолчаниию", что я тупой! Это для того, чтобы не перебирать варианты и не проверять на ограничения, а если что-то стоящее вывели, - честь Вам и хвала, - новое в математике никогда лишним не бывает. Но есть и другая сторона медали: если без примера, то это сразу настораживает, - а пишущий, сам-то, проверил? Это не только к данному предложенному варианту решения относится. Извините, но Вы не Ферма, чтобы на слово верить.
07.10.2004 11:37
некто
Да вы что?
Владимир,я не совсем понимаю Вас.Вспомним формулу разложения суммы двух квадратов:
a^2+b^2=(a+b+sq(2ab))(a+b-sq(2ab))=(a+b)^2-((sq(2ab))^2
Сумма двух квадратов всегда представима как разность некоторых квадратов.
Какоткин живо это усвоил,"передрал" и ...
Ватсон!

07.10.2004 13:00
Какоткин Р. В.
Как вас понимать?
Уважаемый Некто!
Что значит "передрал"? Разве я пытался выдать разложение за свое?
Просто данное представление действительно для всех целочисленных значений (т.е. является общим).
Неужели Вы пользуетесь исключительно формулами, полученными самостоятельно? Наука есть общее достояние, а Вы обвиняете меня чуть ли не в плагиате.
Что я сделал плохого лично Вам???
07.10.2004 13:16
некто
Простите
Простите,но в таком случае принято ссылаться.Как,кстати,и в случае "иррациональности".
07.10.2004 15:14
Какоткин Р. В.
Согласен!
Ссылаюсь.
Это разложение по методу (доказательство для взаимно простых a и b) Юрия Ивановича Манина - член-корреспондента Российской академии наук, лауреата Ленинской премии.
Взято из книги "Popular Lectures on Mathematics".

С уважением! Какоткин Р. В.
07.10.2004 15:21
некто
Вот теперь
Вот теперь всё в порядке.Цивилизованно.
А русский аналог книги есть?Если не трудно,поделитесь ссылкой.Любопытно было бы почитать.Вполне серьёзно прошу,без экивоков.
С уважением.
Извините, вы не можете публиковать ответы в этой теме, поскольку она закрыта.