Кольца, поля, дистрибутивность. В разных книжках разные определения.

Сейчас читаю книжки про теорию групп.
Я в сметении, просто не знаю что делать.
В одной книжке одно определение, в другой другое.
Как правильно не понятно.
Это вообще характерно для любого направления.

Так вот поэтому несколько вопросов.
1. То что в определении группы достаточно ввести только
левую единицу и левый обратный элемент это я разобрался.
(Моментально отбросив несколько книжек.
Есть определения, где вводят только правые.
(Той книжке где вводят левые я доверяю больше.)
Есть книжки, в которых вводят их уже равными.
А есть даже книга, где вводят равными лев и прав единицы,
но только лев обратный элемент.
Ужас.)
Можно ли доказать, что каждая группа имеет ед. лев. и ед. прав. единицу и эти ед. равны, не опираясь на сущ обратного эл-та?
Я нюхом чую что нельзя =), а как это доказать?

2. Сколько свойств дистрибутивности в определении кольца?
И можно ли опираясь на определение кольца и одно свойство дистрибутивности [a(b+c)=ab+ac] вывести второе [(b+c)a=ba+ca]

Потом еще спрошу.
Буду очень благодарен, если вы разъясните мне эти вопросы.

1.
Опр. Группой называется множество G с операцией *, обладающей следующими свойствами:

1) a*(b*c) = (a*b)*c
2) есть единица e, т.е. e*a = a*e = a
3) для каждого a есть обратный a^-1, т.е. a*(a^-1) = (a^-1)*a = e

Доказывать тут нечего, единица(она же правая и левая) есть по определению.

Замечание: 1правая = 1левая * 1правая = 1левая

2.
Именно так:
a(b+c)=ab+ac и (b+c)a=ba+ca

А именно: из существования левой единицы и ассоциативности операции существование правой единицы не следует, поэтому если мы хотим получить именно группу, нам придется ввести аксиому о существовании левой и правой единиц (по отдельности). И так как ед_лев = ед_лев * ед_прав = ед_прав, то легко доказывается что они равны (и единственны). То же самое с обратными элементами.
Короче, в аксиоматике без разделения единиц и обратных элементов на правые и левые излишек совсем не много.
Если же существует только левая единица, то полученная математическая структура(или как там называют множества с операциями) группой в обычном понимании не будет. Как показал egor там могут быть левыми единицами вообще все элементы. Обратных элементов к исходному там тоже может быть много, причем не очень понятно, что под ними подразумевается: такие, что при умножение на исходный будет какая-то определенная единица или любая из единиц?

Спасибо, что разрулил.

Бинарная операция в множестве X - это отображение (X на X) в X, так что результат, по определению, должен принадлежать X.

Моё мнение: когда писались старые учебники по группам, терминология множеств и отображений ещё не так закостенела (например, многие даже не использовали термин "сюръективность"), так что авторы старались подчёркивать важные вещи словами. Кроме того, при таком подчёркивании готовится почва для обсуждения подгрупп.

Для подгруппы, по-моему, вполне уместно говорить о замкнутости относительно бинарной операции на всей группе

почва готовиться, если я вам еще не надоел, скоро будем обсуждать подгруппы. :)))

А взято это из очень толстого справочника
для инженеров и аспирантов Корна (не наш).
Меня от него просто прёт)
Я когда его впервые увидел,
хотел его сразу кому-то подарить,
чтобы посмотреть на его бедные ошарашенные глаза)
Но таки и быть, вам верю больше.

Посмотрел я на эту страницу, что поместил Неизвестный и диву дался. Оказывается в аксиомах группы достаточно вводить только левую единицу и левый противоположный элемент, а всё остальное само последует. Остаётся взять ручку и доказать !

а вы пробовали доказать?
чей-то у меня не получается, и вообще я чей-то начала сомневаться в этой книжке, и почему, если этого достаточно Винберг в своей книжке требует сразу всего двустороннего?
правда контрпримеры тоже еще не придумались

Похоже придумала
возьмем алфавит <a, b>, возьмем полугруппу порожденную всеми словами из него, с операцией приписывания.
Понятно, что там есть правая и левая единица- пустое слово(обозначим ее за е), но никаих обратных нет, отфакторизуем ее так, чтобы был левый обратный, а правый необязательно: возьмем соотношения ab=e и a^2=e(т.е. отфакторизуем по подполугруппе порожденной ab и a^2), тогда из этого следует, что слова будут только вида a, b^n, b^n*a, у всех их есть левый обратный a, a^n, a^(n+1) соответственно,
но у b^n нет правого обратного.
Проверьте это, плз, и скажите нет ли тут какой-нить лажи.
Насчет отсутствия правой единицы я еще подумаю и напишу