Кольца, поля, дистрибутивность. В разных книжках разные определения.

Автор темы Неизвестный 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеПравила и принципы форума «Высшая математика»28.10.2009 15:17
ОбъявлениеИщем преподавателя для углубленного обучения статистическим методам29.05.2020 13:22
ОбъявлениеСтуденты и преподаватели мехмата МГУ могут бесплатно получать лицензию на Wolfram Mathematica25.11.2020 00:55
29.09.2004 21:00
Неизвестный
Кольца, поля, дистрибутивность. В разных книжках разные определения.
Сейчас читаю книжки про теорию групп.
Я в сметении, просто не знаю что делать.
В одной книжке одно определение, в другой другое.
Как правильно не понятно.
Это вообще характерно для любого направления.

Так вот поэтому несколько вопросов.
1. То что в определении группы достаточно ввести только
левую единицу и левый обратный элемент это я разобрался.
(Моментально отбросив несколько книжек.
Есть определения, где вводят только правые.
(Той книжке где вводят левые я доверяю больше.)
Есть книжки, в которых вводят их уже равными.
А есть даже книга, где вводят равными лев и прав единицы,
но только лев обратный элемент.
Ужас.)
Можно ли доказать, что каждая группа имеет ед. лев. и ед. прав. единицу и эти ед. равны, не опираясь на сущ обратного эл-та?
Я нюхом чую что нельзя =), а как это доказать?

2. Сколько свойств дистрибутивности в определении кольца?
И можно ли опираясь на определение кольца и одно свойство дистрибутивности [a(b+c)=ab+ac] вывести второе [(b+c)a=ba+ca]

Потом еще спрошу.
Буду очень благодарен, если вы разъясните мне эти вопросы.

29.09.2004 21:58
ответы на вопросы (идея контрпримеров)
Цитата

Неизвестный писал:
Можно ли доказать, что каждая группа имеет ед. лев. и ед. прав. единицу и эти ед. равны, не опираясь на сущ обратного эл-та?
Я нюхом чую что нельзя =), а как это доказать?

Можно придраться к Вашей фразе "доказать, что каждая группа имеет ед. лев. и ед. прав. единицу" (доказывать нечего, если в определении группы брать существование двусторонней единицы ;) ) Ответ по смыслу такой:

1. Можно построить полугруппу (=множество с ассоциативной операцией), в которой есть левая единица, но нет правой. Рассмотрим множество, в котором есть хотя бы два различных элемента, и определим умножение формулой ab=b (это "умножение" просто возвращает второй аргумент). Ассоциативность выполняется, любой элемент является левой единицей, а правых единиц нет (убедитесь в этом).

Цитата

Неизвестный писал:
2. Сколько свойств дистрибутивности в определении кольца?
И можно ли опираясь на определение кольца и одно свойство дистрибутивности [a(b+c)=ab+ac] вывести второе [(b+c)a=ba+ca]

2. Нельзя. Берём абелеву группу, состоящую не менее чем из двух элементов (например, целые числа). Сложение уже есть, а умножение определим формулой ab=b. Одна дистрибутивность выполняется, а другая - нет.

P. S. Интересно бы узнать другие идеи построения таких контрпримеров.

29.09.2004 22:01
Юрич
Ответы.
1.
Опр. Группой называется множество G с операцией *, обладающей следующими свойствами:

1) a*(b*c) = (a*b)*c
2) есть единица e, т.е. e*a = a*e = a
3) для каждого a есть обратный a^-1, т.е. a*(a^-1) = (a^-1)*a = e

Доказывать тут нечего, единица(она же правая и левая) есть по определению.

Замечание: 1правая = 1левая * 1правая = 1левая

2.
Именно так:
a(b+c)=ab+ac и (b+c)a=ba+ca
30.09.2004 05:03
Бойко
Излишность
В том то и дело, что данные аксиомы удобны но излишни. Когда-то я рассказывал их на экзамене, и преподаватель посчитал эту излишность за ошибку !!! Кто-нибудь знает как эти аксиомы можно максимально урезать ?
С уважением, Бойко
30.09.2004 14:35
Pivis
излишек не так много
А именно: из существования левой единицы и ассоциативности операции существование правой единицы не следует, поэтому если мы хотим получить именно группу, нам придется ввести аксиому о существовании левой и правой единиц (по отдельности). И так как ед_лев = ед_лев * ед_прав = ед_прав, то легко доказывается что они равны (и единственны). То же самое с обратными элементами.
Короче, в аксиоматике без разделения единиц и обратных элементов на правые и левые излишек совсем не много.
Если же существует только левая единица, то полученная математическая структура(или как там называют множества с операциями) группой в обычном понимании не будет. Как показал egor там могут быть левыми единицами вообще все элементы. Обратных элементов к исходному там тоже может быть много, причем не очень понятно, что под ними подразумевается: такие, что при умножение на исходный будет какая-то определенная единица или любая из единиц?
30.09.2004 19:46
Неизвестный
Существование правой ед. следует из сущ. левой, ассоциативности операции и сущ.
левого обратного эл-та.
e1*a=a*a^(-1)*a=a*e2

Поэтому требовать сущ правой единицы совсем не обязательно.
30.09.2004 19:49
Неизвестный
Да, контрпримеры спасают.
Спасибо, что разрулил.
30.09.2004 20:11
Неизвестный
Определение бинарной операции.
Маленький вопрос, опять из определения группы.

Бинарная опрерация каждой паре элементов класса G ставит в соответствие некоторый объект (результат операции). (всё точка)

И дальше в определении группы наряду с другими свойствами
этой операции вводим свойство замнутости по отношению к этой операции (как то страно звучит?)
т. е. что результат принадлежит классу (множеству) G.

Или всё таки результат бинарной операции принадлежит
исходному множеству по определению.
30.09.2004 22:11
конечно, результат принадлежит G по определению
Бинарная операция в множестве X - это отображение (X на X) в X, так что результат, по определению, должен принадлежать X.

Моё мнение: когда писались старые учебники по группам, терминология множеств и отображений ещё не так закостенела (например, многие даже не использовали термин "сюръективность"), так что авторы старались подчёркивать важные вещи словами. Кроме того, при таком подчёркивании готовится почва для обсуждения подгрупп.

01.10.2004 20:54
Yulka
Бред?
Откуда у вас тогда берется е2?
во-первых, если а^(-1) это левый обратный, то (е1 не= а*а^(-1))
во-вторых, если это правый обратный для левой единцы, то если е2 определять, как а^(-1)*a, то нужно доказывать равенство такого произведения для любого а,
Неувязочка

01.10.2004 20:59
Yulka
Может быть подгруппа?
Для подгруппы, по-моему, вполне уместно говорить о замкнутости относительно бинарной операции на всей группе
02.10.2004 11:30
Неизвестный
Нда, сорри...
С этими книжками я похоже совсем запутался.
02.10.2004 11:39
Неизвестный
да, да..
почва готовиться, если я вам еще не надоел, скоро будем обсуждать подгруппы. :)))

А взято это из очень толстого справочника
для инженеров и аспирантов Корна (не наш).
Меня от него просто прёт)
Я когда его впервые увидел,
хотел его сразу кому-то подарить,
чтобы посмотреть на его бедные ошарашенные глаза)
Но таки и быть, вам верю больше.
07.10.2004 13:56
Неизвестный
Давайте снова.
Вот определение в пункте (b) свойства из него вытекающие.
Разве не так?
Кто их докажет?

http://just-a-foto.boom.ru/G.htm
60 кб.
07.10.2004 20:32
Бойко
Урезали
Посмотрел я на эту страницу, что поместил Неизвестный и диву дался. Оказывается в аксиомах группы достаточно вводить только левую единицу и левый противоположный элемент, а всё остальное само последует. Остаётся взять ручку и доказать !
08.10.2004 12:15
Неизвестный
НУ! А я о чем твержу вторую неделю!
Вперед!
Удачи))
25.10.2004 19:37
Yulka
поробуйте докзать
а вы пробовали доказать?
чей-то у меня не получается, и вообще я чей-то начала сомневаться в этой книжке, и почему, если этого достаточно Винберг в своей книжке требует сразу всего двустороннего?
правда контрпримеры тоже еще не придумались
25.10.2004 20:00
Бойко
Я пробовал (безуспешно пока)
В том то и дело. Не получается доказать - попробуйте опровергнуть.
Хотя после того, как я увидел отсканированную страницу, то изумился и поверил. (Но ещё не проверил.)
Почему Винберг (и не только он) требует сразу всего двустороннего?
Так это просто для удобства. Из "двусторонних" аксиом всё очень легко выводится, а вот из "односторонних" пока не очень.

С уважением, Бойко
26.10.2004 13:20
Yulka
Контрпример вроде
Похоже придумала
возьмем алфавит <a, b>, возьмем полугруппу порожденную всеми словами из него, с операцией приписывания.
Понятно, что там есть правая и левая единица- пустое слово(обозначим ее за е), но никаих обратных нет, отфакторизуем ее так, чтобы был левый обратный, а правый необязательно: возьмем соотношения ab=e и a^2=e(т.е. отфакторизуем по подполугруппе порожденной ab и a^2), тогда из этого следует, что слова будут только вида a, b^n, b^n*a, у всех их есть левый обратный a, a^n, a^(n+1) соответственно,
но у b^n нет правого обратного.
Проверьте это, плз, и скажите нет ли тут какой-нить лажи.
Насчет отсутствия правой единицы я еще подумаю и напишу

31.10.2004 00:01
Мурка
ответы
ВЫ чаго это, математики??? Не можете разобраться?
Вообще-то, группой G называется множество элементов произвольной природы, если выполняются 4 следующих условия:
1. на множестве G определена бинарная алгебраическая операция, удовлетворяющая 3м аксиомам групп.
2. групповая операция ассоциативна: (а*в)*с=а*(в*с) для любых а,в,с из G
3. существует нейтральный элемент е из G: а*е=а для а из G
4. в множестве G для любого а из G найдется обратный элемент а^(-1) : а*а^(-1)=е

Где здесь коммутативность ? а вот в свойства групп это как раз и входит:
1. а^(-1)*а=е
2. е*а=а
3. если а*х=е, а*у=е, то х=у
Это легко доказывается.


Про кольцо. Множество а,в,с любой природы называется кольцом, если над этими элементами можно выполнить бинарные операции,называемые сложением и умножением элементов кольца, так, чтобы эти операции обладали след. свойствами:
1. а+в=в+а
2. (а+в)+с=а+(в+с)
3. а*в=в*а
4. (а*в)*с=а*(в*с)
5.(а+в)*с=а*с+а*в
при этом сложение должно обладать обратной операцией- вычитанием.

Наверно, (а+в)*с=с*(а+в) вытекает из аксиомы 3.
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти