31.10.2004 00:13 Мурка | бинарная операция Если существует правило, по которому каждой упорядоченной паре элементов (а,в) множества М ставится в соответствие один и только один элемент d того же множества М, то говорят, что на множестве М определена бинарная алгебраическая операция. Но это не всё: неоходимо выполнение 4 требований: 1. операция может выполняться над каждой парой элементов, в том числе над парой (а,а) 2. результат операции над любыми элементами множества есть элемент того же множества. 3. результат операции однозначен. 4. упорядоченность пары элементов важна в тех случаях, когда результат зависит от очередности расположения элементов в паре. Если же порядок расположения элементов в паре не существенен для любой пары, то операция является коммутативной.
|
31.10.2004 00:46 Бойко | Математики разберутся (на то и математики) Цитата
Где здесь коммутативность? а вот в свойства групп это как раз и входит:
1. а^(-1)*а=е
2. е*а=а
3. если а*х=е, а*у=е, то х=у
Это легко доказывается.
То, что это свойства, а не аксиомы, мы тут уже разобрались давно. Остался только вопрос, как это доказывается. Тут стоит немного подумать. Цитата
Если существует правило, по которому каждой упорядоченной паре элементов (а,в) множества М ставится в соответствие один и только один элемент d того же множества М, то говорят, что на множестве М определена бинарная алгебраическая операция. Но это не всё: неоходимо выполнение 4 требований:
1. операция может выполняться над каждой парой элементов, в том числе над парой (а,а)
2. результат операции над любыми элементами множества есть элемент того же множества.
3. результат операции однозначен.
4. упорядоченность пары элементов важна в тех случаях, когда результат зависит от очередности расположения элементов в паре. Если же порядок расположения элементов в паре не существенен для любой пары, то операция является коммутативной.
Кхе-кхе. К чему вы навесили эти 4 требования, если это в точности повторяет определение, приведённое до требований? Только масло промаслили... Цитата
упорядоченность пары элементов важна в тех случаях, когда результат зависит от очередности расположения элементов в паре
Ну а это вообще тавтология, фраза без смысла...
|
31.10.2004 21:17 Мурка | что надо доказать? если это: а^(-1)*а=е ,то я думаю, все это знают: пусть х=обратный элемент. тогда а=а*е=а*(а^(-1)*х)=(а*а^(-1))*х=е*х а^(-1)*а=а^(-1)*(е*х)=(а^(-1)*е)*х=а^(-1)*х=е использовали только аксиомы. Если не то надо, напишите что- попробуем доказать.
|
01.11.2004 22:13 Бойко | А пусть его нет! Мурка писала: Цитата
пусть х=обратный элемент
А пусть его нет! Как тогда? Жду ответа.
|
02.11.2004 22:15 Мурка | нужно ли это Бойко, как же обратного элемента нет, если он есть???? он в аксиомах группы есть. Мы же для группы доказываем. Ну а если ВЫ хотите доказать это без обратного элемента? так? то надо подумать. Только есть ли в этом смысл?!!!
|
03.11.2004 21:59 Бойко | Я просто говорю, что вы ничего не доказали Мурка, возможно у вас с логикой проблемы, а возможно вы чего-то недопоняли. В аксиомах есть правый обратный, а не обратный вообще. Вы этим пользуетесь и доказываете, что если есть левый обратный, то он совпадает с правым обратным. А я и говорю: а вдруг правый обратный есть, но левого обратного нет. Могу ещё яснее, а пока так. С уважением, Бойко
|
03.11.2004 22:19 Мурка | А как где ваше решение? Хорошо. ВЫ хотите открыть Америку. Ваше доказательство. ВЫ, наверно, с курса 4. ВЫ должны доказывать такие вещи. Мне интересно, как решат данный вопрос ЛОГИЧНЫЕ люди. Кстати, ВЫ не ответили на мой вопрос про смысл данного доказательства. А вдруг чисел нет? А вдруг 2+2 не имеет решения???? Объясните, пожалуйста. А я поучусь у ВАС.
|
03.11.2004 22:39 Бойко | 1 - самое большое число Цитата
ВЫ, наверно, с курса 4
На мехмате это проходят по-видимому на 2 курсе. Так что причём здесь мой курс? Я вообще не студент. Цитата
Мне интересно, как решат данный вопрос ЛОГИЧНЫЕ люди.
Логичные люди эту тему проигнорировали. Может быть слишком простыми им кажутся эти рассуждения: не по их уровню. Цитата
Кстати, ВЫ не ответили на мой вопрос про смысл данного доказательства.
Извините, но про смысл какого доказательства вы говорите? Цитата
А вдруг чисел нет? А вдруг 2+2 не имеет решения???? Объясните, пожалуйста. А я поучусь у ВАС.
Мурка, не считайте это издевкой, но для того чтобы что-то доказать используйте верную посылку, а не надуманную. Вы сами придумали, что левый обратный существует: в аксиомах этого нет. Теорема: Самое большое натуральное число - единица. Док-во: Возьмём любое другое натуральное число. При умножении на 2 это число увеличивается, а значит самым большим быть не может. Значит 1 - самое большое натуральное число. Может быть, Мурка, это чему-нибудь вас научит. С уважением, Бойко
|
04.11.2004 22:58 Мурка | сдаюсь Спасибо. Да, научит, но это уже не важно. Извините, что надоедаю, но если для ВАС эти рассуждения "слишком простые и не по ВАШЕМУ уровню", почему же ВЫ не приведете доказательство, если оно вообще есть?
|
05.11.2004 00:17 Дата регистрации:
7 лет назад Посты: 398 | не понял, в чём проблема Насколько я понял, нужно из существования правой единицы и правых обратных вывести всё остальное. По-моему, доказательство, которое написала Мурка, вполне нормальное, если простить небольшие неточности в первых фразах. Очевидно, в её доказательстве подразумевается, что a^{-1} - правый обратный к a, x - правый обратный к a^{-1}, e - правая единица. Я считаю, что нехорошо писать a^{-1}, пока не доказаны все утверждения о существовании и единственности обратных. Вот доказательство из учебника Куроша "Общая алгебра" с немножко изменёнными обозначениями (e - правая единица, a' - правый обратный к a, a'' - правый обратный к a'): ea = eae = eaa'a'' = eea'' = ea'' = aa'a'' = ae = a a'a = a'ae = a'aa'a'' = a'ea'' = a'a'' = e
|
12.11.2004 01:53 kserks | Обратим ли (слева, справа) элемент кольца, когда не является делителем нуля? |
12.11.2004 02:11 Дата регистрации:
7 лет назад Посты: 398 | вообще говоря, нет Примеры: в кольце целых чисел нет ненулевых делителей нуля, а обратимы только 1 и -1; в кольце многочленов тоже нет ненулевых делителей нуля, а обратимы только многочлены нулевой степени. В кольце матриц: матрица является делителем нуля <=> она вырожденная (необратимая). У меня тоже есть вопрос, только по терминологии: как называют многочлены, у которых старший коэффициент равен единице? (Я сейчас вспомнил только термины "приведённый", "унитарный", "нормированный", но все они слишком перегружены.)
|
13.11.2004 06:03 Bantammy | Давайте. Пусть в <G,*> (где * - двуместная ассоциативная операция): 1) (левая единица) сущ. e такой, что для всякого a ea(:=e*a)=a; 2) (левый обратный) для всякого a сущ. a' такой, что a'a(:=a'*a)=e. Во-первых, тогда aa'=e(aa')=(a''a')(aa')=a''((a'a)a')=a''(ea')=a''a'=e. Т.е. левый обратный является и правым обратным. Заодно доказано, что всякий элемент обратен обратному себе элементу. Ну, а теперь ae=a(a'a)=(aa')a=ea=a, т.е. левая единица является правой единицей. Странно, что на эту тему такая жаркая дискуссия разгорелась.
|
13.11.2004 06:10 Bantammy | Недофакторизовали. Смотрите сами: b=eb=(aa)b=a(ab)=ae=a(aa)=(aa)a=ea=a. (Заметьте: здесь я не опираюсь на сущ.-е правой единицы.)
|
14.11.2004 14:36 Bantammy | Лучше уж про нуль :))) Нуль при умножении на 2 не увеличивается :))))))))
|
21.11.2004 17:18 Дата регистрации:
7 лет назад Посты: 78 | Есть такое простое утверждение: Полугруппа является группой тогда и только тогда, когда существует по крайней мере одна правая единица е такая, что для любого а из группы существует по крайней мере один правый обратный элемент относительно единицы е. С уважением, Свинтус
|
23.11.2004 20:20 Бойко | Разумеется Ну да. Об этом здесь мы и рассуждали. Это как раз и есть "урезанное донельзя" определение группы. С уважением, Бойко
|
