Экстремум целевой функции: Прямоугольник вписан в прямоугольный треугольник...

Автор темы dex 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеПравила и принципы форума «Высшая математика»28.10.2009 15:17
ОбъявлениеИсследовательские гранты фонда «БАЗИС» 202118.02.2021 17:56
ОбъявлениеАктуарий в PPF Life Insurance (Junior)25.03.2021 21:35
16.01.2010 17:29
Экстремум целевой функции: Прямоугольник вписан в прямоугольный треугольник...
Здравствуйте, прошу помочь в решении задачи первокурснику confused (нужно успеть до понедельника).

Условие:
Цитата

Решить задачу, используя экстремум целевой функции.
В прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см вписан прямоугольник, причем одна из сторон прямоугольника принадлежит гипотенузе. При каких размерах площадь прямоугольника будет наибольшей?

Получается что-то вроде этого:
s004.radikal.ru/i208/1001/7d/1fa96d3c138d.jpg

Пробывал искать разность площадей, но ничего не выходит. А через подобие треугольников вроде делаю что-то не то. Вот зацените:

--
1) Пусть a - сторона прямоугольника, лежащая на гипотенузе, а b другая стороня прямоугольника.

2) По первому признаку подобия треугольников:

для ABC ~ DВМ

$ \frac{AB}{DB} = \frac{BC}{BM} = \frac{AC}{DM} => \frac{6}{DB} = \frac{10}{BM} = \frac{8}{b} $

Для АВС ~ ENC

$ \frac{AB}{EN} = \frac{BC}{NC} = \frac{AC}{EC} => \frac{6}{b} = \frac{10}{NC} = \frac{8}{EC} $

3) b= $ \frac{8*DB}{6} = \frac{6*EC}{8} ; EC = \frac{8*b}{6} $

4) BC= a + BD + EC;
10 = a + BD + EC;
a = 10 - BD - EC;
a = 10 - 1.5625 * EC;
a = 10 - 1.5625 * $ \frac{8}{6} $ * b;

5) S(прямоуг.) = a * b = 10b - $ \frac{1.5625*4}{3} * b^2 $

S(прямоуг.) = 10b - $ \frac{6.25}{3} * b^2 $

6) Sʹ(прямоуг.) = 10 - $ \frac{12.25}{3} * b $

Тут мне понаписали вопросы и добавили: совершенно бессмысленные действия.

10 - $ \frac{12.25}{3} * b $ >= 0;
12.5 * b <= (меньше либо равно) 30;
b <= 2.4;

Тут вопросы (??) закончились....

S' (2.3) > 0;
S' (2.4) < 0;

b=2.4 - точка локального максимума.

7) a = 10 - 1.5625 * $ \frac{8}{6} * 2.4 $ = 5;

Ответ: Площадь будет наибольшей при a = 5 и b = 2.4

Заранее спасибо, за любой ответ по теме.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 17.01.2010 14:32.
16.01.2010 17:43
алгоритм решения
Вводишь систему координат - как показано на рисунке http://floomby.ru/content/UyfqgpgYiU/.

Дальше переменной у тебя будет координата Х точки эпсилон.
По ней однозначно находятся координаты точки N, M и D.

Теперь площадь функции задается функцией от переменной х. Ищешь максимум данной функции.
Вычисляешь a и b при таком значении аргумента.
16.01.2010 18:57
.
Цитата
brace
Вводишь систему координат - как показано на рисунке http://floomby.ru/content/UyfqgpgYiU/.

Дальше переменной у тебя будет координата Х точки эпсилон.
По ней однозначно находятся координаты точки N, M и D.

Теперь площадь функции задается функцией от переменной х. Ищешь максимум данной функции.
Вычисляешь a и b при таком значении аргумента.

Напиши пожайлуста решение поподробней... а то многое мне не понятно. confused
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти