Найти корни уравнения x^x = x

Люди добрые, помогите решить задачку сыну в 5-м классе, в голову ничего не лезет уже(( надо вывести что у уравнения x^x=x есть корень не только 1, но и -1.. логарифмами не пользоваться, 5й класс же(



Редактировалось 1 раз(а). Последний 17.01.2010 14:38.

задачка олимпиадная...подставить и проверить не то, надо именно вывести..

почему нельзя?) можно но в пределах начальной школы

Проверить, что число есть корень уравнения, можно только одним способом - подставив число в уравнение, и убедившись, что получается равенство. Всё остальное - это что-то другое.

Можете привести точную формулировку задачи? Может, Вы ее неправильно пересказываете? А то для пятого класса это ну совсем уродливая постановка.

А у этого уравнения нет корня -1, за такой корень на устном экзамене на мех-мате неуд ставят.

Областью определения этого уравнения являются только положительные числа.
Так договорились давно и навсегда.

А почему это уравнение не рассматривают на множестве комплексных чисел? Если уравнение рассматривать на множестве комплексных чисел, то -1 будет корень.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 17.01.2010 11:33.

Если $x$ --- вещественное, то корень один: $x=1$, тут brukvalub абсолютно прав.
Если $x$ --- комплексное, то корней будет гораздо больше.
А вот если $x$ выбирается из множества целых чисел, то корней будет ровно два: $x=1$, $x=-1$.

Теперь вспомним, что в пятом классе вводится только операция возведения в целочисленную степень. Так что, думаю, условие $x$ --- целое входит в формулировку рассматриваемой задачи.

Думаю, пятикласник мог бы расуждать примерно так.

Во-первых, $x\ne0$. Величина $x^x$ есть $ x\times x ...\times x$ (умножение $x$ раз) при x>=1 и $1/x/ .../x$ тоже $|x|$ раз при x<= -1. Очевидно что в первом случае равенство достигается только при $x=1$, а во втором --- только при $x=-1$.

Где-то так.



Редактировалось 3 раз(а). Последний 17.01.2010 18:07.

Цитата

Мне казалось, что отрицательные числа вообще только в шестом классе вводятся. Я что-то пропустил?

Я смеюсь не могу - то вы пишите что отрицательные числа проходят в 6 классе (Когда уже во всю решаются задачи с дробными числами и тд) - а то пишите что уже в 5 классе проходят ZFC (Причем с точностью до разницы между бесконечным и бесконечным большим числом)
То теме ответ через функцию ЛАМБЕРТА

Цитата

Это был наезд. Пруфлинк?

Линк http://www.mathforum.ru/forum/read/1/18660/page/10/

Цитата

Господин zklb (Дмитрий): Докажите товарищу, что натурального числа с бесконечным, пусть даже счетным, числом разрядов не существует

Цитата

Господин ad_dy: Доказывать тут нечего. Можно лишь отправить в первый класс учить определения

Соответственно вы сказали что уже в первом классе учаят понятию счетности - а это явно из ZFC