Предел: ln(2 + sqrt(arctg(x)*sin(1/x)) при x стремящемуся к 0

Автор темы amateur 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеИщем преподавателя для углубленного обучения статистическим методам29.05.2020 13:22
ОбъявлениеМатематик-алгоритмист (Vehicle Routing Problem) – удаленная работа03.06.2020 17:58
ОбъявлениеМатематики, программисты, репетиторов (платформа SapioX)28.01.2021 12:47
29.01.2010 01:21
Предел: ln(2 + sqrt(arctg(x)*sin(1/x)) при x стремящемуся к 0
Привет мехматянам.
Вот тут, http://forum.mql4.com/ru/11381/page14, в первом посте есть шутка. Вот сам предел (прошу прощения, что не смог справиться с квадратным корнем, - он у меня почему-то наверху оказался):

$\lim_{x \to 0}\ln \left( 2 + \sqrt{ \arctg x \cdot \sin \frac {1}{x} } \right)$

Прикол в том, что по поводу этого предела возник горячий спор. Дело дошло до матпакетов. Maple 10 и MathCad его успешно берут, а вот Mathematica 6.0 отказывается.
Я сам считаю, что этот предел не существует. Что думаете, уважаемые?
P.S. Я могу аргументировать свое мнение, если потребуется.



Редактировалось 4 раз(а). Последний 29.01.2010 14:51.
29.01.2010 09:40
Предела нет, сказал мудрец брадатый....
По базе проколотых окрестностей нуля предела нет, поскольку нет ни одной такой окрестности, во всех точках которой функция была бы определена.
29.01.2010 13:38
Спасибо, брадатый
У меня был тот же аргумент.
30.01.2010 00:48
А если так
$\lim_{z\to 0} \, \ln \left(2+\sqrt{\arctg(z) \sin \left(1/z\right) }\right)$
то предел не существует.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 30.01.2010 00:52.
30.01.2010 04:49
Здесь уже другие доводы
Для доказательства отсутствия предела в действительной области достаточно было указать последовательность точек $x_n \to 0$, в которых $\sin \frac{1}{x_n}$ знакочередующаяся, - например, $x_n = \frac {1} {(2n+1) \frac{\pi}{2}}$ .
А для комплексной области можно попытаться найти такую последовательность $z_n \to 0$, что $z_n \sin \frac {1}{z_n}$ не имеет предела. Наверно, это не очень сложно, если учесть, что $\sin z$ - не ограниченная по модулю функция.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 30.01.2010 04:51.
30.01.2010 14:10
Что касается вещественной функции
то как меня учил Знайка, предел функции определяется для точки, являющейся предельной по отношению к области ее определения. А это значит, что достаточно, чтобы любая ее выколотая окрестность имела общие точки с область определения функции. А это значит, что не требуется, чтобы существовала выколотая окрестность точки, которая целиком принадлежала бы области определения функции.
30.01.2010 14:39
Не доверяйте случайным Знайкам и опасайтесь случайных научных связей.
Это был кто-то другой, выдававший себя за Знайку, поскольку использованное в старттопике обозначение $x \to 0$ обозначает именно базу проколотых окрестностей нуля, а для предела по меожеству есть иное обозначение.
30.01.2010 15:51
База проколотых окрестностей
И я ее родную имею в виду. Просто $f[A]$ (образ множества $A$) определен и используется в определении предела без предположения, что $A$ включено в область определения функции.
30.01.2010 16:27
Насчет предела в комплексной области
Там все проще, оказывается. Предела нет, даже если убрать корень (хотя в действительной области он уже будет существовать).
Функция $\sin \frac {1}{z}$ в нуле имеет существенно особую точку, и умножение ее на функцию, имеющую в нуле корень первого порядка, эту существенную особенность не устраняет.
P.S. А я-то, наивный, уже подумал, что в споре на нашем трейдерском форуме могу поставить окончательную, жирную точку. Тем не менее мне ближе мнение brukvalub: существование предела нужно выяснять в проколотой окрестности предельной точки, т.е. именно по множеству, указанному под символом предела.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 30.01.2010 16:45.
30.01.2010 16:32
Определение предела
Определение предела функции в точке никак не связано со значением функции в этой точке. В данном случае функция в точке $0$ не определена. Очень хорошо.
30.01.2010 17:14
Не готов поступиться прынцыпами.
Обычно, определяя предел функции в точке по некоторому множеству, для которого эта точка является предельной, оговаривают, что данное понятие имеет право на существование именно для того, чтобы говорить о пределе функции, которая определена только на рассматриваемом множестве. Далее традиционно следуют слова: если в обозначении базы проколотых окрестностей точки нет выделенного множества, то, по умолчанию, предполагается, что функция определена всюду в некоторой проколотой окрестности этой точки.
Если же Вы, neznayka, учились у некоторого Знайки, который учил Вас иначе, то для меня это не является достаточным основанием к пересмотру устоявшихся в математическом анализе традиций. В свое оправдание сообщаю Вам, что я прочел стотыщпицот учебников по математическому анализу, и во всех них было использовано именно упомянутое мной понимание предела. Вот если Вы укажете мне более авторитетные, чем мнение некоего Знайки, источники информации (учебники, статьи и т.п.), где было бы подтверждение вашего видения предела, то тогда я готов подвинуться в своем мнении.
31.01.2010 13:26
Разгнем книги, душе моя!
Уважаемый brukvalub, помнится, вы ссылались на книгу
Архипов, Садовничий, Чубариков. Лекции по математическому анализу.
Откроем ее на странице 55 и прочитаем.
"Будем считать, что функция $f(x)$, о пределе которой будем говорить, определена на всей числовой прямой $\mathbb{R}$ или на некотором множестве $A$, являющемся его подмножеством, т.е. $A\subset \mathbb{R}$. Этим множеством $A$, например, может быть интервал, отрезок, совокупность промежутков и вообще какое угодно бесконечное множество. Важно только, чтобы точка $x_0$, к которой устремляется аргумент функции $f(x)$ (т.е. $x\to x_0$), являлась предельной точкой множества $A$, а именно: чтобы в любой δ-окрестности точки $x_0$ содержалось бесконечно много точек из множества $A$".

Требование существования проколотой окрестности точки $x_0$, которая должна содержаться в множестве $A$, отсутствует.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 01.02.2010 09:59.
31.01.2010 13:31
Против Brukvaluba нет приема!
biggrin



Редактировалось 1 раз(а). Последний 31.01.2010 13:31.
31.01.2010 14:46
Давайте жить дружно!
Пусть не подумает кто, что я против Brukvaluba. Честь ему и хвала (респект и уважуха, если кто не понимает)! Весь форум на нем держится. Но истина мне дороже. Надеюсь, и для него тоже.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 01.02.2010 11:38.
31.01.2010 16:30
Факир был пьян, и фокус не удался.
Да, истина для меня дороже, чем.
Внимательно прочитав стр. 55 упомянутой книги, я отметил там некую половинчатость обозначений. Записывая предел в точке а по множеству А в виде $x \to a$ ,
авторы тут же добавляют "относительно множества А ".
На мой взгляд, вместо этой оговорки проще использовать традиционную запись: $(x \in A) \to a$ или ее вариации.
В общем, я сделал для себя вывод, что моя позиция в этом споре не является безупречной, и осмысленность исходного обсуждаемого предела зависит от локальных договоренностей....
31.01.2010 17:15
Относительно функции
Если понимать "передел функции $f$ в точке $a$" как предел относительно области ее определения (а именно область определения функции обозначена в книге буквой $A$), то сокращенная запись $x\to a$ в этом случае, думаю, вполне корректна, так как определение функции содержит и определение области ее определения. Прошу прощения за каламбур.
31.01.2010 19:00
ОК, закрываем тему... или нет?
Вижу, что тут мы вторгаемся на территорию умолчаний и недоговоренностей.
neznayka, я правильно Вас понимаю, что, по Вашему мнению, первый предел (в действительной области) существует? Точка $x=0$ является предельной точкой области определения, так что тут все тип-топ.
31.01.2010 19:39
Слышу вас хорошо, прием.
На мой взгляд, пришли к консенсусу. Предел существует, если исходные функции определены на действительной прямой. Если же на комплексной плоскости, то предела нет.
05.02.2010 17:18
Экзотическая (прерывистая) область определения функции.
Мда. Несколько неожиданно.
Хотя, всё верно: функция может быть определена на весьма хитроумном подмножестве числовой шкалы. А для существования предела функции действительно надо просто чтобы ЛЮБАЯ последовательность точек аргумента x, (это может быть и прерывистая, хитроумная, но ПРЕДОПРЕДЕЛЁННАЯ последовательность), сходящаяся к заданной предельной точке, вызывала схождение соответствующих значений функции.
Просто математики настолько привыкли оперировать гладкими и ровными отрезками, где определяется функция, что иногда забывается, что и на таком вот сильно прерывистом множестве функция может существовать и при этом сходиться.
Получается, что при рассмотрении данного предела функцию, нужно, изучив саму функцию, сперва определить, можно ли построить сходящуюся последовательность аргумента, то есть определить ВИД области определения функции, а потом проверить ведёт ли ЛЮБАЯ такая (даже может, экзотическая, прерывистая) последовательность аргумента к сходящейся последовательности значений функции. Так?
И вообще, зря математики мало используют слово "предопределённый". Замечательное слово.
06.02.2010 09:15
Соображения по поводу
Сыр-бор разгорелся вокруг определения предела функции, которая не определена ни в одной подходящей окрестности.
В основном в связи с замечанием г. Brukvaluba:
Цитата

Вам, что я прочел стотыщпицот учебников по математическому анализу, и во всех них было использовано именно упомянутое мной понимание предела.
.
Но вопрос: Как реагировать на такую задачу, скажем в тесте или на олимпиаде? - остался открытым.
Вспомним , что парочка матпакетов сей предел проглотили, а ведь их разработчики тоже, если не стотыщ, то один-два учебника видели. Да и у Ферма была история с его знаменитой проблемкой.
Я , впрочем, ответа не знаю и сей посыл не является даже попыткой свое мнение сформулировать, хотя воспользоваться чужим достаточно обоснованным мнением мне хотелось бы.
В общей формулировке вопрос таков: Как поступать с задачами, имеющими не однозначную трактовку? Дополнительные условия (где поступать, зачем поступать и пр. - естественно, могут быть состаными частями ответов)
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти