Предел: ln(2 + sqrt(arctg(x)*sin(1/x)) при x стремящемуся к 0

Привет мехматянам.
Вот тут, http://forum.mql4.com/ru/11381/page14, в первом посте есть шутка. Вот сам предел (прошу прощения, что не смог справиться с квадратным корнем, - он у меня почему-то наверху оказался):

$\lim_{x \to 0}\ln \left( 2 + \sqrt{ \arctg x \cdot \sin \frac {1}{x} } \right)$

Прикол в том, что по поводу этого предела возник горячий спор. Дело дошло до матпакетов. Maple 10 и MathCad его успешно берут, а вот Mathematica 6.0 отказывается.
Я сам считаю, что этот предел не существует. Что думаете, уважаемые?
P.S. Я могу аргументировать свое мнение, если потребуется.



Редактировалось 4 раз(а). Последний 29.01.2010 14:51.

У меня был тот же аргумент.

Для доказательства отсутствия предела в действительной области достаточно было указать последовательность точек $x_n \to 0$, в которых $\sin \frac{1}{x_n}$ знакочередующаяся, - например, $x_n = \frac {1} {(2n+1) \frac{\pi}{2}}$ .
А для комплексной области можно попытаться найти такую последовательность $z_n \to 0$, что $z_n \sin \frac {1}{z_n}$ не имеет предела. Наверно, это не очень сложно, если учесть, что $\sin z$ - не ограниченная по модулю функция.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 30.01.2010 04:51.

Это был кто-то другой, выдававший себя за Знайку, поскольку использованное в старттопике обозначение $x \to 0$ обозначает именно базу проколотых окрестностей нуля, а для предела по меожеству есть иное обозначение.

Там все проще, оказывается. Предела нет, даже если убрать корень (хотя в действительной области он уже будет существовать).
Функция $\sin \frac {1}{z}$ в нуле имеет существенно особую точку, и умножение ее на функцию, имеющую в нуле корень первого порядка, эту существенную особенность не устраняет.
P.S. А я-то, наивный, уже подумал, что в споре на нашем трейдерском форуме могу поставить окончательную, жирную точку. Тем не менее мне ближе мнение brukvalub: существование предела нужно выяснять в проколотой окрестности предельной точки, т.е. именно по множеству, указанному под символом предела.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 30.01.2010 16:45.

Обычно, определяя предел функции в точке по некоторому множеству, для которого эта точка является предельной, оговаривают, что данное понятие имеет право на существование именно для того, чтобы говорить о пределе функции, которая определена только на рассматриваемом множестве. Далее традиционно следуют слова: если в обозначении базы проколотых окрестностей точки нет выделенного множества, то, по умолчанию, предполагается, что функция определена всюду в некоторой проколотой окрестности этой точки.
Если же Вы, neznayka, учились у некоторого Знайки, который учил Вас иначе, то для меня это не является достаточным основанием к пересмотру устоявшихся в математическом анализе традиций. В свое оправдание сообщаю Вам, что я прочел стотыщпицот учебников по математическому анализу, и во всех них было использовано именно упомянутое мной понимание предела. Вот если Вы укажете мне более авторитетные, чем мнение некоего Знайки, источники информации (учебники, статьи и т.п.), где было бы подтверждение вашего видения предела, то тогда я готов подвинуться в своем мнении.

Редактировалось 1 раз(а). Последний 31.01.2010 13:31.

Да, истина для меня дороже, чем.
Внимательно прочитав стр. 55 упомянутой книги, я отметил там некую половинчатость обозначений. Записывая предел в точке а по множеству А в виде $x \to a$ ,
авторы тут же добавляют "относительно множества А ".
На мой взгляд, вместо этой оговорки проще использовать традиционную запись: $(x \in A) \to a$ или ее вариации.
В общем, я сделал для себя вывод, что моя позиция в этом споре не является безупречной, и осмысленность исходного обсуждаемого предела зависит от локальных договоренностей....

Вижу, что тут мы вторгаемся на территорию умолчаний и недоговоренностей.
neznayka, я правильно Вас понимаю, что, по Вашему мнению, первый предел (в действительной области) существует? Точка $x=0$ является предельной точкой области определения, так что тут все тип-топ.

Мда. Несколько неожиданно.
Хотя, всё верно: функция может быть определена на весьма хитроумном подмножестве числовой шкалы. А для существования предела функции действительно надо просто чтобы ЛЮБАЯ последовательность точек аргумента x, (это может быть и прерывистая, хитроумная, но ПРЕДОПРЕДЕЛЁННАЯ последовательность), сходящаяся к заданной предельной точке, вызывала схождение соответствующих значений функции.
Просто математики настолько привыкли оперировать гладкими и ровными отрезками, где определяется функция, что иногда забывается, что и на таком вот сильно прерывистом множестве функция может существовать и при этом сходиться.
Получается, что при рассмотрении данного предела функцию, нужно, изучив саму функцию, сперва определить, можно ли построить сходящуюся последовательность аргумента, то есть определить ВИД области определения функции, а потом проверить ведёт ли ЛЮБАЯ такая (даже может, экзотическая, прерывистая) последовательность аргумента к сходящейся последовательности значений функции. Так?
И вообще, зря математики мало используют слово "предопределённый". Замечательное слово.