06.02.2010 15:50 Дата регистрации:
7 лет назад Посты: 935 | Дались вам эти окрестности В любой окрестности нуля есть точки неопределённости функции, ну и что? Зато есть точки определённости, то есть нуль является предельной точкой области определения функции. Этого достаточно, чтобы можно было говорить о пределе функции. Ясно, что он существует и равен $\ln 2$Ещё скажите, что функцию определённую на множестве $\mathbb Q$ (даже константу) никогда не продолжить по непрерывности на всю действительную ось. Тогда нет ни экспоненты (которая стандартно получается затыканием дыр) ни обратной для экспоненты - логарифма. _____________________________ Правила русского языка категорически запрещают решать пределы, интегралы, ряды, матрицы, определители ...
|
06.02.2010 16:25 Дата регистрации:
2 года назад Посты: 150 | Что-то тут все равно не сходится Согласно определению предела по Гейне, для любой последовательности значений аргумента с одним и тем же пределом предел функции должен существовать и быть одним и тем же. Но здесь можно легко указать последовательность, для которой предела функции не существует, т.к. сама функция в точках этой последовательности не определена. И что, предел-таки существует? Цитата
bot
Ещё скажите, что функцию определённую на множестве $Q$ (даже константу) никогда не продолжить по непрерывности на всю действительную ось.
А какое отношение эти слова имеют к данной задаче?
|
06.02.2010 16:30 Дата регистрации:
3 года назад Посты: 1 800 | Согласен, господин Bot Лично я так и думаю, что можно определять предел в любом хаусдорфовом топологическом пространстве, используя при этом стандартное обозначение. При этом, если это подпространство вещественной оси, то можно использовать стандартную запись и для стремления к предельным точкам, не входящим в подпространство. Хотя я не уверен, что авторы учебников и задачников думают так же.
|
07.02.2010 08:35 Дата регистрации:
2 года назад Посты: 9 | Согласен, но есть поправка. Цитата
bot
В любой окрестности нуля есть точки неопределённости функции, ну и что?
Зато есть точки определённости, то есть нуль является предельной точкой области определения функции.
Поправка: в окрестности точки схождения аргумента - то есть в окрестности НУЛЯ - недостаточно, чтобы просто "были точки определённости" функции, их должно там быть БЕСКОНЕЧНО МНОГО, чтобы из них можно было как-нибудь построить бесконечную последовательность значений аргумента, сходящуюся к заданной в условии задачи точке (у нас - к нулю). В данной задаче это выполняется.
|
07.02.2010 13:42 Дата регистрации:
7 лет назад Посты: 935 | О поправках alexeros Если есть одна, то их бесконечно много - сказано же: в любой окрестности есть точка определённости ... amateur В определении по Гейне: не просто для любой последовательности ... , а для любой последовательности из области определения функции ... Для отрицающих существование данного предела Во многих учебниках бывает для упрощения рассматривают функции, заданные в окрестности, однако это не отменяет определения предела (по Коши или по Гейне), охватывающее случай "дырявой области" определения. _____________________________ Правила русского языка категорически запрещают решать пределы, интегралы, ряды, матрицы, определители ...Редактировалось 1 раз(а). Последний 07.02.2010 13:43.
|
07.02.2010 15:47 Дата регистрации:
2 года назад Посты: 150 | ОК, почти уломали Но вот еще один пример, слегка модифицированный: $\lim_{x \to 0+}\ln \left( 2 + \sqrt{ \arctg x \cdot {(\sin \frac {1}{x}-1)} } \right)$Область определения функции справа от нуля - счетное множество $x_n = \frac {1}{(2k+1/2)\pi}$. Согласно последним комментариям, предел существует. Ни у кого не возникает чувства справедливого негодования по поводу такого издевательства над здравым смыслом: в правой окрестности нуля функция не существует везде, окромя счетного множества точек, но ее предел справа от нуля все же существует?
|
07.02.2010 18:24 Дата регистрации:
2 года назад Посты: 9 | Не обижайте функцию - она хорошая. Цитата
amateur
Но вот еще один пример, слегка модифицированный:
$\lim_{x \to 0+}\ln \left( 2 + \sqrt{ \arctg x \cdot {(\sin \frac {1}{x}-1)} } \right)$
Область определения функции справа от нуля - счетное множество $x_n = \frac {1}{(2k+1/2)\pi}$. Согласно последним комментариям, предел существует.
Ни у кого не возникает чувства справедливого негодования по поводу такого издевательства над здравым смыслом: в правой окрестности нуля функция не существует везде, окромя счетного множества точек, но ее предел справа от нуля все же существует?
Ну зачем так радикально про эту функцию? Ну да, немного экзотичная область определения, ну и что? Множество её значений, хоть и счётно, но всё равно бесконечно. В конце-концов, где-то же должна проходить граница между аналоговым и дискретным? Вот такая Ваша функция - и есть граница, - существует только в точках касания модулированной синусоидой некоей линии.
|
07.02.2010 18:57 Дата регистрации:
7 лет назад Посты: 935 | Сначала может быть и шокирует, а потом привыкаешь :) Вот и в Вики пишут: рассмотрим функцию $f\left( x \right)$, определенную в выколотой окрестности точки $x_0$. Число $A$ называется пределом функции ... далее следуют определения по Коши и по Гейне. А к чему это начальное ограничение? По моему мнению, это уже архаизм. Когда мне пришлось читать матан первокурам (биологам), я без колебаний начинал так: Пусть $x_0$ является предельной точкой области определения функции $f$ ... Откуда я это взял? Насколько мне помнится, в Фихтенгольце (сейчас нет под рукой) этот момент не акцентируется, а Вики ещё и в планах не было. Очевидно нам так читали (Ю.Г.Решетняк), а засело крепко из-за зачётов (В.А.Цецохо) - очень жёстких ввиду моей никакой посещаемости. Модифицировать можно ещё лучше - поместить арктангенс в модуль или в квадрат его возвести. Тогда функция будет определена константой $\ln 2$ на указанной последовательности и нигде больше. Предел её равен этой константе и никого негодования по этому поводу я не испытываю. :) _____________________________ Правила русского языка категорически запрещают решать пределы, интегралы, ряды, матрицы, определители ...Редактировалось 1 раз(а). Последний 07.02.2010 19:05.
|
07.02.2010 20:08 Дата регистрации:
2 года назад Посты: 9 | А ещё можно sin (1/x) - 0.9999(9) А ещё можно добавить не ${(\sin \frac {1}{x}-1)} } $, а ${\sin \frac{1}{x} - 0.9999(9)}}$тогда совсем непонятно будет..... У Фихтенгольца - стр.138 том1 - предел функции поясняется через определение "точки сгущения" и сразу особо оговаривается односторонний предел. Добивка-поправка: у нашей функции - как начальной, так и модифицированной amateur, предел будет существовать как справа так и слева.... вроде бы...., так что $\lim_{x \to 0+0} $ (типа по Фихтенгольцу) можно не писать. Редактировалось 8 раз(а). Последний 07.02.2010 23:57.
|
11.02.2010 10:19 Дата регистрации:
2 года назад Посты: 1 | развели, блин, спор... хотя зато зарегился) Цитата
neznayka
...предел функции определяется для точки, являющейся предельной по отношению к области ее определения. А это значит, что достаточно, чтобы любая ее выколотая окрестность имела общие точки с область определения функции. А это значит, что не требуется, чтобы существовала выколотая окрестность точки, которая целиком принадлежала бы области определения функции.
Верно, понятие предела корректно для предельных точек множества, если мы говорим о классическом понятие предела. И нет тут никакой магии =) Непонятно, только что делать с изолированными точками, в них понятие предела по Гейне вполне корректно, а вот по Коши нет. В общем вопрос соглашения. Цитата
brukvalub
Обычно, определяя предел функции в точке по некоторому множеству, для которого эта точка является предельной, оговаривают, что данное понятие имеет право на существование именно для того, чтобы говорить о пределе функции, которая определена только на рассматриваемом множестве. Далее традиционно следуют слова: если в обозначении базы проколотых окрестностей точки нет выделенного множества, то, по умолчанию, предполагается, что функция определена всюду в некоторой проколотой окрестности этой точки.
Если же Вы, neznayka, учились у некоторого Знайки, который учил Вас иначе, то для меня это не является достаточным основанием к пересмотру устоявшихся в математическом анализе традиций. В свое оправдание сообщаю Вам, что я прочел стотыщпицот учебников по математическому анализу, и во всех них было использовано именно упомянутое мной понимание предела. Вот если Вы укажете мне более авторитетные, чем мнение некоего Знайки, источники информации (учебники, статьи и т.п.), где было бы подтверждение вашего видения предела, то тогда я готов подвинуться в своем мнении.
По твоим словам: ...функция определена всюду в некоторой проколотой окрестности этой точки...- получается, что ln(2 + sqrt(arctg(x)*sin(1/x)) - это и не функция =( Ну да, в некотором смысле верно - это радикал) Интересно получается, спор о том существует ли предел у функции, а функции то и нет! А ещё, "стотыщпицот" учебников - это, конечно, аргумент! Но есть ещё и здравый смысл...
|
04.02.2012 17:51 Дата регистрации:
3 месяца назад Посты: 11 | Функция непрерывна в точке ноль, если её доопределить Ln2 Цитата
yaolegb
Непонятно, только что делать с изолированными точками, в них понятие предела по Гейне вполне корректно, а вот по Коши нет.
В учебнике Л.И.Камынин "Курс математического анализа" Т.1. На стр.69 утверждается, что определения предела по Коши и по Гейне эквивалентны. Я ещё не очень глубоко вник в их понятия, поэтому могу только дать такую ссылку. Если подойти формально к определениям предела функции в точке (стр.49) и понятию предельной точки (стр.41), которое фигурирует в определении предела, то действительно, рассматриваемая функция имеет предел в нуле, равный $Ln2$Однако, если также формально подходить к определению непрерывности (стр.93), то доопределив исходную функцию $Ln2$ при $x=0$, получим, что в этой точке функция непрерывна, хотя в окрестности этой точки терпит бесконечно много разрывов. Если же $Ln2$ доопределить модифицированную функцию $\ln \left( 2 + \sqrt{ \arctg x \cdot {(\sin \frac {1}{x}-1)} } \right)$, то получается, что и она непрерывна в точке $x=0$. Более того, она получается непрерывной во всех точках области определения, хотя в проколотых окрестностях этих (изолированных, как получается) точек не определена. И так как изолированные точки не являются предельными, т.е. не принадлежат производному множеству - множеству предельных точек (стр.41), то получается, что такая функция имеет всего одну предельную точку $x=0$, а в остальных точках области определения пределов не имеет. А это противоречит утверждению, что $f\inC(x_{0})\Leftrightarrow(\exists\lim_{B}f(x)=f(x_{0}))$, что функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда её предел существует и равен значению функции в этой точке. В данном случае пределы не существуют, так как точки изолированные, а не предельные. Однако по формальному определению непрерывности - функция непрерывна в изолированных точках. И только при таком формальном подходе - рассматриваемая, исходная функция, имеет предел в точке ноль.
|
