S-гипотеза

Поворот в исследовании

В связи с формулировкой второй гипотезы, или в дальнейшем S-гипотезы, есть смысл переключиться на поиск ее доказательства, а завершающее доказательство ВТФ на ее базе привести при удобном случае.

Итак, S-гипотеза гласит:

В равенстве A^n+B^n=(A+B)R, где n простое, натуральные A и B взаимнопростые и их k-значные окончания являются k-значными окончаниями некоторых чисел a^n и b^n, k-значное окончание каждого простого делителя числа R (за исключением n) равно 1.

S-гипотеза интересна тем, что на ее формулировку официальная математика за 350 лет не вышла и, по-видимому, не могла выйти в принципе. Пока неизвестно, удалось ли Пьеру Ферма найти ее строгое доказательство или же он удовлетворился частными числовыми примерами и общими соображениями. Ответ на этот вопрос станет очевидным, если удастся найти простое доказательство S-гипотезы.

Поначалу мне показалось, что S-гипотеза недоказуема. Но постепенно стали появляться разные инструменты. И исходный, простейший случай очевиден: A=1, B=b^n…

=============

Считаю, что тему S-гипотезы следует вычленить из темы ВТФ.

Я выдвигаю две сходных S-гипотезы («гипотезы Сорокина»).

S-гипотеза-1 (подтверждаемая конкретными расчетами на компьютере):
В равенстве A^{n^t}+B^{n^t}=(A^{n^(t-1)}+B^{n^(t-1)})R, где
- простое n>2,
- натуральные A и B взаимнопростые,
t-значное окончание каждого простого делителя числа R (исключая n) в базе n равно 1.
Например (для n=3): 8^3-1=(8-1)*73=(8-1)*(8*9+1); 8^3+1=(8+1)*57=(8+1)*(3*19)=(8+1)*[3*(2*9+1]; и т.д.

S-гипотеза-2 (более спорная):
В равенстве A^n+B^n=(A+B)R, где
- простое n>2,
- натуральные A и B взаимнопростые,
- их k-значные окончания являются k-значными окончаниями некоторых чисел a^n и b^n,
- k-значное окончание числа R равно 1,
k-значное окончание каждого простого делителя числа R (исключая n) в базе n равно 1.



Редактировалось 3 раз(а). Последний 10.03.2010 22:51.

Мнение сведущих математиков единодушно - в артель "напрасный труд" никто из них записываться не хочет.

не могли бы Вы пояснить - чем отличаются фразы "кратно" и "содержит делитель"? ну и еще "имеет делитель" для пущей радости. и в самом деле - не будьте настолько косным и выучите наконец Тех. Ваши корявые формулы утомляют.

Лемма и инструментарий

Лемма

Если число C является взаимнопростым с числом $A^n-B^n=(A-B)R$, где n>2, то числа R и T в равенстве $ (C-A)^n-(C-B)^n=(A-B)T$ являются взаимнопростыми.

Инструментарий

1. Лемма 1.
Если число C содержит какой-либо делитель m числа R, то число T делится на m.
Действительно, в этом случае число T представимо в виде dm+R.

2. Простейший случай Леммы:
Числа R в равенстве $A^n-B^n=(A-B)R$, где n>2, и T в равенстве $ (A-1)^n-(B-1)^n =(A-B)T$ являются взаимнопростыми (A>B>1, A и B взаимнопростые).

для меня тоже синонимы. так выберите что нибудь одно.

что значит "в базе n"?

Теорема 1.

Если натуральные числа A, B и A-B взаимнопростые и не кратны простому n>2, то
последняя цифра каждого простого делителя m числа R в равенстве $A^n-B^n=(A-B)R$ в базе n равна 1.

Доказательство.

Известно, что в условиях Теоремы число R не делится на n и числа A-B и R являются взимнопростыми.

Покажем теперь, что и простое число q вида $q=p+1$, где p не делится на n, является делителем числа $A^n-B^n$ и не является делителем числа R.

Согласно малой теореме Ферма, число $A^p-B^p$ делится на q.

Используем решение следующего линейного диофантова уравнения: $nx-py=1$.

Число $A^{nx}-B^{nx}$ делится на m. Но $A^{nx}-B^{nx}= A^{py+1}-B^{py+1}=$
$=(A^p)^y-(B^p)^y$, где числа $A^p$ и $B^p$ оканчиваются - согласно малой теореме Ферма – на цифру 1. Следовательно, число A-B делится, а число R не делится на q.

Таким образом, числа вида q=p+1, где p не делится на n, не являются делителями числа R. Что и требовалось доказать.

============

P.S. До сего времени я не получил ни одного свидетельства того, что данная теорема известна. Но именно эта теорема является базовой в теории исчисления цифровых окончаний степеней (и в теории равенства Ферма). Замечу, что исчисление цифровых окончаний вызвало бурю негодований на математических форумах.

Цитата
brukvalub
Так сколько можно эту туфту раз за разом реанимировать?

Эта тема не для Вас, а для любителей математики.

Цитата

$A^{py+1}-B^{py+1}=A^{py}-B^{py}$

И откуда такая красота?

Цитата

где числа $A^p$ и $B^p$ оканчиваются - согласно малой теореме Ферма – на цифру 1.

Да, плохи дела!!
Сорокин стал уже в МТФ путаться!!