Теорема Кантора

Объясните пожайлуста кто-нибудь теорему Кантора, о том что мощность произвольного множества А строго меньше мощности множества всех подмножеств множества А.

Заранее благодарен.

Пусть у нас есть множество A и множество 2^A.
Ясно, что инъекция A в 2^A есть (например, a из А в {a}).
Допустим, что они равномощны. Тогда есть некоторая биекция
F: A <-> 2^A.
F(a), где а из A - это подмножество A.
Есть два варианта:
1)a лежит в F(A)
2)a там не лежит.
Возьмем все элементы a из A такие, что они не лежат в своих образах.
Ясно, что они образуют некоторое подмножество A -- D.
Т.к. F - биекция, то существует d из А: F(d) = D.
Есть два случая:
1) d лежит в D. Но тогда d там не лежит, т.к. по построению множество D - это множество элементов, которые не принадлежат своим образам.
2) d там не лежит. Но тогда оно по построению множества D должно там лежать.
Противоречие (с тем, что сущ. биекция).
Значит, мощность A строго меньше мощности 2^A.

Цитата

Kalkin писал(а) :
Пусть у нас есть множество A и множество 2^A.

Мой дорогой сэр, но пусть у нас нет множества 2^A!

Объясните мне, дураку, на пальцах, что это за вещь такая - "произвольное подмножество бесконечного множества A".

С уважением,
Гастрит

>>Возьмем все элементы a из A такие, что они не лежат в своих образах.

Мне немного непонятна данная фраза.

Вторая теорма Геделя, однако.
А если принять недостижимый кардинал, например, то доказано все.
С уважением Свинтус

Цитата

Свинтус писал(а) :
То даже если и найдут противоречие в Цермело-Френкеле-- его немного подредактируют и будут жить дальше ;-)
С уважением Свинтус

А может, в ходе этого редактирования будут выкинуты именно те аксиомы, которые Вы сейчас применили? Где гарантия?

С уважением,
Гастрит

Цитата

Свинтус писал(а) :
И чего? Ну другие сочетания букв будут считаться "правильными" и созданные ими миры изменяться, будет другое что-нибудь существовать причем в таком же смысле.

А меня не интересует "что-то другое". Готовы Вы ответить конкретно за то, что говорите сейчас?

Цитата

А 99.9% математики вообще ничего не заметит.

Просто потому, что они занимаются математикой, а отнюдь не ничего общего с математикой не имеющей теоретико-множественной галиматьёй.

И мир они изучают тот, который есть (а не "созданные" чьей-то фантазией).

С уважением,
Гастрит

P.S.: В окно, Свинтус, в окно... :)

Цитата

Свинтус писал(а) :
Я уверен, что ZFC непротиворечива. За все время ее существования противоречий не нашли.

Да она существует-то жалкие 100 лет! Найдут ещё, будьте благонадёжны!

Цитата

Так, что существующей игре под названием "математика" ничего не мешает. Помешает- поправят правила. В рамках этой игры существуют миры, в которых все диктуется наборами буковок и в рамках этих наборов буковок и правил их перестановок и в ,соответственно, созданных этими языками мирах, мы рассуждаем.
В этих мирах все их объекты вполне существуют.
В них мы знаем, что такое произвольное подмножество бесконечного множества. Изменятся миры-- будем знать что-то другое.
С уважением Свинтус

Короче - того, что положение дел в Ваших "мирах" (на которые лично мне наплевать) соответствует положению дел в том единственном мире, который не создан никаким из языков (и в котором, собственно, эти языки сами существуют), Вы не гарантируете. :(

Впрочем, я это заранее знал :)

С уважением,
Гастрит

P.S.: В окно, почтенный солипсист, в окно :) :)

Мы устанавливаем биекцию между элементами множества А и множеством всех возможных подмножеств 2^A. Значит элементами первого множества будут элементы из A (например a), а элементами из второго - разные подмножества множества A. Что такое подмножество множества A? Это совокупность каких-то элементов из A.
a -> {n_1,n_2,n_3,n_4,...,n_k} - наша биекция, где n_1,n_2,...,n_k - элементы из A.
Тогда элемент a не лежит в своём образе {n_1,n_2,...,n_k}, если ни один из n_1,n_2,...,n_k не совпадает с a.

Цитата

Newis писал(а) :
А может не быть элементов, которые не лежат в своем образе? Почему не может быть так, что все элементы лежат в своем образе?


Извиняюсь за глупые вопросы.

Newis, можно полюбопытствовать - а зачем Вам эта горе-"теорема"?

Если только для экзамена - вызубрите её не вдумываясь в смысл (всё равно его нет), и забудьте немедленно после того, как сдадите.

Если же Вы действительно хотите понять эту теорему, перед Вами два пути. Один указан Свинтусом: теорема сия есть просто набор буковок, который может быть получен при помощи заранее фиксированных правил вывода из других наборов буковок (называемых "аксиомами теории множеств" ). Искать же в этом наборе буковок смысл нелепо.

Путь второй: попытаться проанализировать используемые в "теории" множеств понятия по существу. Тогда выяснится, что за этими понятиями ничего нет - ну не бывает в природе "произвольных подмножеств бесконечных множеств". Бывают лишь подмножества тех или иных фиксированных типов (например, перечислимые) - а для множеств, составленных такими подмножествами теорема Кантора просто неверна!

Так что на втором пути Вам придётся признать теорему Кантора беспредметной (трактующей о "свойствах" несуществующего "объекта" ), после чего забить на неё и перейти к очередным делам :)

Tertium non datur. Выбирайте.

С уважением,
Гастрит