Цитата
zklb (Дмитрий)
еще попытка?
..
Попытка - не пытка.
Доказательство ВТФ методом конечного спускаВТФ формулируется удивительно просто: не существует натуральных (целых положительных) чисел
$x, y, z$, которые при
$n>2$ составляют равенство
$$z^n=x^n+y^n$.$Доказательство неразрешимости этого Диофантова уравнения проведём методом от противного, сначала предположив, что такое равенство существует, а затем докажем, что при таком предположении было бы верно некоторое другое равенство, которое заведомо неверно. Полученное противоречие покажет, что исходное предположение было неверным, и поэтому верно утверждение Ферма, которое он предлагал осуществить с помощью «метода спуска».
Доказательства Великой теоремы Ферма, Эйлером, Лежандром, Дирихле и других математиков фактически могли быть выполнены только МЕТОДОМ КОНЕЧНОГО СПУСКА, а не бесконечного, как то обычно утверждается. К примеру, Эйлер осуществил доказательство для ступени 3, опустившись не бесконечно, а всего на одну степень: в качестве исходного пункта он применил уравнение
$z^4=x^4+y^4$, ранее якобы доказанное Ферма. Намеренно расплывчатое доказательство этого уравнения записано на полях «Арифметики» Диофанта. В книге С. Сингха «Великая теорема Ферма», которую можно найти в http://www.4ygeca.com/ch3.htm#G24_4, это самое доказательство изложено уже более определённо:
«Чтобы доказать, что уравнение
$x^4+y^4=z^4$не допускает решения в целых числах, Ферма начал с предположения о существовании гипотетического решения в целых числах
$x=X_1, y=Y_1, z=Z_1$. При изучении свойств чисел (
$x=X_1, y=Y_1, z=Z_1$).
Ферма показал, что если бы такое гипотетическое решение действительно существовало, то существовало бы меньшее решение (
$x=X_2, y=Y_2, z=Z_2$). Рассматривая это новое решение, Ферма смог показать, что если бы оно существовало, то существовало бы еще меньшее решение (
$x=X_3, $y=Y_3, z=Z_3$) и т.д.
Ферма обнаружил нисходящую лестницу решений, которая теоретически могла бы продолжаться неограниченно, порождая все меньшие и меньшие решения. Но
$x, y, z$должны быть целыми положительными (так называемыми натуральными) числами, поэтому НЕСКОНЧАЕМАЯ НИСХОДЯЩАЯ ЛЕСТНИЦА НЕВОЗМОЖНА, ПОТОМУ ЧТО ДОЛЖНО БЫТЬ НАИМЕНЬШЕЕ ЦЕЛОЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ (выделено мною). Полученное противоречие доказывает, что начальное предположение о существовании решения (
$x=X_2, y=Y_2, z=Z_2$) было ложным. Итак, используя метод бесконечного спуска, Ферма доказал, что при
$n=4$ уравнение
$z^n=x^n+y^n$ не может иметь целочисленных решений».
«Метод спуска» в изложении Ферма звучит таким образом*:
«Если бы существовал некоторый прямоугольный треугольник в целых числах, который имел бы площадь, равную квадрату, то существовал бы другой треугольник, меньший этого, который обладал бы тем же свойством. Если бы существовал второй, меньший первого, который имел бы то же свойство, то существовал бы, в силу подобного рассуждения, третий, меньший второго, который имел бы то же свойство, и наконец, четвёртый, пятый, спускаясь до бесконечности. Но если задано число, то не существует бесконечности по спуску меньших его (я всё время подразумеваю целые числа). Откуда заключаю, что не существует никакого прямоугольного треугольника с квадратной площадью».
По утверждению Ферма, уравнение
$z^n=x^n+y^n$ невозможно решить в ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ. В Великой теореме он о них не говорит, но «всё время подразумевает целые числа». Очевидно, стороны прямоугольного треугольника, можно делить пропорционально БЕСКОНЕЧНО**, так и не получив наименьший треугольник, пропорциональный исходному, стороны которого будут связаны равенством
$z_1^2=1= x_1^2+y_1^2$. Но также очевидно и то, что если заданы целые числа, в нашем случае обозначенные
$x, y, z$, речь может идти только о КОНЕЧНОМ СПУСКЕ по степеням до этих самых чисел, т. е. фактически до равенства
$z=x+y$. Можно ограничиться и известным Пифагоровым равенством
$z^2=x^2+y^2$, так как, согласно утверждению Ферма, «…разделить…любую степень… БОЛЬШЕ ВТОРОЙ на две степени с тем же обозначением невозможно».
Доказательство ВТФ для общего случая:
$(x,y,z,n)\in N$Как я уже сказал, доказательство справедливости утверждения Ферма для любой степени, большей 2, проведём от противного, предположив, что
$z^n=x^n+y^n$$, в котором
$x, y, z$ - натуральные числа и
$x<z>y$1. Применив «метод спуска» до
$n=3$, разделим обе части предполагаемого равенства
$z^n=x^n+y^n$ на
$z^{n-3}$2. Получим противоречивое равенство
$z^3=(\frac{x}{z})^{n-3}x^3+(\frac{y}{z})^{n-3}y^3$, составленное из натуральных и дробных чисел***,
3. После этого, применив «метод спуска» до
$n=2$, разделим обе части предполагаемого равенства
$z^n=x^n+y^n$ на
$z^{n-2}$.
4. Снова получим противоречивое равенство
$z^2=(\frac{x}{z})^{n-2}x^2+(\frac{y}{z})^{n-2}y^2$, которое при
$n=2$ решается не для всех натуральных чисел, а только для «пифагоровых троек».
5. Наконец, применив «метод конечного спуска», разделим обе части предполагаемого равенства
$z^n=x^n+y^n$ на
$z^{n-1}$.
6. Опять получим противоречивое равенство
$z^1=(\frac{x}{z})^{n-1}x+(\frac{y}{z})^{n-1}y$ для случая, когда при
$n=1$ не все натуральные числа
$x, y, z$ образуют равенство
$z=x+y$.
Таким образом, наше предположение было неверным, а верным было утверждение Ферма о том, что при
$n>2$ Диофантово уравнение
$z^n=x^n+y^n$ не решается в натуральных числах.
Примечание:
*Ферма изложил «метод спуска» в 45 примечании к «Арифметике» Диофанта и в своём письме (от 1636 года) к Каркави, применив его для доказательства того, что площадь прямоугольного треугольника не может быть равна квадрату целого числа.
** Георг Кантор определил бесконечность как длину нескончаемого перечня натуральных чисел. Как известно, счёт всех натуральных чисел начинается с и заканчивается бесконечностью. Совершенно очевидно, что обратный счёт натуральных чисел не бесконечен, так как он заканчивается этой самой .
*** Натуральные числа, складываясь и умножаясь на целые числа, дают другие целые числа. При делении меньших натуральных чисел и на большее натуральное число, получается дробь, которая, умножаясь на натуральные числа и, возводящаяся в степень, ею и остаётся.
Редактировалось 2 раз(а). Последний 14.11.2010 22:13.
