Функан: Доказать, что оператор A : X to Y является линейным, ограниченным и найти его норму...

Есть ли смысл помогать тому, кто даже формулу ленится правильно набрать?

"Очень надо" решить за вас, чтобы вы потом выдали списанное решение за свое и пошли с ним обманывать своего преподавателя?
Ведь задача-то выеденного яйца не стоит, ее решит любой, кто выучил определения упомянутых в задаче понятий.

Вы имели ввиду это:
$(Ax)(t)=\sin^2(\pi*t)x(\root{3}{t})$? Чтобы это прочесть нужно установить MathPlayer.

Можно легко доказать , что для произвольных данных функций $f.\;g$ из $C[-1,1]$ , таких, что $g([-1,\,1])$ содержится в том же интервале, оператор $А$, определяемый равенством $(Ax)(t)=f(t)x(g(t))$ - линейный и ограниченный (для последнего существенно, что рассматривается компактное множество - замкнутый отрезок [-1, 1]. Образ этого отрезка при действии непрерывной функции $f$ компактное множество, а, значит, и ограниченное.

Скорее пишу: докажите сами, что норма равна 1, а то сейчас господин museum всю педагогику под откос пустит!