Ряд: Sum (sin(n) * sin(n*n)) / n

Автор темы DEN 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеРаботодателям и кадровым агентствам: Размещение вакансий26.03.2008 03:07
ОбъявлениеПреподаватель мехмата МГУ удостоен международной премии по математике Presburger Award28.07.2020 01:04
ОбъявлениеАктуарий в PPF Life Insurance (Junior)25.03.2021 21:35
17.11.2004 01:39
DEN
Ряд: Sum (sin(n) * sin(n*n)) / n
Есть интересный рядок:
Sum (sin(n) * sin(n*n)) / n
Исследовать на абсолютную сходимость.
У кого нибудь есть хоть одна идея?
17.11.2004 04:35
ИМХО, ему совершенно не с чего сходиться абсолютно (+)
Так что ничего особо интересного в ряде не вижу. Интриги нет.
Надо доказать, что среди достаточно больших n будет достаточно много таких, что ни они, ни их квадраты не близки к кратным числа \pi.
Как?
Да хоть так:
Если число n отстоит от ближайшего кратного \pi меньше, чем на 0.000001, то следуюшие 999 чисел (это я с запасом хватил, наверняка можно больше) уж точно не попадут так же близко.
С квадратами - если n^2 попадает в 0.000001-окрестность кратного \pi, то либо (n+1)^2 не попадает, либо (n+2)^2 и ещё несколько подряд гарантированы от такой неприятности.
Короче, из 1000 подряд идущих чисел по крайней мере у 999 штук |sin(n)|>|sin(0.000001)|, и у 500 штук |sin(n*n)|>|sin(0.000001)|.
По-моему, этого достаточно, нет?

17.11.2004 16:11
Serg
почему?
почему этого достаточно, чтобы ряд не сходился?
17.11.2004 18:55
Потому что (+)
значит, в худшем случае у 499 из каждой тысячи сверху стоит нечто, не меньшее, чем (sin 0.000001)^2, и вся фигня расходится по типу гармонического ряда.
ЗЫ. Что выглядит коряво и что оценки можно улучшить - сам вижу, но зачем, если для расходимости хватило бы и одного из тысячи...
18.11.2004 22:34
Bantammy
Не швырялись бы тысячами :)))
Куда рациональность мышления у математиков уходит?..
DEN: если ещё не поняли, суть такая: найдётся бесконечная последовательность значений n такая, что sin(n)sin(n*n) больше фиксированного положительного числа. А поэтому ряд из слагаемых |sin(n)sin(n*n)|/n расходится.
18.11.2004 22:36
Bantammy
Подзадача. Посерьёзнее.
Доказать, что sup{sin(n)sin(n*n) : n целое}=1.
18.11.2004 23:02
Bantammy
(Немного ошибся)
Но смысл ясен. Будет время - потренируюсь... в нахождении максимально короткого и ясного доказательства.
21.11.2004 13:49
DEN
Это еще не факт...
Огромное спасибо за участие. Я не ожидал такого скорого ответа.
Уважаемый ИСН, мне кажется что ваше рассуждение само нуждается в доказательстве: если |sin(n)| < 0.0001, то отсюда никак не следует, что следующие 1000 номеров будут также удовлетворять этому условию.
А доказательство этого факта, на мой взгляд, ничуть не проше самой задачи. Короче, может это и правда, но пока что это совсем не строго.
Рассуждение же Bantammy неверно в принципе. И никакое "максимально короткое доказательство" он не найдет. Привожу контрпример этим рассуждениям:
ряд из 1/n - расходится. Домножим его на An такую, что An = 0, если n<> m*m и An = 1, если n = m*m (m - целое). Тогда получим ряд
SUM (1/n*n), который сходится, хотя и существует такая bn, что A(bn)>=1.
21.11.2004 14:00
DEN
Ответ Bantammy
Уважаемый Bantammy, вероятно это правда, что SUP (sinn*sin(n*n)) = 1, ибо можно показать, что множество целых чисел (и их квадратов) всюду плотно на единичной окружности. Отсюда, в частности, будет следовать, что из последовательности sin(n)*sin(n*n) можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к любому числу, по абсолютной величине меньшему 1. И стало быть, sup=1, inf=-1. Но как вы это хотите использовать для доказательства абсолютной расходимости ряда?
На самом деле абсолютную расходимось можно доказать через критерий Коши, но как - я незнаю.
21.11.2004 20:52
Bantammy
Решение (разозлили!)
DEN, ну я же написал, что ошибся. Пытаюсь исправиться. Идея фактически от ИСН, только вместо тысячи я ограничусь тремя. На этот раз, уверяю вас, я не ошибаюсь ;)

Докажем, что inf{|sin(n)sin(n^2)|+|sin(n+1)sin((n+1)^2)|+|sin(n+2)sin((n+2)^2)| : n натуральное} является положительным числом. (Отсюда будет следовать требуемое - если бы ряд из |sin(n)sin(n^2)|/n сходился, то сходился бы и ряд, полученный заменой числителя на выражение под знаком инфинума.)

Предположим противное (т.е. что указанная нижняя граница равна нулю). Тогда существует возрастающая последовательность {n_k : k натуральное} натуральных чисел такая, что при подстановке n_k вместо n в выражение под inf получается сходящаяся к нулю при k->oo последовательность. Заменив при необходимости n_k на n_k-1 либо n_k-2, можно считать, что sin(n_k)->0 при n->oo, так как хотя бы один из синусов с первыми степенями аргументов обязан сходиться к нулю; при этом остальные два синуса с первыми степенями к нулю не сходятся, поэтому должны выполняться условия

sin((n_k+1)^2)->0, sin((n_k+2)^2)->0 при k->oo.

С одной стороны, по формуле синуса разности отсюда следует, что sin((n_k+2)^2-(n_k+1)^2)->0 при k->oo. Но с другой стороны, это выражение равно sin(2n_k+3)=2sin(n_k)cos(n_k)cos(3)+sin(3)cos(2n_k). Первое слагаемое при k->oo сходится, по предположению, к нулю, а второе - к sin(3), и получаем противоречие.
21.11.2004 20:56
Bantammy
Да, как я уже объяснил,
..., это не подзадача. И, пожалуй, не намного серьёзнее. Правда, для решения надо доказать несколько более сильное утверждение, чем сделанное вами (даже если там исправить очевидную ошибку: не "множество целых чисел" и т.п., а множество комплексных чисел вида e^{in}), но задача и правда лёгкая.
21.11.2004 21:01
Bantammy
Пропущенный отрезок.
Не объяснил, почему "хотя бы один из синусов с первыми степенями аргументов обязан сходиться к нулю". В противном случае к нулю сходились бы все три синуса с квадратами аргументов, но это невозможно ввиду равенства n^2+(n+2)^2=2(n+1)^2+2 (и того, что sin(2) - не нуль).
21.11.2004 21:59
Bantammy
Решение (теперь без "злости")
Нашёл-таки ошибку в "заменив при необходимости n_k на n_k-1 либо n_k-2, ...". Для того чтобы её исправить, приходится отказаться от мысли ограничиться тремя слагаемыми. Приходится брать четыре ;) Я возьму шесть - решение ещё больше упростится, и я его приведу теперь подробно (любителям TeXа - сорри за издевательство над последним).

Итак, докажем, что X=inf{X_n : n натуральное}, где X_n=sum_{k=0}^{5}{|sin(n+k)sin(n+k)^2|, - положительное число. Отсюда будет следовать требуемое, поскольку если бы ряд \sum_{n=1}^{oo}{|sin(n)sin(n^2)|/n} сходился, его сумма оценивалась бы снизу числом X/6, умноженным на сумму ряда из 1/(n+5) (который расходится).

Предположим противное, т.е. что X=0. Тогда найдётся последовательность {n_k : k натуральное} такая, что X_{n_k}->0 при k->oo. Тогда sin(n_k+s)sin((n_k+s)^2)->0 при k->oo и s=0,1,2,3,4,5. Предположение о том, что sin((n_k+s)^2)->0 при s=0,1,2 (и k->oo), противоречиво ввиду равенства n^2+(n+2)^2=2(n+1)^2+2. По аналогичной причине противоречиво предположение о том, что sin((n_k+s)^2)->0 при s=3,4,5. Следовательно, найдутся числа p (=0,1 либо 2) и q (=3,4 либо 5), такие, что sin(n_k+p)->0 и sin(n_k+q)->0 при k->oo. Тогда sin(p-q)=sin((n_k+p)-(n_k+q))=(синус разности)->0 при k->oo. Поскольку p и q - различные целые числа, мы получили противоречие.

Ох... ну, надеюсь, в этот раз не ошибся... злиться мне меньше надо :)
21.11.2004 23:12
Bantammy
Сдаюсь, буду думать.
Иначе прослыву спамером в этих кругах.

Я неявно использовал утверждение о том, что если sin(x_k) и sin((x_k)^2) не сходятся к нулю при k->oo, то и sin(x_k)sin((x_k)^2) не сходится к нулю. Это утверждение, судя по всему, неверно... Мне надо будет подумать, как обратить логику предыдущих решений в этом отношении. Старый я, но, видимо, пока ещё по-младенчески наивный...

DEN, что я тут могу сказать - спасибо за задачу, может, простое решение и есть (постараюсь скоро выяснить), но эта задача ставит меня, так сказать, на своё место.
22.11.2004 00:25
Den, простите, Вы невнимательны (+)
(В доказательстве, конечно, нуждается - просили идею, я дал идею.)
Тысяча была с потолка, но потом я написал 0.000001, а не 0.0001, и сделал это отнюдь не случайно.
Пусть sin(n)<0.000001; сие значит, что n находится примерно за 0.000001 (или ближе) от ближайшего кратного \pi. Пусть у какого-то другого числа, побольше, та же проблема. Тогда их разность находится не далее 0.000002 от ближайшего кратного \pi. А теперь извольте взять первые 1000 натуральных чисел и посмотреть, есть ли у них шансы быть такой разностью. По-моему, у ближайшего кандидата что-то около 0.000030.
C квадратами объяснять?

22.11.2004 23:11
DEN
К Bantammy
Здравстуйте, Bantammy! Не злитесь пожалуйста!
Задача действительно сложная. Я уже думаю над ней около 2-х месяцев и не могу найти окончательное и правильное решение.
Но зато могу предложить обрывки мыслей, которые можно развить.
СПОСОБ I.
Точно известно, что абсолютная расходимость этого рядка доказывается по Коши (точнее, по отрицанию этого критерия), потому что кто-то лет 8 назад это сделал. Но кто и как - неизвестно. Я уже ломал себе голову, но с этими синусами не управился.
СПОСОБ II.
Могу предложить свою идею. Нам известно, что абсолютно сходящийся ряд можно суммировать в каком угодно порядке, при этом сумма не изменится и мы вновь получим абсолютно сходящийся ряд (теорема Коши). Известно также, что переставляя члены условно сходящегося ряда, мы можем получить ряд, сходящийся к любому числу, в т. ч и к оо (теорема Римана). ВЫВОД: для доказательства абсолютной расходимости нам достаточно найти ОДНУ перестановку ряда без модулей SUM [ sin(n) * sin(n*n) ] / n, чтобы преобразованный ряд расходился. (Конечно такая перестановка сущ., но какая???)
СПОСОБ III.
Еще одна идея. Очевидно, что если |sin(n)| < eps (за eps можно взять, например, 0.00001), то |sin(n+1)| > eps. И, стало быть, самый "плохой" расклад состоит в том, что каждый второй член ряда SUM |sin(n)| / n меньше eps (соответственно, какждый второй больше). И ряд из модулей SUM | sin(n) * sin(n*n) | / nможно оценить рядом SUM eps*|sin((2n)^2)| / 2n (не совсем корректно, но довести до ума - вопрос пяти минут, нам важна суть рассуждения). Таким образом, все сводится к доказательству абсолютной расходимости ряда SUM sin (n*n) / n, что опять можно сделать по Коши. Эта идея пришла сегодня и, наверное, ее надо развивать. Я думаю, что с рядком SUM sin (n*n) / n справиться легче.
22.11.2004 23:38
DEN
Про подзадачу
Bantammy, спасибо за участие! Я хотел здесь пояснить свои мысли по поводу sup{sin(n)sin(n*n) : n целое}=1. Я думаю все же, что сформулировал достаточные условия. Я хотел сказать следуующее:
если взять числовую ось и "наматывать" ее на единичную окружность, то в любой окрестности каждого целого на этой окружности окажется бесконечно много других целых чисел. Это и означает, что Z всюду плотно на ед. окружности. По-моему, этого достаточно, ведь мы теперь можем "вытащить" из последовательности n любую нужную нам подпоследовательность (например, сходящуюся к 0 - тогда докажем, что в sin(n)sin(n*n) есть бесконечно малая). Ну да ладно! Давайте попробуем решить исходный пример!
23.11.2004 00:01
DEN
К ИСН
Здравствуйте, ИНС!
Я, верно, не понял вашего рассуждения. Так я пытался доказать это с месяц назад. Но проблема именно В КВАДРАТАХ!
Ведь это итак очевидный факт, что если |sin n |<0.000001=eps, то |sin (n+1) |>0.000001 (и для некоторого числа последующих номеров). Но нам нужно рассматривать все неравенство вместе:
sin(n)*sin(n^2),
и доказать, что если |sin(n)*sin(n^2)| < eps => существует c < d, что |sin(n+c)*sin((n+c)^2)| > eps, где c,d - натуральные? d - !КОНСТАНТА!
для этого ряда. В частности, если мы докажем, что
|sin(n)*sin(n^2)| < eps => |sin(n+1)*sin((n+1)^2)| > eps, то все удастся.
Но судите сами - нам не хватит и 1000!!! Если n = 100, то (101)^2 = 10201. Не факт, что для 10100 значений n сохраниться неравенство |sin(101)| > eps, |sin(102)| > eps, ..., |sin(10201)| > eps. С ростом n все еще хуже, ведь мы его возводим в квадрат.
23.11.2004 00:06
DEN
Найти бы этого мужика...
Этот пример придумал Кудрявцев (задачник по мат. анализу).
Может, кто знаком с ним лично?!
23.11.2004 02:52
Ща начну злиться я.
Потому что то ли Вы не понимаете, какой у меня прочный и красивый логический мост :), то ли я в упор не вижу в нём дыры, куда провалюсь с грохотом.
Что у 999 из тысячи подряд идущих чисел будут не маленькие синусы, мы вроде показали.
Теперь к квадратам. Я говорю, что на 1000 гарантирую 500 штук не малых синусов. (Сердцем-то мы чуем, что их гораздо больше, наверное, тоже 999, но хватило бы и всего 2).
Если sin(n^2) < 0.000001, то смотрим дальше.
Если sin((n+1)^2) > 0.000001, то пропорция соблюдена - один немалый на одного малого; переходим к следующему n.
В противном случае, если sin((n+1)^2) тоже < 0.000001, то смотрите. n^2 близко к кратному pi, (n+1)^2 - тоже. Значит, их разность 2n+1 тоже близка к нулю (mod pi), с точностью до 0.000002. Отсюда (n+1)^2 + (2n+1) = n^2+4n+2, в свою очередь, близко к нулю с точностью до 0.000003, а (n+2)^2 столь же близко к 2, и синус его не мал. Накинув ещё 2n+1, получаем, что (n+3)^2 близко к 7 плюс-минус 0.000005, и его синус тоже не мал. По-моему, всё.

Угодно в Вашей формулировке (...c < d, что |sin(n+c)*sin((n+c)^2)| > eps...) - пожалуйста: Ваша константа d при достаточно малом eps равна 4.
Что-то не так?
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти