Ряд: Sum (sin(n) * sin(n*n)) / n

Привет всем! Возможно, через несколько дней докажу этот факт точно, но кажется, (n^3)*sin(n) --> oo. Слышал, что кто-то этим занимался, попробую пообщаться с этим человеком.

... и без литературы, если знать заранее нужную цепную дробь (числители и знаменатели подходящих дробей связаны друг с другом рекуррентными соотношениями, что позволяет (по крайней мере в случае числа 'e') вычислить соответствующие им производящие функции и решить задачу).

Можете в качестве упражнений начать со следующих дробей вида
a_0/(b_0+(a_1/(b_1+(a_2/(b_2+...))) (здесь x - вещественное число):

1) a_n=1; b_n=1/(n+1).
2) a_0=2x, a_n=x^2; b_0=2-x, b_n=4n+2 (n>0);
3) a_0=x, a_n=x^2 (n>0); b_n=an+b (a,b>0);
4) a_{2n}=a_{2n+1}=n+1; b_n=1.

Могу ещё целоую кучу примеров накидать. А вообще, решая такие задачи, потихоньку "втягиваешься" и начинаешь самостоятельно думать на тему "а нельзя ли подсчитать такую вот дробь?..".

Ответы сообщу позднее, если понадобится. Могу пока только сказать, что третий пример приведёт к бесселевым функциям.

Подходящие дроби - это дроби вида A_n/B_n, где
A_n/B_n=a_0/(b_0+a_1/(b_1+...+a_n/b_n)).
Конечно, A_n и B_n этими условиями определяются неоднозначно. Но известно, что годятся (A_n,B_n)=C_{n+2}, где C_0=(1,0), C_1=(0,1) и C_{n+2}=a_nC_n+b_nC_{n+1} (через (x,y) обозначен для краткости "двумерный вектор с компонентами" x,y). Это те самые рекуррентные соотношения, которые я имел в виду. Что такое "производящая функция последовательности"? Обычно имеется в виде сумма ряда со слагаемыми a_n t^n, где t - параметр функции, а a_n - данная последовательность. Однако в данном случае часто приходится в качестве a_n брать, например, не A_n, а A_n/n! или подобные вещи - что удобнее. Нахождение производящих функций в данном случае связано с рекуррентными соотношениями, которые для "простых" случаев вроде моих "упражнений" приводят к обыкновенным дифф. уравнениям на произв. функции.

Привет всем! Чтобы исследовать последовательность n^alpha*sin(n), надо сравнить меру иррациональности числа "пи" c alpha. Возможны два случая:

1. Мера иррациональности числа П меньше alpha+1, тогда последовательность сходится (к оо).

1. Мера иррациональности числа П больше alpha+1, тогда последовательность расходится.

Так как на данный момент доказано лишь, что она не превосходит 8.0161 (так что последовательность 1/n9sin(n) уж точно сходится), то мы в тупике. Можно пытаться лишь уточнять меру иррациональности пи. Боюсь, что эта задача слишком сложна.