Ассоциативность Наименьшего общего кратного...

Возможно, Вам поможет алгоритм отыскания НОК нескольких целых чисел: НОК получается как произведение всех тех различных простых, которые делят хотя бы одно из данных чисел, причем каждое простое возводится в максимальную из степеней, в которых оно все еще делит хотя бы одно из данных чисел.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 08.09.2010 23:32.

а потому я не могу судить, что Вам где-то там уже доказали, а о чем умолчали. Но, с учетом новой информации, я уверен, что Вы на верном пути.

Пример чисел 2x3 , 2x5 , 3x5 убедит Вас, что последнее предположение неверно.

Если $a={p_1}^{a_1}{p_2}^{a_2}...{p_n}^{a_n}$ и $b={p_1}^{b_1}{p_2}^{b_2}...{p_n}^{b_n}$, то $НОК(a,b)={p_1}^{max(a_1,b_1)}{p_2}^{max(a_2,b_2)}...{p_n}^{max(a_n,b_n)}$. Из чего следует, что ассоциативность НОК сводится к ассоциативности максимума, которая легко доказывается простым перебором.

Пусть $S$ - частично упорядоченное множество с отношением порядка $\le$, который обладает свойством: любые два элемента $a,\;b$ имеют СУПРЕМУМ, т.е. для них существует элемент $с$ такой, что $a\lec,\;b\lec$ и для любого $d$ , такого, что $a\led,\;b\led$, выполнено условие $c\led$ . Операцию взятия этого супремума назовем произведением и обозначим $[a,b]$ . Такая операция будет ассоциативной. Здесь есть и подсказка для доказательства в частном случае - взятия НОК или взятие НОД. Нужно доказать, что отношение делимости есть отношение частичного порядка, т.е. антисимметрично, рефлексивно и транзитивно. То, что имеются супремумы - Вам известно - это НОК.
Мне кажется, что доказательство на общем пути проще и яснее, да еще и полезнее.