уравнение окружности, проходящей через три точки

В некоторых задачниках авторы любят записывать ответы в таком матричном виде. В данном случае, насколько я понимаю, этот определитель имеет вот какой смысл: когда мы разложим этот определитель по первой строке, у нас получится выражение вида

A(x^2+y^2)+B(x+y)+C=0 (1)

то есть какая-то окружность, может быть, мнимая. Но с другой стороны, при подстановках точек (x1,y1),(x2,y2) и (x3, y3), определитель обнуляется, то есть окружность (1) проходит через эти самые точки. "Всё. Больше нам ничего не нужно", как говорит Путин.

Вроде так.

:)

Цитата
student31406
Уравнение окружности:
$(x - a)^2 +(y-b)^2 = r^2$, x^2 - 2ax + a^2 + y^2 -2by + b^2 - r^2 = 0. Переобозначим постоянные
( x^2 + y^2)k + mx + ny + p = 0
(x1^2 + y1^2)k + mx1 + ny1 + p = 0
(x2^2 + y2^2)k + mx2 + ny2 + p = 0
(x3^2 + y3^2)k + mx3 + ny3 + p = 0.
Это система однородных уравнений, неизвестные k, m, n, p ,чтобы она имела ненулевое решение ее определитель должен быть
равен нулю. Вот откуда взялся определитель равный 0.
|x^2 + y^2 x y 1|
|x1^2 + y1^2 x1 y1 1|
|x2^2 + y2^2 x2 y2 1| = 0.
|x3^2 + y3^2 x3 y3 1|

См. https://www.mathelp.spb.ru/book1/ellips.htm

Определитель, конечно, можно взять и отсюда. И, действительно, понятно, что данные три точки обнуляют предложенный определитель. Тот факт, что три точки лежат на некоторой обобщённой окружности (может быть, на прямой - окружность бесконечного радиуса), не вызывает сомнений. Но осталось доказать, что, в случае точек не лежащих на одной прямой, любая другая точка, обнуляющая данный определитель, лежит на той же окружности. Для этого необходимо, чтобы вычисленные из данной системы коэффициенты a, b, r вычислялись бы из последних трёх уравнений однозначно при условии k=1, т.е. определитель:
|x1 y1 1|
|x2 y2 1| не равен нулю. Для точек, не лежащих на одной прямой это не сложно доказывается.
|x3 y3 1|

Решение же Горчакова (Григория) вполне законченное, но с одним замечанием:
писать нужно не A(x^2+y^2)+B(x+y)+C=0 , а A(x^2+y^2)+Bx+Сy+D=0 . Коэффициенты при первых степенях могут быть не равными.