Некоторые вопросы по общей топологии

Автор темы производная 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеЗапущен новый раздел «Задачки и головоломки»29.08.2019 00:42
ОбъявлениеОткрыта свободная публикация вакансий для математиков26.09.2019 16:34
ОбъявлениеПреподаватель мехмата МГУ удостоен международной премии по математике Presburger Award28.07.2020 01:04
25.03.2003 21:41
производная
Некоторые вопросы по общей топологии
Дано R*R . Указываем топологию на нем. Открытые множества формируются так: берутся замкнутые круги с центром в (0,0) и за открытые берут дополнения до кругов.
Вопрос:
1. Является ли точка (0,0) открыто-замкнутой?
2. Является ли такое топологическое пространство связным?
3. Если мы выше указанным способом определили открытые множества, то могут ли они оказаться открыто -замкнутыми при том? Или мы тем определением исключили для них возможность быть замкнутыми?
4. Опр. Связным называется пространство, которое нельзя представить в виде объединения двух нетривиальных открыто-замкнутых подмножеств.
Задание такое: дать позитивную формулировку связного множества. Правильно ли следующее?

Мое опр. Пространство Х связно, если пересечение двух его открытых подмножеств А и В, дающих в объединении все множество Х, не пусто.
Пожалуйста, помогите, пока у меня крыша не уехала.
25.03.2003 21:52
Милая Производная, а что же Вы не спросили вовремя
1. Если среди открытых множеств Вашего пространства нет плоскости, с выкинутым началом координат, то оно (пространство) - не топологическое. Скорее всего, те открытые множества, что Вы описали, это только БАЗА топологии (и тогда все в порядке). Начало координат, очевидно, в таком случае есть замкнутое подпространство, но оно не открыто заведомо, так что не представляет собою примера открыто-замкнутого множества.
2. подумаю, но, кажется, - нет.
3. Таким определением, как у Вас, - исключили.
4. Поправка к Вашему определению: Топ пр-во связно если ЛЮБАЯ пара его открытых подмножеств, в сумме (объединении) дающих все пространство, имеет непустое пересечение. Т.е. все у Вас здесь верно.
25.03.2003 22:05
Связно
Конечно, Ваше пространство связно: в нем нет открыто-замкнутых подмножеств (грубо говоря: любое открытое подмножество содержит "всю бесконечность" (внешность некоторого круга), а дополнение к нему этой "всей бесконечности" не содержит - значит, не может быть открытым).
Если остались вопросы - пишите (а еще лучше звоните :)))
25.03.2003 23:18
дифгем
производная сказал(а) :
>
> Дано R*R . Указываем топологию на нем. Открытые множества
> формируются так: берутся замкнутые круги с центром в (0,0) и
> за открытые берут дополнения до кругов.
можно получить полное описание открытых и замкнутых множеств (нам известно что дополнения до кругов открыты, но не известно что нет других открытых множеств).
в данном случае проще отталкиваться от замкнутых.
из условия замкнутыми являются замкнутые круги.
из необх. и достат. условия замкнутости (оно получается из определения открытых множеств переходом к дополнению) замкнуты:
1) всё пространство и пустое,
2) всё что получается при пересечении произвольного набора замкнутых кругов, т.е. либо замкнутый круг (радиус равен inf радиусов исходных кругов), либо {(0,0)};
(т.е. уже имеем: всё пространство, пустое, замкн. круги и ноль.
если мы будем рассматривать пересечения наборов из этих множеств, ничего другого не добавится)
3) всё что получается при объединении конечного числа замкн.кругов и нуля, т.е. ничего нового;
итак, все замкнутые множества - это замкнутые круги, ноль и тривиальные.
все открытые: дополнения до замкн.кругов, дополнение до нуля и тривиальные.
отсюда и все ответы (1-3):
> Вопрос:
> 1. Является ли точка (0,0) открыто-замкнутой?
нет, она не открыта.
> 2. Является ли такое топологическое пространство связным?
да, т.к. нетривиальных открытозамкнутых множеств нет. (см.ниже)
> 3. Если мы выше указанным способом определили открытые
> множества, то могут ли они оказаться открыто -замкнутыми при
> том? Или мы тем определением исключили для них возможность
> быть замкнутыми?
исключили.

> 4. Опр. Связным называется пространство, которое нельзя
> представить в виде объединения двух нетривиальных
> открыто-замкнутых подмножеств.
можно упростить: пр-во связно <=> не содержит нетрив. откр.-замкн. множеств.
на самый первый взгляд мы накладываем более сильные ограничения, но нифига. допустим, пр-во X содержит нетрив. октр.-замк. мн-во A. берём X\A - оно тоже открыто-замкнуто, и X=(A объед. (X\A)) => X несвязно.
или: связно <=> не представимо в виде объединения двух непересекающихся нетрив. открытых множеств A и B. (*)
док.: представимо в таком виде <=> B=X\A также явл. открытым, A=X\B - открыто. <=> по опред. замкнутости A замкнуто, B замкнуто, т.е. A и B открытозамкнуты.

> Задание такое: дать позитивную формулировку связного
> множества. Правильно ли следующее?
> Мое опр. Пространство Х связно, если пересечение двух
> его открытых подмножеств А и В, дающих в объединении все
> множество Х, не пусто.
в такой формулировке не совсем понятно, для любых ... A и B...
или для некоторых?
если так:
связно <=> пересечение двух _любых_ его откр. подмножеств...
то верно. это переформулировка (*) (переход к лог.отрицанию).
если вместо "для любых" написать "для некоторых нетривиальных", будет более слабое свойство.
например, берём X: отрезок [-1,1]\0 (без нуля) - несвязное пр-во, топологию в X, индуцированную естественной топологией в R, и подмножества [-1,1/2)\0 (=(-3/2,1/2) пересеч. с X) и (-1/2,1]\0 - открытые, нетривиальные, с непустым пересечением (-1/2,1/2)/0, накрывающие X, но X несвязно.

если есть ещё вопросы, спрашивай...
сорри, если я где-нибудь по невнимательности слажал..
26.03.2003 12:43
производная
ответ
Alopex сказал:

> 1. Если среди открытых множеств Вашего пространства нет
> плоскости, с выкинутым началом координат, то оно
> (пространство) - не топологическое.
Как раз есть! Это плоскость с выколотой точкой. Поэтому мое пространство топологическое.

> Начало координат, очевидно, в таком случае
> есть замкнутое подпространство, но оно не открыто заведомо,
> так что не представляет собою примера открыто-замкнутого
> множества.
Можно ли так доказать, что точка замкнута?
R/{(0,0)}- открыто, поэтому (0,0) замкнута.
Если (0,0) открыта, то R/{(0,0)} замкнуто, что противоречит условию.
26.03.2003 13:00
Ответ ответу
> Можно ли так доказать, что точка замкнута?
> R/{(0,0)}- открыто, поэтому (0,0) замкнута.

Несомненно!

> Если (0,0) открыта, то R/{(0,0)} замкнуто, что
> противоречит условию.

Это не совсем хорошо, т.к. из условия "сходу" не ясно, что R\{(0,0)} не является замкнутым подмножеством. Но оно таково именно потому, что сама точка {(0,0)} не является открытым множеством (ЭТО уже ясно из условия, в котором описаны ВСЕ открытые подмножества).

P.S. А где спасибо? :((
P.P.S. А почему Вы не на занятиях? :))
26.03.2003 19:58
производная
ишо один ответ
Alopex сказал(а) :

> Это не совсем хорошо, т.к. из условия "сходу" не ясно, что
> R\{(0,0)} не является замкнутым подмножеством. Но оно таково
> именно потому, что сама точка {(0,0)} не является открытым
> множеством (ЭТО уже ясно из условия, в котором описаны ВСЕ
> открытые подмножества).

Понятно.
> P.S. А где спасибо? :((

СПА-СИ-БО-о-о-о!(долгое эхо) :)

> P.P.S. А почему Вы не на занятиях? :))
я как раз на занятиях была! ;) у нас компьютерные науки были, я все сделала и залезла в инет, мне разрешили. Только потом , через полчаса, блокировку поставили. :(
26.03.2003 20:01
производная
еще вопрос
dmitry ponomarenko сказал :

> итак, все замкнутые множества - это замкнутые круги, ноль и
> тривиальные.
> все открытые: дополнения до замкн.кругов, дополнение до нуля
> и тривиальные.

То, что само мн-во открыто-замкнуто, это ясно, но почему пустое - откр-замкн.?

> > 4. Опр. Связным называется пространство, которое нельзя
> > представить в виде объединения двух нетривиальных
> > открыто-замкнутых подмножеств.
> можно упростить: пр-во связно <=> не содержит нетрив.
> откр.-замкн. множеств.

Существует теорема:мн-во несвязно, если в нем существует нетривиальное откр-замкн подмно-во.
По-моему, то, что Вы привели это не определение, а теорема.


> или: связно <=> не представимо в виде объединения двух
> непересекающихся нетрив. открытых множеств A и B. (*)
это определение и в док-ве не нуждается. то, что ниже, на мой взгляд, просто иллюстрация.
> док.: представимо в таком виде <=> B=X\A также явл.
> открытым, A=X\B - открыто. <=> по опред. замкнутости A
> замкнуто, B замкнуто, т.е. A и B открытозамкнуты.

> > Задание такое: дать позитивную формулировку связного
> > множества. Правильно ли следующее?
> > Мое опр. Пространство Х связно, если пересечение двух
> > его открытых подмножеств А и В, дающих в объединении все
> > множество Х, не пусто.
> в такой формулировке не совсем понятно, для любых ... A и B...
> или для некоторых?
> если так:
> связно <=> пересечение двух _любых_ его откр. подмножеств...
> то верно. это переформулировка (*) (переход к лог.отрицанию).

пасиб, меня уже поправили :)


> например, берём X: отрезок [-1,1]\0 (без нуля) - несвязное
> пр-во, топологию в X, индуцированную естественной топологией
> в R, и подмножества [-1,1/2)\0 (=(-3/2,1/2) пересеч. с X) и
> (-1/2,1]\0 - открытые, нетривиальные, с непустым пересечением
> (-1/2,1/2)/0, накрывающие X, но X несвязно.

Полуинтервалы не есть откр. мн-во, по опр. Они, вообще, ни открытые, ни замкнутые.
Опр. Мн-во Х называется откр., если если любая точка этого мн-ва содержится в нем вместе с некоторой своей окрестностью.
В полуинтервале (-1/2,1] рассмотри точку 1, возьми ее окрестность. Не получается ! :(
26.03.2003 21:22
производная
и еще вопросы
Наше мн-во компактно, потому что существует конечное открытое покрытие нашего мн-ва – оно само. Верно?
Чтобы выделить счетную базу нашего пространства, делаем так: берет круги с центром в (0,0) и рациональными радиусами.
Окрестность т. (0,0) есть само множество R*R (оно, ведь, открыто).
Любое его подмножество А не является плотным (т.к. замыкание А не равно самому множеству).
Это правильно?
26.03.2003 21:23
Дмитрий, я отвечу - Вы не против? :))
> То, что само мн-во открыто-замкнуто, это ясно, но почему пустое - откр-замкн.?

Пустое множество открыто по определению, по определению же открыто и все пространство. Значит, пустое множество (как дополнение ко всему пространству) вместе и замкнуто.

> Существует теорема:мн-во несвязно, если в нем существует нетривиальное откр-замкн подмно-во.
По-моему, то, что Вы привели это не определение, а теорема.

В традиционных курсах, это - определение. Если у Вас было какое-то другое, равносильное ему, то это превращается в теорему.

> Полуинтервалы не есть откр. мн-во, по опр. Они, вообще, ни открытые, ни замкнутые.
Опр. Мн-во Х называется откр., если если любая точка этого мн-ва содержится в нем вместе с некоторой своей окрестностью.
В полуинтервале (-1/2,1] рассмотри точку 1, возьми ее окрестность. Не получается ! :(

Да получается! В топологическом пространстве, которое построил Дмитрий ничего, кроме [-1,1]\0 нет! Окрестностью 1 в этом множестве является полуинтервал (a,1] например (a>0).
Это т.н. конструкция индуцированной топологии на подмножестве топологического пр-ва.
26.03.2003 21:30
ответ на ответ к ответу :))
> Наше мн-во компактно, потому что существует конечное открытое
> покрытие нашего мн-ва – оно само. Верно?

Ой-ой-ой :((( . Что такое компактное топ. пространство. Это такое пространство, из всякого открытого покрытия которого можно выделить (выбрать) конечное подпокрытие. Ваше пространство в этом смысле очень простое - в нем существует только одно (!) покрытие его открытыми множествами - оно само! Это покрытие уже конечно (состоит из одного элемента!) и выделять ничего не надо. Значит пространство компактно.

> Чтобы выделить счетную базу нашего пространства, делаем так:
> берем круги с центром в (0,0) и рациональными радиусами.

Здесь все верно! (Если только в качестве открытых множеств Вы берете дополнения до таких кругов ;))

> Окрестность т. (0,0) есть само множество R*R (оно, ведь,
> открыто).

Несомненно. И любопытно, что других окрестностей у (0,0) нет.

> Любое его подмножество А не является плотным (т.к. замыкание
> А не равно самому множеству).
> Это правильно?

Сейчас вспомню, что такое плотное подмножество и отвечу. :)))
26.03.2003 21:38
ответы
производная сказал(а) :

> > итак, все замкнутые множества - это замкнутые круги, ноль и
> > тривиальные.
> > все открытые: дополнения до замкн.кругов, дополнение до нуля
> > и тривиальные.
>
> То, что само мн-во открыто-замкнуто, это ясно, но
> почему пустое - откр-замкн.?
по определению, пустое и всё пространство открыты. дополнение до пустого открыто - это всё пространство. след., пустое замкнуто по опр.
(Опр. Подмножество A топ. пр-ва X замкнуто <=> X\A открыто)
>
> > > 4. Опр. Связным называется пространство, которое нельзя
> > > представить в виде объединения двух нетривиальных
> > > открыто-замкнутых подмножеств.
> > можно упростить: пр-во связно <=> не содержит нетрив.
> > откр.-замкн. множеств.
>
> Существует теорема:мн-во несвязно, если в нем существует
> нетривиальное откр-замкн подмно-во.
ну да, можно и так. только, не просто "если", а "<=>".
> По-моему, то, что Вы привели это не определение, а теорема.
можно считать и так. всё равно, какое из эквивалентных условий брать за определение.

> > например, берём X: отрезок [-1,1]\0 (без нуля) - несвязное
> > пр-во, топологию в X, индуцированную естественной топологией
> > в R, и подмножества [-1,1/2)\0 (=(-3/2,1/2) пересеч. с X) и
> > (-1/2,1]\0 - открытые, нетривиальные, с непустым пересечением
> > (-1/2,1/2)/0, накрывающие X, но X несвязно.
>
> Полуинтервалы не есть откр. мн-во, по опр. Они, вообще, ни
> открытые, ни замкнутые.
это на всей оси, мы же рассматриваем подмножество.
если мы возьмём какое-нибудь подмножество X топологического пространства Y, то в качестве открытых множеств в X можно взять все открытые множества из Y, пересечённые с X. очевидно, аксиомы топ.пр-ва при этом будут выполняться. такая топология называется индуцированной.
поэтому, полуинтервалы без нуля вида (x,1]\0 или [-1,,y)\0 открыты в X, т.к. получаются пересечением интервалов (откр. множеств) вида (x,2) или (-2,y) с X.
естественно, полуинтервалы, заключенные во внутренности X (напр., [a.b), -1<a<b<0) не будут ни открытыми, ни замкнутыми, как и на прямой)
> Опр. Мн-во Х называется откр., если если любая точка этого
> мн-ва содержится в нем вместе с некоторой своей окрестностью.
( точнее, шаровой окрестностью, иначе получается масло масляное, поскольку просто окрестность точки в тополог. пр-ве - это по опр. любое откр. множество, содержащее эту точку )
но это определение задаёт открытые подмножества _всей прямой_.
чтобы получить открытые множества на подпространстве, мы должны пересечь их с этим подпространством.

> В полуинтервале (-1/2,1] рассмотри точку 1, возьми ее
> окрестность.
надо брать окрестность (в смысле опр-я для всей прямой), пересечённую с X.
(напомню, X=[-1,1]\0)
> Не получается ! :(
(1/2,1] например.
вообще, любой (a,1]\0 (при a<1).
26.03.2003 21:43
производная
Поняла, поняла...
Да,да,да!!! я согласна, поняла, большое спасибо, если еще будут вопросы - напишу.
26.03.2003 21:45
производная
пасиб
Спасибо! как все просто оказывается. :)
26.03.2003 21:48
пжалст
Всегда рады :))
26.03.2003 21:51
маааленькая поправочка ;)
> вообще, любой (a,1]\0 (при a<1).

И еще должно быть a>0 (а то и нолик захватим, что плохо).
26.03.2003 21:52
производная
Спасиб за ответы
Alopex сказал :
>
> > Наше мн-во компактно, потому что существует конечное открытое
> > покрытие нашего мн-ва – оно само. Верно?
>
> Ой-ой-ой :((( . Что такое компактное топ. пространство. Это
> такое пространство, из всякого открытого покрытия которого
> можно выделить (выбрать) конечное подпокрытие. Ваше
> пространство в этом смысле очень простое - в нем существует
> только одно (!) покрытие его открытыми множествами - оно
> само! Это покрытие уже конечно (состоит из одного элемента!)
> и выделять ничего не надо. Значит пространство компактно.

Ну, да, я это и имела ввиду, только не получилось сказать.

> > Чтобы выделить счетную базу нашего пространства, делаем так:
> > берем круги с центром в (0,0) и рациональными радиусами.
>
> Здесь все верно! (Если только в качестве открытых множеств Вы
> берете дополнения до таких кругов ;))

Да, да,да, как всегда спешу :(

> > Любое его подмножество А не является плотным (т.к. замыкание
> > А не равно самому множеству).
> > Это правильно?
>
> Сейчас вспомню, что такое плотное подмножество и отвечу. :)))
это когда замыкание подмножества совпадает со всем множеством
здесь ведь такого случая нет?
26.03.2003 22:01
Пожалуйст :)
> > Сейчас вспомню, что такое плотное подмножество и отвечу. :)))
> это когда замыкание подмножества совпадает со всем множеством

Вы хотели сказать, с пространством?

> здесь ведь такого случая нет?

Это называется: ВСЮДУ плотное подмножество. Таких у вас два по крайней мере - все пространство и все пространство без начала координат.
Вообще, похоже у Вас совсем дурацкое пространство - любое открытое подмножество его в нем всюду плотно (его замыкание совпадает со всем пространством). Сейчас еще посмотрю определения (может, я вру тут где-нибудь, давно уж общей топологией не занимался :))
26.03.2003 22:03
не понял...
Alopex сказал :
>
> > вообще, любой (a,1]\0 (при a<1).
>
> И еще должно быть a>0 (а то и нолик захватим, что плохо).
я же написал \0 (т.е. без нуля)
должно быть только a>-1, чтобы не вылезли из нашего пространства.
(a,3/2) - окрестность единицы в R => в пересечении с X=[-1,1]\0 получим (a,1]\0/
вроде всё в порядке.
26.03.2003 22:08
Да верно - это я затормозил :))
С другой стороны, Вы ведь хотели в терминах привычных полуинтервалов пояснить милой Производной окрестности единицы.
В противном же случае и это условие (как и мое):

"должно быть только a>-1"

лишнее :))) (раз мы договорились всегда брать только пересечения)
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти