Придумать функцию от 2 переменных , чтобы у неё был только один локальный минимум...

Автор темы tushka456-78 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеРекомендации по использованию теха в нашем форуме15.04.2017 21:40
ОбъявлениеПравила и принципы форума «Высшая математика»28.10.2009 15:17
ОбъявлениеВычисление параметров смешанной модели15.11.2017 16:57
03.01.2011 20:23
Придумать функцию от 2 переменных , чтобы у неё был только один локальный минимум...
Помогите решить задачу: нужно придумать функцию от 2 переменных , чтобы у неё был только один локальный минимум и только один локальный максимум, соответственно эти экстремумы будут и глобальными!



Редактировалось 1 раз(а). Последний 03.01.2011 22:56.
03.01.2011 20:38
Схема построения.
Возьмите постоянную функцию, в одном месте замените в круге ее значения на значения "шапочки вверх", а в другом круге - на значение "шапочки вниз".
03.01.2011 20:43
Описание функции
То ,что у неё будут эти "шапочки" и что концы будут стремиться к 0 или к константе , это понятно. Например, функция f(x)=x/(x^2+1) , а как её преобразовать в функцию 2 переменных?



Редактировалось 1 раз(а). Последний 03.01.2011 20:43.
03.01.2011 20:51
Так.
Замена $x \to {x^2+y^2}$. Можно справа еще и квадратный корень извлечь, но не обязательно.
03.01.2011 21:03
Пример
Цитата
tushka456-78
Помогите решить задачу: нужно придумать функцию от 2 переменных , чтобы у неё был только один локальный минимум и только один локальный максимум
Возьмите, например, такую $z=e^{-(x-2)^2-y^2}-e^{-(x+2)^2-y^2}$

Цитата
tushka456-78

соответственно эти экстремумы будут и глобальными!
Это утверждение неверно и необходимо дополнительное обоснование



Редактировалось 1 раз(а). Последний 03.01.2011 21:16.
03.01.2011 21:04
так?
т. е. f(x,y)=(x^2+y^2)/((x^2+y^2)^2+1)
03.01.2011 21:11
е?
Цитата
kitonum
Цитата
tushka456-78
Помогите решить задачу: нужно придумать функцию от 2 переменных , чтобы у неё был только один локальный минимум и только один локальный максимум, соответственно эти экстремумы будут и глобальными!
Возьмите, например, такую $z=e^{-(x-2)^2-y^2}-e^{-(x+2)^2-y^2}$

а зачем е? она сократится и получится z=-(x^2-2)^2-(x+2)^2-2y^2?
03.01.2011 21:11
Что такое "хорошо", и что такое "плохо".
Я только разъяснил Вам, как вращением сделать из функции 1-го переменного функцию 2-х переменных с похожим "графиком". Это Вы написали верно. А уж как Вы этой функцией дальше распорядитесь - я не угадаю...
03.01.2011 21:13
хорошо
Цитата
brukvalub
Я только разъяснил Вам, как вращением сделать из функции 1-го переменного функцию 2-х переменных с похожим "графиком". Это Вы написали верно. А уж как Вы этой функцией дальше распорядитесь - я не угадаю...
=))))) спасибо
03.01.2011 21:13
В архив идиотизмов!
Цитата
tushka456-78
Цитата
kitonum
.........
Возьмите, например, такую $z=e^{-(x-2)^2-y^2}-e^{-(x+2)^2-y^2}$

а зачем е? она сократится и получится z=-(x^2-2)^2-(x+2)^2-2y^2?
А вот это - просто Шедевр! (с большой буквы)!
03.01.2011 22:37
А может так проще?
$f(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2+1}$.
04.01.2011 14:22
почему?
Цитата
museum
$f(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2+1}$.

у неё же одна точка (0,0) , а det матрица 2 производных равен 0!
04.01.2011 14:46
Что Вы имели ввиду
Цитата

Tushka456-78
у неё же одна точка (0,0) , а det матрица 2 производных равен 0!

Должен возразить, у нее есть еще одна точка: $\left(1,\frac{1}{3}\right)$
А если серьезно, то очевидно, что на бесконечности эта функция равна 0, кроме того есть точки, где она отрицательна и есть точки, где она положительна. Следовательно она достигает глобального минимума и глобального максимума, каковые по совместительству еще и локальные. Вам остается доказать, что и локальный минимум, и локальный максимум - единственны. Так как функция всюду определена и всюду дифференцируема (непрерывно, кстати), то определитель из производных Вам, полагаю, и вовсе не понадобится.
04.01.2011 15:32
Такая функция?
museum Вы имели ввиду такую функцию f(x,y)=x^3+y2+1?
04.01.2011 19:26
Что я имел и имею ввиду
Цитата

А.С.Пушкин
Глухой тащил глухого

Если у Вас не отображаются формулы, то установите MathPlayer (это можно сделать по ссылке на этом же форуме: нажмите на ссылку "про тех", а в ней на MathPlayer).
То, что Вы написали, у меня в знаменателе дроби, только х там в квадрате, а в числителе просто х.
04.01.2011 23:10
....
а в каких точках у неё экстремумы?
05.01.2011 01:56
Немного теории
Так как мы уже доказали, что функция имеет глобальные минимум и максимум, то минимум имеет отрицательное значение (т.к. отрицательное значение хотя бы одно имеется, а глобальный минимум не больше его), а максимум - положительное. Т.к. функция всюду имеет частные производные, то в точках экстремума обе частные производные равны нулю. ИБО:
Если функция имеет частную производную в окрестности точки $х$ и в этой точке имеет локальный экстремум, то частная производная в этой точке равна нулю.
Точки локальных экстремумов являются решениями системы уравнений. Напишите эту систему и решите ее.
05.01.2011 14:20
=)
05.01.2011 15:51
а что, если
tushka456-78,
А для лучшего понимания ситуации подумайте над таким вопросом,
Для гладкой функции двух переменных, пусть есть ровно одна критическая точка, и она является локальным максимумом. Верно ли, что тогда это глобальный максимум?
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти