Гармонические линейчатые спектры и аппроксимация коротких процессов

Автор темы dmitriev-e-v 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеРекомендации по использованию теха в нашем форуме15.04.2017 21:40
ОбъявлениеПравила и принципы форума «Высшая математика»28.10.2009 15:17
ОбъявлениеВычисление параметров смешанной модели15.11.2017 16:57
05.01.2011 17:37
Гармонические линейчатые спектры и аппроксимация коротких процессов
Предлагаю Вашему вниманию работу из области прикладной математики и радиоэлектронной техники. Она имеет название "Гармонические линейчатые спектры и аппроксимация коротких процессов, сигналов, функций". Полный текст (около 90 стр.) содержится на сайте http://short-signal-sp.pochta.ru.

Если кратко, то в основе работы лежит постановка и решение следующей математической задачи.

Подлежит решению следующая интересная и важная задача .
Известны значения некоторой дискретной функции (процесса)
$ x_{0},x_{1},x_{2},...,x_{N-1} $ (1)
в равноотстоящие моменты времени
$ t_{0}=0,t_{1},t_{2},...,t_{N-1}. $
Выбрана аппроксимирующая ее дискретная функция в виде
$ y_{n}=A_{0}+\sum_{k=1}^{K}(A_{k}\cos\omega_{k}t_{n}+B_{k}\sin\omega_{k}t_{n}) $, $ n=0,1,2,...,N-1. $ (2)
Необходимо найти такие значения параметров
$ A_{0},A_{1},A_{2},...,A_{K},B_{1},B_{2},...,B_{K},\omega_{1},\omega_{2},...,\omega_{K}, $ где $ 3K+1\leq N, $ (3)
которые обеспечивают максимальное приближение значений
$ y_{0},y_{1},y_{2},...,y_{N-1} $
к заданной функции (1). В качестве расстояния (ошибки) можно взять традиционное выражение
$ R=\sum_{n=0}^{N-1}(y_{n}-x_{n})^2. $ (4)
Все переменные и параметры имеют действительные значения.

Важное замечание:
каждая из частот $ \omega_{1},\omega_{2},...,\omega_{K} $ необязательно должна быть кратной величине $ \Delta\omega=2\pi/t_{N} $, являющейся шагом частот в дискретном преобразовании Фурье заданной функции (1).

Таким образом, необходимо найти разложение функции (1) по неортогональным в общем случае синусоидам (гармоникам). Решение поставленной задачи может быть численным или аналитическим.

Конечно, задачу можно свести к решению системы уравнений, составленной из равенств нулю производных от (4) по параметрам (3). Тогда получится система уравнений с их числом, равным количеству параметров. Это будет трудно решаемая система сложных нелинейных уравнений, имеющая большое количество локальных неоптимальных решений. Необходимо же найти единственное оптимальное глобальное решение.

Численное решение этой задачи (простым, но трудоемким) методом статистических испытаний (или, что то же, методом Монте-Карло, методом проб и ошибок, методом случайного поиска) описано на сайте http://short-signal-sp.pochta.ru.

Наверное кто-либо может выявить новые свойства и особенности аппроксимирующей функции (2) и расстояния (4) и на их основе решить или встречал решение поставленной задачи другим способом, но с конечным числом вычислительных операций.

Дмитриев Е В (kvsj3903@yandex.ru)

Ниже более подробно представлены решаемые проблемы, результаты их решения и области применения.

АННОТАЦИЯ

Почему считается, что спектр функции sin(W*t), заданной на ограниченном временном интервале содержит иное, но не гармонику с частотой W ? В представляемой работе вводится в рассмотрение новая качественная и количественная характеристика коротких процессов - Е-спектр, состоящий из конечного оптимального набора не обязательно ортогональных гармонических составляющих. Предлагаются способы определения нового спектра. Сформулированы утверждения о возможности разложения коротких дискретных и непрерывных процессов в конечный гармонический ряд. Излагается метод эффективной аппроксимации коротких процессов, используемый при расчете нового спектра. Описываются свойства спектра, приводятся примеры.

Применение новых Е-спектров коротких процессов должно быть не менее полезным , чем спектров на основе разложений Фурье. Предлагаю участникам форума заняться исследованием вопросов, связанных с изложенными в работе проблемами.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Областью применения полученных результатов, изложенных в представляемой работе, является анализ сигналов в системах обработки информации. К таким системам могут быть отнесены радио- ирадиотехнические, радио- и гидролокационные, управления и контроля, электросвязи, телефонии. В частности результаты могут быть использованы в аппаратуре приёма, анализа и передачи сигналов и колебаний различной природы: радио-, звуковых, ультразвуковых, гидроакустических, речевых.
Выполненная работа относится к разработкам методов и алгоритмов анализа сигналов и колебаний. В ней предлагается новая область для исследований, касающаяся цифровой обработки непрерывных и дискретных сигналов. А именно предложен новый подход в описании и оценке параметров сигналов. Новизна заключается в рассмотрении и исследовании гармонических спектров и гармонической аппроксимации сигналов ограниченной длительности (коротких).

В настоящее время традиционные способы определения спектров сигналов основаны на использовании разложения функций в ряды Фурье или представления их интегралами Фурье с применением системы базисных ортогональных функций. Однако эти способы не эффективны для определенных типов сигналов (можно сказать даже для многих), тем более для коротких сигналов.
Тем не менее, насколько известно, до настоящего времени самостоятельная проблема определения спектра коротких сигналов не рассматривалась и в практическом плане не решалась. Во всяком случае, среди опубликованных, работы по данной тематике отсутствуют.
В работе обсуждаются принципиальные возможности эффективной гармонической аппроксимации и определения гармонических спектров коротких сигналов. Впервые предлагается новый метод спектрального анализа и аппроксимации аналоговых и дискретных сигналов ограниченной длительности. Для этого вводятся новые понятия: частичный естественный спектр (ЧЕ-спектр) и полный естественный спектр (ПЕ-сректр) конечного по времени процесса, содержащие ограниченный и бесконечный набор гармоник соответственно. Причем требование взаимной ортогональности на наборы гармоник не накладывается. Предлагаются алгоритмы расчета спектров, пригодные для практической реализации нового метода.

Представляемая работа выполнена по результатам изучения, анализа, расчета новых спектров и исследования их свойств.
В ней изложена элементарная теория анализа коротких сигналов, общий подход по определению их гармонических спектров. Рассматриваются особенности обработки коротких сигналов. Выявлены аспекты, полезные для синтеза и реализации алгоритмов обработки коротких сигналов с целью определения параметров их спектра. В результате проведенных исследований получены оригинальные результаты.
Дается общий обзор основных среди известных методов определения спектров сигналов. Сравниваются свойства и характеристики новых ЧЕ- и ПЕ-спектров и спектров на основе традиционных разложений Фурье. Проведен их сопоставительный анализ.
Приводится ряд конкретных приложений нового метода анализа и обработки непрерывных и дискретных сигналов ограниченной длительности. Приводятся результаты проведенных исследований в виде численных расчетов на ЭВМ спектров для различных сигналов. ЧЕ- и Пе-спектры, а также спектры с использованием других известных методов (для сравнения) представлены в виде графических зависимостей, построенных по результатам расчетов. Это дает возможность наглядно оценить практические результаты проведенных исследований.

В работе сформулированы проблемы, подлежащие решению. Основной из них является разработка аналитических или более эффективных численных методов определения нового спектра. Однако практическая реализация многих из предложенных алгоритмов в большой степени зависит от успехов в области увеличения производительности применяемой вычислительной техники.
Работа также имеет отчасти постановочный характер. Даны предложения и указаны направления по дальнейшим теоретическим и практическим исследованиям. Ряд важных проблем лишь затронут в работе и ждет дальнейшего развития и детальной разработки. Следует отметить, что многие вопросы, интересные для построения эффективных методов расчета гармонических спектров коротких сигналов, остались не рассмотренными. Имеющиеся в работе "белые пятна" должны послужить стимулом для дальнейшего продолжения начатых и проведенных научных исследований.

Работа предназначена для исследователей, специализирующихся в области приема и передачи сигналов. Она может быть использована широким кругом специалистов, занимающихся как теоретическими вопросами статистической радиотехники, так и проектированием соответствующей аппаратуры, в том числе для спектрального анализа. Практическая направленность выполненной работы должна сделать её полезной для разработчиков, занимающихся конкретными приложениями и ищущих новые эффективные методы обработки сигналов и желающих реализовать их в аппаратуре. Кроме того, её результаты могут быть использованы при обработке экспериментальных данных с целью выделения из них периодических компонент. Например, при исследовании экономических, природных, биологических циклических и колебательных процессов. Есть надежда, что работа в целом побудит интерес специалистов к проблеме определения спектров коротких сигналов.
Книга может вызвать интерес у специалистов по прикладной математике. Она ознакомит с новым нетрадиционным подходом к аппроксимации (гармонической или с использованием других систем базисных функций) коротких сигналов (финитных функций) и определению их спектрального разложения.

Можно полагать, что данная работа, являясь одной из первых по поставленным в ней проблемам, послужит толчком для продолжения исследований и для практического применения их результатов.

ВВЕДЕНИЕ

Всегда ли полезно аппроксимировать конечный отрезок функции или процесса интегралом или рядом Фурье? Почему считается, что общепринятый спектр функции sin(2pi*f*t) на ограниченном временном интервале содержит иное, но не гармонику с частотой f?
Представляемая работа посвящена введению в рассмотрение, изучению, применению и методам расчета нового типа спектра - Е-спектра коротких сигналов (ЧЕ- и ПЕ-спектров), состоящего из набора не обязательно ортогональных гармонических составляющих. Свойства такого спектра, вытекающие из данного ему определения, а также обнаруженные в результате проведенных исследований, являются основополагающими. Обсуждаются достоинства и недостатки предложенного спектра, приводятся способы его определения.

Показывается, что спектры сигналов, получаемые с использованием интегралов, рядов Фурье и дискретного преобразования Фурье являются значительно избыточными для описания коротких сигналов. А для некоторых сигналов они являются частными случаями нового Е-спектра. При увеличении длительности сигнала упомянутые спектры Фурье приближаются к новому спектру, рассчитанному для любой исходной длительности. Процедура определения параметров гармоник Е-спектра является нелинейной операцией над значениями сигнала, как функции времени. Но одновременно она есть линейное преобразование амплитуд и фаз спектральных составляющих сигнала. При использовании методов Фурье наоборот: параметры гармоник спектра являются линейными функциями от значений сигнала, но при этом параметры трансформируются в пересчитанном спектре нелинейным образом.

Рассматривается и в общем виде решается задача выделения полезного сигнала из принятого и представления его аппроксимирующей функцией, параметрами которой являются параметры Е-спектра.
Использование нового спектра и его свойств позволяет более эффективно и успешно решать задачи цифровой обработки процессов и отдельных сигналов. Предлагается метод определения гармонических составляющих сигнала, в том числе в заданном диапазоне частот, по результатам расчета Е-спектра. Рассматриваются вопросы применения нового спектра для обнаружения и различения сигналов, для фильтрации и преобразования сигналов, для аппроксимации, интерполяции и экстраполяции колебательных и апериодических процессов. Приводятся результаты расчёта нового спектра для некоторых конкретных сигналов.

Публикации:
1. Дмитриев Е.В. Гармонические дискретные спектры и аппроксимация коротких процессов, сигналов, функций // Авиакосмическое приборостроение, 2006, №3.
2. Дмитриев Е.В. Статистический последовательный метод аппроксимации и определения спектра коротких процессов, сигналов, функций // Авиакосмическое приборостроение, 2006, №11.
и др.
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти