Мое мнение, что существует. Ниже пытаюсь привести пример такого ряда:
Пусть дан ряд Абелева типа:
$\sum_{n=1}^{\infty} a_nb_n$, где
$b_n=\frac{1}{\root{3}{n}}$Последовательность
$a_n=(-2;1;1;-2;1;1 ... )$ - ограниченная. В самом деле, частичные суммы принимают только значения
$-2, -1, 0$.
Используем признак Дирихле:
Пусть выполнены условия:
* Последовательность частичных сумм
$B_n=\sum_{k=1}^n b_k$ ограничена, то есть
$\exists M>0:|B_n|\leqslant M\quad\forall n$.
*
$a_n\geqslant a_{n+1}\quad\forall n$.
*
$\lim_{n\to\infty}a_n=0$.
Тогда ряд
$\sum_{n=1}^\infty a_nb_n$ сходится.
По признаку Дирихле заданный ряд
$\sum_{n=1}^{\infty} a_nb_n$ условно сходится.
Возведем в куб все члены этого ряда. Получим ряд
$\sum_{n=1}^{\infty} a_n'b_n'$, где
$b_n'=\frac{1}{n}$Последовательность
$a_n'=(-8;1;1;-8;1;1 ... )$ - не ограниченная.
Воспользуемся сочетательным свойством условно сходящегося ряда (скобки при суммировании можно поставить как угодно) и выведем общую формулу для
$n$-го члена:
$-\frac{8}{n}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}=-\frac{8(n+1)(n+2)-n(n+2)-n(n+1)}{n(n+1)(n+2)}=-\frac{6n^2+21n+16}{n(n+1)(n+2)}$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n'b_n'=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{6n^2+21n+16}{n(n+1)(n+2)} \sim -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{6}{n}$ - ряд, полученный из гармонического умножением на
$-6$, что никак не влияет на сходимость. То есть полученный ряд расходится. Таким образом, при возведении в третью степень исходного условно сходящегося ряда, мы получили расходящийся ряд. Те же операции можно проделать для любой конечной целой степени
$p > 1$, только изначально придется брать
$b_n=\frac{1}{\root{p}{n}}$ и вычисления будут немного менее наглядны.
Редактировалось 4 раз(а). Последний 01.04.2011 22:46.
