$n$ - натуральное число. $S_n$ - множество всех натуральных чисел от 1 до $2n$ включительно.
Сколько существует подмножеств $s$ множества $S_n$, в которых уравнение $x+y=2n+1$ не имеет решений?

Я разбила множество $S_n$ на пары: $(1, 2n), (2, 2n-1), (3, 2n-2), ... , (n, n+1)$
Каждая из пар может быть либо вовсе не представленной в $s$ , либо представленной первым (меньшим) её числом, либо вторым, но не двумя сразу. Посему для каждой пары имеем ровно три варианта включения её в $s$, а поскольку пар всего $n$, ответом на задачу будет $3^n$.

Из каждой пары мы можем включить в подмножество S не более одной компоненты, то есть имеем три варианта для каждой пары. Все выборы независимы, Это и написано в решении.
hlopchyk очевидно не въехал либо в условие либо в решение,

_____________________________
Правила русского языка категорически против решения пределов, интегралов, рядов, матриц, определителей, функций, ...
..

Правильно, что $C_{2n}^2$ - это число двухэлементных подмножеств.
Правильно, что $n$ из них не удовлетворяет условию.
Правильно, что $C_{2n}^2-n$ - это число требуемых двухэлементных подмножеств.
Неправильно, что это число совпадает с числом всех требуемых подмножеств.

_____________________________
Правила русского языка категорически против решения пределов, интегралов, рядов, матриц, определителей, функций, ...
..