Теория игр. Как посчитать цену игры матрицы?

Автор темы notimeforsex 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеМатематики, программисты, репетиторов (платформа SapioX)28.01.2021 12:47
ОбъявлениеSenior lecturer in Mathematics Linkoping (Швеция)04.09.2021 23:16
ОбъявлениеПреподаватель из Тайваня выкладывает на Pornhub лекции по математике и их смотрят тысячи людей27.09.2021 00:12
31.05.2011 01:39
Теория игр. Как посчитать цену игры матрицы?
Теория игр. Пусть дана матричная игра с матрицей M порядка m х n (допустим 3*3). Решая ее симплекс методом линейного программирования, получаем цену игры V и набор стратегий двух игроков, например, (q1,q2,q3)=(1/3,1/3,1/3) и (p1,p2,p3)=(1/2,0,1/2). Фактически, только при использовании данных стратегий с данными вероятностями игроки будут находится в равновесии Неша, и любое отклонение от вероятности заданных стратегий даст преимущество оппоненту. Вопрос следующий, как собственно, посчитать изменившуюся цену игры, зная например, что игрок A со стратегиями q1,q2,q3 будет использовать их не так как рекомендовано симплекс методом линейного программирования, а по своему, скажем (0, 1/4, 3/4)? Надеюсь на ответ.
31.05.2011 11:43
хм.
согласно свойству решения матричной игры в смешанных стратегиях, цена игры не изменяется, если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, а второй игрок не выходит за рамки использования полезных стратегий (чистые стратегии, присутствующие в его оптимальной смешанной стратегии).
31.05.2011 17:08
ответ
честно говорят, нашел только вот это свойство, как на мой взгляд наиболее подходящее.
"Свойство 1. Если чистая стратегия одного из игроков содержится в спектре некоторой его оптимальной стратегии, то выигрыш этого игрока в ситуации, образованной данной чистой стратегией и любой оптимальной стратегией другого игрока, равен значению конечной антагонистической игры."
Подскажите, пожалуйста, точную формулировку свойства, про которое упомянули Вы, если я привел не то.
31.05.2011 17:40
хм
"Если один из игроков придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то выигрыш остается неизменным и равным цене игры независимо от того, что делает другой игрок, если он только не выходит за пределы своих "полезных" стратегий."

Е.С. Вентцель Элементы теории игр. М.:Физматгиз, 1961, стр. 22
31.05.2011 20:09
ответ
31.05.2011 20:10
О цене матричной игры в смешанных стратегиях
Здравствуйте, уважаемый notimeforsex!

В заданном Вами вопросе «как собственно, посчитать изменившуюся цену игры» есть некорректность. Дело в том, что цена матричной игры в смешанных стратегиях (вероятно, Вы имеете в виду именно смешанные стратегии) является для конкретной матрицы игры константой и, естественно, не может измениться (при неизменной матрице игры), какие бы смешанные стратегии (оптимальные или неоптимальные) не применяли первый и второй игроки.

Цена матричной игры в смешанных стратегиях (по-другому - значение матричной игры в смешанных стратегиях) - это математическое ожидание выигрыша первого игрока при условии, что оба игрока применяют свои оптимальные смешанные стратегии. Эта цена в Вашем примере обозначена $V$ и всегда будет (при неизменной матрице игры) равна $V$ вне зависимости от применяемых смешанных стратегий игроков.

Но, возможно, Вас интересовало иное: как изменится математическое ожидание выигрыша первого игрока, если он будет применять свою оптимальную смешанную стратегию, а второй игрок станет при этом использовать конкретную неоптимальную смешанную стратегию. Ответ на такой вопрос очень простой: математическое ожидание выигрыша первого игрока определяется по формуле $\vec{p}^T A \; \vec{q}$, где $\vec{p}$ - вектор (вектор-столбец) смешанной стратегии, применяемой первым игроком; $A$ - матрица игры; $\vec{q}$ - вектор (вектор-столбец) смешанной стратегии, применяемой вторым игроком. Эта формула справедлива для любых (оптимальных и неоптимальных) смешанных стратегий игроков.

С уважением
ingvar62
01.06.2011 19:43
ответ
Спасибо, ingvar62. Я действительно не правильно сформулировал, но Вы описали именно то, что мне нужно.
01.06.2011 20:52
Рад был помочь
Здравствуйте, уважаемый notimeforsex!

Пожалуйста! Был рад Вам помочь.

Желаю успехов в изучении теории игр.

С уважением
ingvar62
02.06.2011 17:39
непонятно
ingvar62, вы писали "как изменится математическое ожидание выигрыша первого игрока, если он будет применять свою оптимальную смешанную стратегию, а второй игрок станет при этом использовать конкретную неоптимальную смешанную стратегию". То есть при такой постановке вопроса математическое ожидание действительно изменится? Просто я сегодня был на консультации, спрашивал у преподавателя, он сказал, что мат.ожидание не изменится, если один будет придерживаться оптимальной стратегии, а второй любой смешанной. И дело здесь не в разнице понятий "цена игры" и "математическое ожидание". Вот если оба игрока отойдут от оптимальных стратегий, тогда да, меняется. Как же все-таки правильно? Когда я самостоятельно считал, получилось отклонение от цены игры примерно на 1.5%. Но это может быть погрешность вычислений (хотя наврядли). Либо я что-то неправильно изначально считал.
02.06.2011 19:56
Пример изменения математического ожидания выигрыша первого игрока
Здравствуйте, уважаемый notimeforsex!

Рассмотрим следующий пример.

Дана матрица игры
$ A=\left ( \begin{array}{rrr} 5 & 7 & 3 \\1 & 0 & 7 \\-5 & -9 & 8 \end{array}\right) $.
Вектор оптимальной смешанной стратегии первого игрока
$ \vec{p}=\left ( \begin{array}{r} \frac{3}{4} \\ \frac{1}{4} \\0 \end{array}\right ) $.
Вектор оптимальной смешанной стратегии второго игрока
$ \vec{q}=\left ( \begin{array}{r} \frac{1}{2} \\ 0\\ \frac{1}{2} \end{array}\right ) $.

Пусть первый игрок использует свою оптимальную смешанную стратегию $ \vec{p} $. Второй игрок при этом также применяет свою оптимальную смешанную стратегию $ \vec{q} $.

Тогда имеем математическое ожидание выигрыша первого игрока $\vec{p}^T A \; \vec{q} = \left ( \frac{3}{4} \; \frac{1}{4} \; 0 \right ) \left ( \begin{array}{rrr} 5 & 7 & 3 \\1 & 0 & 7 \\-5 & -9 & 8 \end{array}\right) \left ( \begin{array}{r} \frac{1}{2} \\ 0\\ \frac{1}{2} \end{array}\right ) = 4 $.

Это математическое ожидание выигрыша первого игрока равно значению игры в смешанных стратегиях $V $ (так как обе стратегии $ \vec{p} $ и $ \vec{q} $ оптимальные). Таким образом, $V =4 $.

Рассмотрим теперь такой вектор смешанной стратегии второго игрока:
$ \vec{q_1}=\left ( \begin{array}{r} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\0 \end{array}\right ) $.

Пусть первый игрок использует свою оптимальную смешанную стратегию $ \vec{p} $, а второй игрок при этом применяет свою неоптимальную смешанную стратегию $ \vec{q_1} $.

Тогда имеем математическое ожидание выигрыша первого игрока $\vec{p}^T A \; \vec{q_1} = \left (\frac{3}{4} \; \frac{1}{4} \; 0 \right ) \left ( \begin{array}{rrr} 5 & 7 & 3 \\1 & 0 & 7 \\-5 & -9 & 8 \end{array}\right ) \left ( \begin{array}{r} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\0 \end{array}\right ) = 4 \frac{5}{8} $.

Видим, что математическое ожидание выигрыша первого игрока изменилось в сравнении со случаем, когда оба игрока применяют свои оптимальные смешанные стратегии.

Этот пример показывает, что математическое ожидание выигрыша первого игрока может измениться (в сравнении со случаем, когда оба игрока применяют свои оптимальные смешанные стратегии), если первый игрок будет применять свою оптимальную смешанную стратегию, а второй игрок станет при этом использовать конкретную неоптимальную смешанную стратегию.

Проверить, что $ \vec{p} $ и $ \vec{q} $ - это оптимальные смешанные стратегии первого и второго игроков соответственно, легко. Для этого сравним минимальную компоненту вектора (вектора-строки) $\vec{p}^T A $ и максимальную компоненту вектора $ A \; \vec{q}$. Если эти компоненты равны, то $ \vec{p} $ и $ \vec{q} $ - это оптимальные смешанные стратегии первого и второго игроков соответственно.

Имеем $\vec{p}^T A = \left ( \frac{3}{4} \; \frac{1}{4} \; 0 \right ) \left ( \begin{array}{rrr} 5 & 7 & 3 \\1 & 0 & 7 \\-5 & -9 & 8 \end{array}\right ) = \left (4 \; 5\frac{1}{4} \; 4 \right ) $.

Минимальная компонента вектора (вектора-строки) $\vec{p}^T A $ равна 4.

Имеем $A \; \vec{q} = \left ( \begin{array}{rrr} 5 & 7 & 3 \\1 & 0 & 7 \\-5 & -9 & 8 \end{array}\right ) \left ( \begin{array}{r} \frac{1}{2} \\0 \\ \frac{1}{2} \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{r} 4 \\ 4 \\ 1\frac{1}{2}\end{array}\right ) $.

Максимальная компонента вектора $ A \; \vec{q}$ равна 4.

Следовательно, $ \vec{p} $ и $ \vec{q} $ - это оптимальные смешанные стратегии первого и второго игроков соответственно.

Подтвердим, что $ \vec{q_1} $ не является оптимальной смешанной стратегией второго игрока.

Имеем $A \; \vec{q_1} = \left ( \begin{array}{rrr} 5 & 7 & 3 \\1 & 0 & 7 \\-5 & -9 & 8 \end{array}\right ) \left ( \begin{array}{r} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\0 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{r} 6 \\ \frac{1}{2} \\-7\end{array}\right ) $.

Максимальная компонента вектора $ A \; \vec{q_1}$ равна 6 и не равна значению игры в смешанных стратегиях $V =4 $. Поэтому $ \vec{q_1} $ не является оптимальной смешанной стратегией второго игрока.


С уважением
ingvar62
04.06.2011 02:21
хм
Цитата
notimeforsex
он сказал, что мат.ожидание не изменится, если один будет придерживаться оптимальной стратегии, а второй любой смешанной.

преподаватель не прав. матожидание изменится в пользу игрока, придерживающегося оптимальной стратегии, если второй игрок выберет неоптимальную стратегию, в которой используются неполезные стратегии, то есть те, которые входили в его оптимальную стратегию с вероятностью 0 (т.е. не входили совсем).
27.06.2022 15:22
игры
Даже не знаю, я вообще играю в онлайн казино на реальные деньги https://slotodomcasino.com/ ведь это очень весело. Еще большой плюс игры в слоты то что получается зарабатывать много денег. Я думаю что у всех без проблем получиться заработать, ведь сложного здесь нету ничего. А для игры я рекомендую выбрать надежную площадку.
30.06.2022 10:39
Игры
Доброе утро форум, все хорошего настроение как у меня. Я вот неделю назад нашел бездепозитные бонусы от онлайн казино за регистрацию 2022 году https://gnezdoparanoika.ru/news/32396-casinoisloty.html и сразу же начал играть и знаете получается очень хорошо зарабатывать. Если кто то думает что играть в слоты сложно, то я могу смело сказать что очень легко, я за неделю и заработал и получил удовольствие от игры, так что ребята заходите и играйте.
04.07.2022 11:02
игры в казино Turbo
Думаю, что играть можно с таким анализом и в казино, я бы хотел воспользоваться данной формулой для игры на официальном сайте https://turbocasino.top/, где есть парочка интересных игр на счет, которые я бы хотел попробовать просчитать. В принципе это казино надежное, что и удерживает меня пока что на ней, выигрывать на ней также можно, потому как если бы это было не так, то оно бы давно закрылось, собственно это доказывает ее надежность.
05.07.2022 09:52
Казино Friends Casino
Привет, сейчас игры вполне могут приносить деньги. Я сам играю в азартные игры уже два года, для меня лучшее онлайн казино это официальный сайт Friends Casino https://friends-casino.com/ для игры на реальные деньги. Мне нравится, что на сайте очень быстрый вывод денег. А так же казино лицензионное и надежное. В ассортименте на сайте очень много азартных игр. А за регистрацию вы сможете получить бездепозитные бонусы на свой аккаунт.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 05.07.2022 09:53.
03.08.2022 14:22
Официальный сайт онлайн казино Vulkan Turbo.
Начал играть в Vulkan Turbo бесплатно, потому что после регистрации на этой площадке онлайн казино можно получить большое количество различных бездепозитных бонусов, поэтому, я считаю, что на официальном сайте онлайн казино Вулкан Турбо самые выгодные условия для игры на реальные деньги!
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти