Существуют ли функции f и g, удовлетворяющие равенствам

Автор темы denis (den) 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеЗапущен новый раздел «Задачки и головоломки»29.08.2019 00:42
ОбъявлениеTinkoff Business Analyst / Product Owner19.02.2021 19:06
ОбъявлениеАктуарий в PPF Life Insurance (Junior)25.03.2021 21:35
08.03.2005 22:58
Существуют ли функции f и g, удовлетворяющие равенствам
Существуют ли функции f и g, определенные на всей числовой прямой и при каждом x удовлетворяющие равенствам:

f(g(x)) = x2, g(f(x)) = x3 ?
я предполагаю что не а как доказать не знаю!!! заранее благодарен!!!
09.03.2005 00:21
Не понятные обозначения: x2 и x3 - это константы или нет?
Не понятные обозначения: x2 и x3 - это константы или нет?

Если x2 и x3 - константы, то ответ ДА:
g:=(тождественно)x3, f:=(тождественно)x2

Иначе, пожалуйста, поподробнее разъясните Ваши обозначения.
09.03.2005 00:57
подозреваю, что ...
это "икс в квадрате" и "икс в кубе" :)
09.03.2005 03:04
Енто так просто
Я так на будущее....
Я по смой звдвче не могу помочь чесно слово не знабю все-таки не гаений математики , хотя стара.сь, пиш степень в виде x^n так просто людям будет легче понять что ты имеешь ввиду понять...
Извинияй ч о помочь не смог (не смог и все такое)
:)



пишите письма
09.03.2005 13:45
да это степени
да это степени
09.03.2005 15:26
Может это и глупо...
...но если функции определить как f(что угодно)=x^2 и g(что угодно)=x^3 , то они будут удовлетворять требованиям к задаче... если конечно там чего-нить еще такого в условии...
:)



пишите письма
09.03.2005 16:30
Катюша
09.03.2005 17:22
решение
Имеем

f(x)^2 = f(g(f(x))) = f(x^3)
g(x)^3 = g(f(g(x))) = g(x^2)

Будем искать решения в виде f(x)=|x|^(log(|x|)^a) и g(x)=|x|^(log(|x|)^b).

Тогда |x|^(2*log(|x|)^a)=|x|^(3*(3*log(|x|))^a), что равносильно 2 = 3^(a+1).
Поэтому a = log(2)/log(3) - 1.
Аналогично b = log(3)/log(2) - 1.

09.03.2005 18:02
Тут глючок-с, мне кажется
Цитата

... решения в виде f(x)=|x|^(log(|x|)^a) ... a = log(2)/log(3) - 1 ...
а если log|x| <0 ? как мы его будем возводить в эту некрасивую степень?

Если же хитро определить p^q:=sgn(p)*|p|^q, то в итоге получим не x^2 и x^3, а sign(x)*x^2 и x^3.

Тут в том и загвоздка, что не проходит вынести знак наружу.
Задача f(g(x))=2x g(f(x))=3x решается с этой хитростью, f(g(x))=2+x g(f(x))=3+x даже и без хитростей.

Я думаю, что, если решение есть, оно будет использовать разбиение R на 2 непересекающихся равномощных множества или даже R/Q

09.03.2005 18:18
Ключ к решению
Является ли функция f мономорфизмом? :)



_____________________________
Правила русского языка категорически против решения пределов, интегралов, рядов, матриц, определителей, функций, ...
..
09.03.2005 19:03
Ага!
1.
f(a)=f(b) ==> g(f(a))=g(f(b)) ==> a^3=b^3 ==> a=b
f -- инъекция

2.
f(x^3)=f(g(f(x)))=(f(x))^2 (*)
рассмотрим числа f(-1), f(0), f(1).
Для каждого d из них по (*) верно d=d^2.
Т. е. все они принадлежат {0;1}. f -- Не инъекция.
09.03.2005 21:34
А что такое инъекция?
А что такое инъекция?
09.03.2005 22:11
Вот и я подумал ...
... что же такое мономорфизм? Даже подумал спросить в форуме. Но для начала всё же спросил у Яndex'а. Инъекция -- это когда у каждого элемента не более 1 прообраза. Т. е. когда f(a)=f(b) ==> a=b.
09.03.2005 23:33
я не пон
так как на счер решения один пишет что сущ другие нет :)
10.03.2005 01:50
отрицательные числа всему виной
Если ограничится, рассмотрением неотрицательных чисел, то решением будет

f(x)=x^(|log(x)|^a), a = log(2)/log(3) - 1
g(x)=x^(|log(x)|^b), b = log(3)/log(2) - 1
10.03.2005 06:31
...
Kutia енто не Катя, иначе надо было бы написать Katia...
А вот почему глупо я все-таки не понял...
:)



пишите письма
10.03.2005 12:57
а как ты нашел
ты ведь не угадал эти числа?можь кто не так понял задача может и не иметь решений просто это надо доказать!!!!!!!!!
11.03.2005 00:23
Я пишу, что нет
И объясняю это в посте "Ага!"
11.03.2005 13:48
Объясни пожалуйста поподробнее
Объясни пожалуйста поподробнее
11.03.2005 23:27
с чего ты взял
пункт 1 объясни
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти