29.03.2005 12:03 Дата регистрации:
7 лет назад Посты: 935 | Контрпример Цитата
Владимир Кицис писал(а) :
Ф-ция g(f(x))=x**3 взаимно-однозначна, откуда от противного следует, что ф-ции f,g обе взаимно-однозначны.
Отсюда легко следует только инъективность f, а для g уже не получится: f(x) = arctg x g(x) = tg^3 x, если |2x|< pi, в противном случае задаем g совершенно произвольно, хотя бы и так: g(x)=x при |2x|>= pi Тогда g(8)=g(arctg2)=8.
|
29.03.2005 12:13 Дата регистрации:
7 лет назад Посты: 935 | Сколько шуму после драки! :) Ну это так - присказка. Никакой драки конечно не было, а решение уже давно здесь лежит. 1) Для исходной формулировке см. Ага! от 9.03 (ljoha) 2) Для случая, когда f и g определены на положительных числах см. Отрицательные числа всему виной от 9.03 (maxal) 3) Последний случай легко распространяется на функции, определенные на множестве неотрицательных чисел. Достаточно определенные по maxal'у функции доопределить, полагая f(0)=g(0)=0. В продолжении этого ряда путем изменения областей определения большого смысла не вижу. Некогда посидеть плотно, но интуитивно чувствуется, что точки -1, 0 и 1 играют здесь особую роль, особенно 0 и эффект здесь чисто алгебраический без всяких топологических штучек. _____________________________ Правила русского языка категорически запрещают решать пределы, интегралы, ряды, матрицы, определители ...
|
29.03.2005 18:27 Дата регистрации:
7 лет назад Посты: 17 | Простите, но... Однако инъективность g суженного на область значений f отсюда следует – а это все что надо для решения задачи.
|
29.03.2005 19:56 Дата регистрации:
7 лет назад Посты: 3 | Признаю ошибку... Ошибку свою понял. Спасибо, что объяснили. Ваше решение тоже понял, хотя у Ljoh'и было более побдробно. Насчет однозначных функций спросил у Яndex'а и получил следующее определение: "однозначная функция - функция, принимающая для каждого значения аргумента лишь одно значение". Это определение верно? Тогда, как я понимаю, однозначная функция и инъекция - это одно и то же, или нет?
|
30.03.2005 08:50 Дата регистрации:
7 лет назад Посты: 17 | Отнюдь не простое решение задачи. Я говорил о взаимно-однозначной функции. Это когда два разных аргумента всегда дают два разных значения функции. Но я сам не знаю уже... Дело в том, что мое простое решение неверно. Из взаимной однозначности g(f(x)) следует взаимная однозначность f и взаимная однозначность g[Im f , т.е. g суженного на образ f. Дальше действуем так. Рассматриваем f(g(f(x)))=f(x**3)=f**2(x), откуда следует что f не взаимно-однозначна. Получили противоречие. Задача решена, но отнюдь не просто.
|
30.03.2005 12:18 Дата регистрации:
7 лет назад Посты: 935 | То есть... не станете же Вы утверждать, что от x^3 можно взять только инъективность, а от x^2 - неинъективность? Пусть f инъективно отображает числовую ось на ее неотрицательную часть, и пусть g(x)=|x|. Первоначально я тоже в этом направлении глючил, пока не плюнул и к принципу Дирихле не обратился - см. пост Ага! Прежний контрпример снимается - это была придирка к неточности, ровно той же самой, какая была и у меня: в посте Ключ к решению я говорил о мономорфизме, имея в виду отображение из Dom на Range. Задачка, вроде и несложная, но очень глючная - проверено на многих знакомых, в том числе и занимающихся анализом. В какие только дебри не забирались, даже после обнаружения "ключа".
|
30.03.2005 14:55 Дата регистрации:
7 лет назад Посты: 17 | Согласен, задачка симпатичная Согласен, задачка симпатичная и без алгебры задачи в решении не обойтись. Вот если бы было указано, что одна из ф-ций непрерывна – можно было бы обойтись без алгебраических наворотов, а так...
|
01.04.2005 01:04 Дата регистрации:
7 лет назад Посты: 17 | Новая задача – кстати... Кстати, интересно было бы выписать полиномиальные ряды из ортогональных многочленов для суперпозиции интегрируемых по Лебегу функций с интегрируемым квадратом.
|
01.04.2005 01:12 Дата регистрации:
7 лет назад Посты: 17 | Должен извиниться... Должен извиниться – но мое простое решение неверно, т.к. g взаимно-однозначно лишь на области значений f .
|
03.04.2005 14:18 Дата регистрации:
7 лет назад Посты: 1 | Школьное решение есть Но совесть, батенька, иметь-то нужно! Сейчас весь интернет сидит и списывает решения этой задачки из "Воробьевых гор". Гуглом народ пользоваться уже научился.
|
03.04.2005 14:40 Дата регистрации:
7 лет назад Посты: 37 | Меня просто друг попросил решить... Меня просто друг попросил решить и все а мне твои воробьевы горы ничего не говорят я вообще на втором курсе ВШЭ учусь.
|
