Как доказать что Борелевские множества измеримы по Лебегу?

Лебег умеет мерить интервалы вида [a,b), и ещё его мера счётно-аддитивна => он умеет мерить всю сигма алгебру, порождённую [a,b) - а это и есть борелевская.

Цитата

Николай писал:
есть множ-ва в Борелевской сигмы алгебры которые одим счётным пересечением не выразятся (например канторово множ-во)

Канторово множество (как и любое замкнутое) можно представить как счётное пересечение интервалов.
1. Интервал можно представить как счётное объединение сегментов.
2. Открытое - счётное объединение интервалов.
3. Из 1 и 2: открытое можно представить как счётное объединение сегментов.
4. Из 3 (переходим к дополнениям): замкнутое можно представить как счётное пересечение интервалов.

Николай писал:

Цитата

пересечением открытых каторово не получить

Каторово может и не получить, но каНторово сейчас получим.
K - канторово множество. K=П(K_n), где K_n - объединение 2^n отрезков (K_1=[0;1/3]U[2/3;1], K_2=[0;1/9]U[2/9;1/3]U[2/3;7/9]U[8/9;1] и т.д.). Каждый отрезок [a;b] представляется в виде счетного пересечения интервалов, поэтому конечное объединение отрезков (например, n отрезков) получается как пересечение конечных объединений интервалов (n интервалов), т.е. как счетное пересечение открытых. => K_n=ПI_k, I_k - открыто. => K=ППI_k=ПJ_k, J_k - открыты.

наконец нашел нужную информацию, если не профан, то должен разобраться , читай книгу Александров К. "Общая топология. Основы теорий множеств "(или чего-то в этом духе) у него 2-ве книги по топологии думаю там разберёшся , но название длинное как минимум из двух предложений