Элементарное доказательство ВТФ

Автор темы ruslan (victor sorokine) 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеРаботодателям и кадровым агентствам: Размещение вакансий26.03.2008 03:07
ОбъявлениеОткрыта свободная публикация вакансий для математиков26.09.2019 16:34
ОбъявлениеГранты для студентов и аспирантов мехмата и физфака МГУ на обучение в магистратуре Кембриджа 2023/202428.11.2022 13:56
24.04.2005 12:02
Публикация доказательства ВТФ в pdf
Публикация доказательства ВТФ в pdf:

см. http://fox.ivlim.ru/docs/vtf.pdf



vs
24.04.2005 16:40
продолжим
В 1.3 вы определяете u и показываете, что u_{k+1} = 3 (это, насколько я понял, достигается за счет того, что равенство u = a+b-c = n^k*\nu было получено домножением некторого другого равенства на число d_1). Тогда что такое u*'_{k+2} в равенстве 1.11? что это за звездочка? я не вижу, чтобы где-то выше по тексту было определено u*. Если вы хотите сказать, что u* получается умножением u на d_1, то тогда наверное именно u*_{k+1} = 3, а не u_{k+1}. В общем, наблюдается некоторая путаница обозначений. Что-то со звездочкой, что-то без. Вообще, (это лично мое мнение) гораздно читабельнее было бы без звездочек.
24.04.2005 21:18
О символе *
В пояснении к формулам (1°) и (1*°) указано (и, как мне казалось, достаточно ясно), что символом "*" «обозначены числа в равенстве 1° после умножения равенства (1°) на…» сомножитель d^n и, добавлю теперь, после ЗАВЕРШЕНИЯ всех вычислений, т.е. после приведения нового уравнения (1*°) к каноническому виду.
Следовательно, числа (или выражения) a*, u*, u*', U* и т.д., обозначенные ЗВЕЗДОЧКОЙ (*), имеют то же содержание, что и числа a, u, u', U и т.д., но только в равенстве (1*°).
В доказательстве фигурируют два равенства, которые необходимо записать либо другими буквами (e, f, g, p, P, где e=11a, f=11b и т.д.), либо теми же буквами, но со зведочкой. Я выбрал второй вариант, ибо первый существенно увеличивает объем текста. Как Вы думаете, есть ли смысл переделывать текст и станет ли он более читабельным от записи равенства другими буквами?

О числах u'' и u*''.
По моему определению: u''_{k+1} = (a_{k+1} + b_{k+1} - c_{k+1})_1, u*''_{k+1} = (a*_{k+1} + b*_{k+1} – c*_{k+1})_1.

u* получается умножением u на d_1, после чего цифра u_{k+1} становится u*_{k+1} = 3.



vs
25.04.2005 00:18
О символе - вдогонку
После получения цифры 3 буквы, входящие в равенство 1°, не меняются. Противоречие обнаруживается между последним равенством 1° и равенством, полученным после умножения чисел a, b, c на 11.
V.S.



vs
26.04.2005 02:52
Улучшенная БЛОК-СХЕМА доказательства
1) Определение числа u [u = a + b – c];
2) Определение числа k [число последних нулей в u];
3) Превращение числа u_k+1 в 3 [перестраховка; при u_k+1 = 2 доказательство работает для всех простых n > 2];
ВНИМАНИЕ! После этой операции обозначения чисел не меняются и равенство продолжает идти под тем же номером (1°);
4) Обозначение: u_k+1 = v_1 = 3;

5) Разложение чисел a, b, c на слагаемые [a = a' + a'' = a_(k) + (a – a_(k)); и т.д.];
6) Определение числа u' [u' = a' + b' – c' = a_(k) + b_(k) – c_(k)];
6а) К сведению: ни одно из чисел a’, b’, c’ не равно нулю, (a_(k) + b_(k) – c_(k))_(k) = 0; следовательно, u’_k+1 = 0 или 1 (важно!!!);
7) Определение числа u'' [u'' = u – u'];
8) Лемма: u' + u'' = u;
9) Разложение числа v_1 [v_1 = u_k+1 = 3 = u'_k+1 + u''_k+1 = v'_1 + v''_1; v''_1 * 0!!!];
10) Лемма: u''_k+1 * 0;

10) Умножение равенства 1° на 11^n;
11) Умножение чисел u, a, b, c на 11 и запись результатов u*, a*, b*, c* в канонической форме;

12) Разложение чисел a*, b*, c* на слагаемые [a* = a*' + a*'' = a*_(k) + (a – a*_(k)), …];
13) Определение числа u*' [= a*' + b*' – c*' = a*_(k) + b*_(k) – c*_(k)];
14) Определение числа u*'' [= u* – u*'];
15) Лемма u*' + u*'' = u*;

16) Вычисление цифры u*_k+1 [= u_k+1 = v_1 = 3];
17) Вычисление цифры u*'_k+1 [= v'_1];
17а) К сведению: ни одно из чисел a*’, b*’, c*’ не равно нулю, (a*_(k) + b*_(k) – c*_(k))_(k) = 0; следовательно, u*'_k+1 = 0 или 1 (важно!!!);
18) Вычисление цифры u*''_k+1 [= (u*_k+1 – u*'_k+1)_1 = (3 – u*'_k+1)_1 = 3 или 2];
19) Вычисление цифры u*_k+2 [= (u''_k+2 + u_k+1 )_1 = u''_k+2 + 3)_1];
19а) К сведению: u*'_k+2 = 0;
20) Вычисление цифры u*''_k+2 [= u*_k+2 = (u''_k+2 + 3)_1];

21) Определение числа U' [U' = (a_k+1)^n + (b_k+1)^n – (c_k+1)^n];
21а) К сведению: U'_(k+1) = 0;
22) Определение числа U*' [U*' = (a*_k+1)^n + (b*_k+1)^n – (c*_k+1)^n];
23) Определение числа U'' [U'' = (a^n + b^n – c^n) – U'];
24) Определение числа U*'' [U*'' = (a*^n + b*^n – c*^n) – U*'];
25) Лемма: U_(k+2) = U'_(k+2) = U''_(k+2) = U*_(k+2) = U*'_(k+2) = U*''_(k+2) = 0;
26) Следствие: (U'_k+3 + U''_k+3)_1 = (U*'_k+3 + U*''_k+3)_1 = 0;
27) Вычисление цифры ((11^n)U')_k+3 [= U'_k+3 = (U*'_k+3 + (11u')_k+2)_1 = (U*'_k+3 + u'_k+1)_1 = (U*'_k+3 + v'1)_1];
28) Вычисление цифры U*'_k+3 [= U'_k+3 – v'_1];
29) Вычисление цифры U*''_k+3 [= u*''_k+2 = (u''_k+2 + v_1)_1 = (U''_k+3 + v_1)_1];
30) Вычисление цифры ((11^n)U)_k+3 [= 0 = U*_k+3 = 0 = (U*'_k+3 + U*'_k+3)_1 = (U'_k+3 – v'_1 + U''_k+3 + v_1)_1 = (v_1 – v'_1)1 = v''_1, что противоречит 9)].



vs
29.04.2005 13:49
Верно,
но никакое это не открытие, а весьма простенькая задачка для студентов, начинающих изучать теорию чисел.

И вообще, если p=1+(2^k)*m, где m нечетно, то аналогичное множество состоит из 2^k чисел
rest{g^(mt)}, где rest{a} - это остаток от деления а на р, а g - первообразный корень по mod p, то есть g^k - g не делится на p при k<p. (Такое g гарантированно существует для любого простого p, впрочем есть и не простые с этим свойством к примеру 9 или 250, ...).

Более того, выражаясь Вашей терминологией, любой элемент указанного множества начиная с k-го последовательного возведения в квадрат (некоторые могут и раньше) будут иметь единицу последней цифрой в системе счисления с основанием p.

Для случая p=97 имеем k=5, g=5, m=3 и это множество будет следующим:

{1,8,12,18,19,20,22,27,28,30,33,34,42,45,46,47,50,51,52,55,63,64,67,69,70,75,77,78,79,85,89,96}

PS. А чем Вам не нравится число 5? Ведь любое число из {1,2,3,4} начиная со 2-го возведения в квадрат будет иметь 1 на последнем месте в системе счисления с основанием 5. Для р=17 будем иметь 16 таких чисел, а для 257 еще круче - 256, к тому же числа Ферма, как-никак ...
Если исходить из принципа, чем большее, тем лучшее (в процентном содержании), то от 250 толку мало - всего-то навсего 4 числа с него получим.



_____________________________
Правила русского языка категорически против решения пределов, интегралов, рядов, матриц, определителей, функций, ...
..
30.04.2005 01:48
Спасибо + 2 вопроса
Уважаемый bot,
Спасибо за подарок – множество из 32-х цифр (приобщаю его к своей коллекции). Обозначу его буквой D.
Насколько просто Вы его вычислили? С помощью компьютера?
Но Вы будете немало удивлены, если узнаете, что тем самым вы доказали значительную часть – грубо говоря, четверть – ВТФ (того самого, что опубликовано в 1991 г. в «Науке Урала»). Вторая четверть – это показать, что из цифр множества D нельзя составить равенство d1 + d2 = d3. (Следовательно, одно из цифр d1, d2, d3 должна быть нулем, а число abc в равенстве Ферма должно делиться на простое р. Мое доказательство этой части заняло полторы страницы формата А4 размером 12. Оно состоит из восьми лемм. Возможно ли короче?
А вот вторую половину ВТФ мне доказать не удалось. Это лемма о бесконечности множества D, которая, как я недавно узнал, была как будто доказана Дирихле еще 150 лет тому назад. Об этом в ближайшее время я расскажу на сайте http://fox.ivlim.ru/
С наилучшими пожеланиями
Виктор



vs
30.04.2005 09:50
Благодарю покорно
Не надо меня в ферманьки записывать. :)

Цитата

victor sorokine писал:
Уважаемый bot,
Спасибо за подарок – множество из 32-х цифр (приобщаю его к своей коллекции). Обозначу его буквой D.
Насколько просто Вы его вычислили? С помощью компьютера?

Да какой там компьютер! Я уж и не помню, когда в последний раз им пользовался для таких целей.

Цитата

Но Вы будете немало удивлены, если узнаете, что тем самым вы доказали значительную часть – грубо говоря, четверть – ВТФ (того самого, что опубликовано в 1991 г. в «Науке Урала»).

Не знаю такого журнала. Говорю же, что это простенькая задача для начинающих. Вычисляется по таблицам индексов быстрее, чем набирается клавишами.

Цитата

Вторая четверть – это показать, что из цифр множества D нельзя составить равенство d1 + d2 = d3. (Следовательно, одно из цифр d1, d2, d3 должна быть нулем, а число abc в равенстве Ферма должно делиться на простое р. Мое доказательство этой части заняло полторы страницы формата А4 размером 12. Оно состоит из восьми лемм. Возможно ли короче?

Можно короче: в множество D входят 1,18 и 19, поэтому это утверждение ложно.

Цитата

А вот вторую половину ВТФ мне доказать не удалось. Это лемма о бесконечности множества D, которая, как я недавно узнал, была как будто доказана Дирихле еще 150 лет тому назад.

Минуточку, изначально D является подмножеством конечного множества и бесконечным быть не может. Или Вы имеете в виду, что для нас несущественно само число, важен остаток от его деления на 97? Ну тогда это очевидно - любое х из D произведет бесконечную серию чисел вида х+97у.

Цитата

Об этом в ближайшее время я расскажу на сайте http ://fox.ivlim.ru/

Может лучше не надо?

Вообще все кавалерийские наскоки без должной подготовки на ВТФ обречены на провал - здесь уже толпы прошли и любителей и профессионалов. В частности, если пытаться это сделать с помощью остатков от деления на какое-нибудь число (простое или нет не имеет значения), то тут заведомо доказательства быть не может, так как в кольцах вычетов ВТФ ложна.
Конечно любителей интригует его запись на полях, однако нужно еще помнить, что Пьер Ферма был великим путаником - среди его утверждений было немало ложных, а доказательства многих верных были ошибочны.
Вот, к примеру, возьмем простые числа Ферма - не их ли он положил в основу доказательства?
Кстати, если p - простое число Ферма, то в этом случае Ваше D состоит из всех целых чисел, не кратных р. Знать бы еще сколько их.



_____________________________
Правила русского языка категорически против решения пределов, интегралов, рядов, матриц, определителей, функций, ...
..
01.05.2005 07:49
Игру на внимание я проиграл :)
Какой шут мне единицу слагаемым в показатель формулы g^{mt} вставил?
Впрочем, помню, сказали: - давай кончай, заседать пора...
Вот из-за этой единички не в те столбцы таблицы индексов смотрел, когда D набирал. Наверно и не спохватился бы, если бы не заметил отсутствия числа 96 в D, а оно очевидно там должно быть.

Вношу необходимые исправления в предыдущие сообщения.
Суть остается прежней.

PS. Замените D в Вашей коллекции. :)



_____________________________
Правила русского языка категорически против решения пределов, интегралов, рядов, матриц, определителей, функций, ...
..
01.05.2005 09:06
вопрос
Кстати, а почему док-во в цвете ? Это чтобы читателя стошнило при чтении ?

01.05.2005 11:57
60 очков, не меньше
Гастрит уже не вернётся, придётся мне хоть половину подсчитать...

Цитата

ИНТУИТИВНО чувствуемый подвох (из-за чего я сам
потерял несколько лет)

7. 5 очков за каждое слово, выделенное заглавными буквами, если дело не в неисправной клавиатуре.
11. 10 очков за начало описания теории с того, как долго автор её разрабатывал.

Цитата

разрешается очень просто: буква «u» только численно
равна a+b-c, но НЕ ЕСТЬ a+b-c! «u» есть
арифметическое выражение, или НЕВЫПОЛНЕННОЕ
суммирование трех чисел.

7. 5 очков за каждое слово, выделенное заглавными буквами, если дело не в неисправной клавиатуре.
14. 10 очков за каждый изобретённый и используемый термин, которому автор не дал точного определения.

Цитата

Не знаю, использовалась ли когда-либо эта идея в
математике. И не это ли обстоятельство так восхитило
П.Ферма?

28. 30 очков за предположение о том, что в последние годы жизни Эйнштейн уже близко подошёл к идеям, которые сейчас высказывает автор.

02.05.2005 11:25
К сожалению, Ваш подарок с дефектом
Уважаемый bot,
Вы испугались, что владеете информацией, которая может быть применена в заведомо «несуществующем» доказательстве ВТФ?!

К сожалению, я поспешил принять Ваш подарок - он ошибочен: в составленное Вами множество D = {1, 43, 40, 53, 29, 36, 38, 94, 13, 73, 7, 2, 56, 16, 60, 31, 92, 54, 57, 44, 68, 61, 59, 3, 84, 24, 90, 95, 41, 81, 37, 66} входит цифра 2, чего, как следует из доказательства леммы 1, быть не может. Но главное число 2^32 оканчивается не на 1, а, если не ошибаюсь, на 35; к тому же, если в D входит цифра 2, то там должны находиться и цифры 4, 8, 16, 32, 64, кои там отсутствуют. Так что ищите ОШИБКУ.

В предыдущем своем тексте я говорил о бесконечности, конечно же, не множества D, а множества простых чисел р вида k x 2^n + 1. (Если бы Вы заглянули в последующую тему в форуме, то без труда понялили бы, что я сделал описку.)

По поводу «не надо».
А вдруг это кому-нибудь НАДО?!

О путаниках.
Существуют два типа мышления: «вычислительный» или «инженерный» и «творческий» или «изобретательский». Ошибки у первых – нежелательное явление, непростительный грех; ошибки у вторых – важный элемент поиска нестандартных ходов. Возможно, все гениальные ученые и изобретатели были очень рассеянными людьми и путаниками. Кстати, Э.Уайлс тоже ошибался.

Формула простого числа родилась у Ферма в результате очень красивого симбиоза его малой теоремы и сита Эратосфена в применении к геометрическим (точнее, псевдогеометрическим) рядам. Ошибка в формуле простого числа очень незаметна, и ее происхождение легко объяснить психологически.



vs
02.05.2005 11:28
Вы не проиграли, а выиграли
В данном случае Вы не проиграли, а выиграли:
ЦИФРА 96 действительно должна входить в D.

Желаю выиграть еще раз и объяснить, как в множество D попала цифра 2 (см. также мой предыдущий ответ Вам).



vs
02.05.2005 11:30
Сильного читателя тошнит от скуки
Сильного читателя тошнит от скуки.



vs
03.05.2005 09:50
тест на внимание
Теперь Вы невнимательны. Я уже писал о причине сбоя и о том, что необходимые исправления в мои посты внесены. В частности, множество D исправлено и если Вам оно все еще нужно для коллекции, то замените прежнее на исправленное. В исправленное D число 2 не входит.
Я не стану объяснять, как D получается - это действительно очень простое упражнение для начинающих и требует лишь внимания, чтобы не сбиться в столбцах таблицы индексов, что и произошло в тот момент, когда набирал ответ. Предлагаю Вам самому убедиться без всяких таблиц в том, что 1, 18 и 19 входят в D. Это можно сделать даже простым калькулятором:

1 - очевидно лежит в D.

18^2 = 324, 324-97-97-97=33,
33^2 = 1089, 1089-970-97=22,
22^2 = 484, 484-485=-1,
(-1)^2 = 1.

19^2 = 361, 361-97-97-97-97=-27,
(-27)^2 = 729, 729-970+97+97+97= 50,
50^2 = 2500, 2500-970-970-485-97=-22,
(-22)^2 = 484, 484-485=-1,
(-1)^2 = 1.

И эта тройка (1,18,19) далеко не единственная. Можете сами поискать остальные.

PS. Если Вас напрягает то, что я в интересах упрощения вычислений допускал отрицательные числа, то можете при проверке этого не делать - вместо -22 берите -22+97=75, результат будет тот же.



_____________________________
Правила русского языка категорически против решения пределов, интегралов, рядов, матриц, определителей, функций, ...
..
04.05.2005 01:56
Отлично
1. Я не знал, что участники форума могут вносить изменения в уже опубликованный текст: новое D я нашел на месте первоначального, возвращаться к которому не собирался.
2. Вы правы. Дважды проверил Ваши расчеты: все сходится. Не понимаю, почему сходится. Попытаюсь объяснить, почему не понимаю. Множество квадратных корней из цифры 1 в счислении с основанием 97 равно D1 = {1, -1}, или {1, 96}, множество корней 4-й степени D2 = {1, 96, x, y}, и т.д. Каждое предыдущее D входит в последующие. Из элементов D1 составить равенство d1 = d3 - d2, очевидно, нельзя. Легко показать (возводя равенство в квадрат, а затем еще раз в квадрат), что и из элементов D2 тоже нельзя. Подобным образом можно показать (причем как будто без к-л неопределенности), что равенство возможно только для последнего D и только для n, являющихся числами Ферма. Так что Ваш результат загадочен и интересен. После завершения обсуждения последнего док-ва ВТФ с удовольствием вернусь к D – эта тема достойна развития.
3. Нуждаюсь в Вашей помощи:не могу логически ясно решить следующую головоломку из арифметики для 2-го класса.Требуется найти сумму d = a + b – c (в десятичной системе счисления) при условии:1. d оканчивается на три нуля.2. Каждое из чисел больше нуля, но меньше 1000.
Ответ как будто есть: 0 или 1000. Прав ли я?



vs
04.05.2005 07:27
Ндась,
и с таким багажом Вы штурмуете Великую Теорему? ;) И даже облом в существенной части Ваших рассуждений Вас не смущает. :)
Да в общем-то, все нормально - это одно из отличительных качеств ферманьяков.

Цитата

victor sorokine писал(а) :
Не понимаю, почему сходится. Попытаюсь объяснить, почему не понимаю...
Легко показать (возводя равенство в квадрат, а затем еще раз в квадрат), что и из элементов D2 тоже нельзя.

Да возьмите вместо 97 число поменьше - 5, к примеру. Чем оно хуже числа 97?. В этом случае D=D2={1,2,3,4}. Может быть Вы в квадрат возводить не умеете?
Предупрежу упрек в невнимательности - каюсь, действительно не сразу заметил, что 5 и вообще все числа Ферма у Вас исключение. А 97 не число Ферма, но Вы надеетесь, что оно единственное в этом роде?.
Уверяю - нет. Возьмем 193. Для чисел > 100 у меня нет под рукой таблицы индексов, так что пришлось потратить минут 15 для ручных вычислений столбиком - все компы заняты были.
Проверяйте: 1, 43 и -42 входят в D.
Вот чуток подумать на досуге и бесконечную серию таких исключений, уверен, сотворить можно.

Цитата

Не могу логически ясно решить следующую головоломку из арифметики для 2-го класса. Требуется найти сумму d = a + b – c (в десятичной системе счисления) при условии: 1. d оканчивается на три нуля. 2. Каждое из чисел больше нуля, но меньше 1000.
Ответ как будто есть: 0 или 1000. Прав ли я?
Так как все три числа положительны и меньше 1000, то -1000<d<2000. Впрочем, поскольку операция вычитания для второкласника определена лишь частично, то d>=0. Считать ли 0 ответом или нет, зависит от того, дозволено ли второкласнику записывать нуль в виде 000 или нет. В условии об этом не сказано. Остается с необходимостью лишь d=1000. Его реализуемость в требуемом виде очевидна.



_____________________________
Правила русского языка категорически против решения пределов, интегралов, рядов, матриц, определителей, функций, ...
..
05.05.2005 11:40
Полдела сделано
Уважаемый bot,
Высказываюсь подробно по каждому затронутому Вами вопросу.

1. О «багаже». В моем багаже есть такая редкая аксиома, как: «Любое утверждение истинно с некоторой степенью вероятности». Это значительно важнее и сильнее любого числа жестких фактов (в частности, такого, как «Элементарное док-во ВТФ отсутствует»). Поэтому к любому факту я отношусь с определенной долей сомнения и считаю, что с большой степенью вероятности могу ошибиться в элементарных расчетах (что и случалось не раз). Поэтому для суммы трех чисел из предыдущей задачи я взял более широкие границы, для чего потребовалось исключить из доказательства ВТФ случаи степеней 3 и 5 и последнюю значащую цифру в числе u = a + b – c превратить в 3 (хотя теперь, после подстраховки Вашим решением задачки, можно превратить указанную цифру в 2, и тогда док-во ВТФ будет справедливым и в отношении степеней 3 и 5).

2. О «штурме». Штурм уже как будто закончился. Теперь испытаниям подвергнутся те, кто первым признает доказательство верным; теперь не меня, а их сочтут «чокнутыми».

3. О «маньяках» я уже говорил ранее.

4. Об n = 5 и прочих числах Ферма. В моей лемме их рассмотрение могло бы понадобиться только для ВТФ в случае степени 4; но для док-ва ВТФ отказ от этого случая несущественен. Однако нет смысла углубляться в проблему, пока я не разобрался с цифрами 1, 18, 19 для n = 97. (Замечу, что я не собираюсь делать карьеру в математике. Так что если будет время, поделюсь идеями.)

5. О «головоломке». Незаметно-незаметно Вы проверили самую трудную часть док-ва ВТФ («головоломку»), ибо умножение двузначных чисел на 11 – дело совсем уж простое. Так что Вам и карты в руки: допроверьте, сделайте вместо меня (поскольку я живу за пределами России) доклад на мехмате. Буду весьма признателен. Ну а я уж постараюсь развеять все Ваши возможные сомнения.



vs
05.05.2005 15:58
когда доклад? :))
мы все придем!
05.05.2005 16:03
Главное не когда, а где.
Тут вопросов быть не может - в психбольнице, разумеется. smile
PS. Практически все случаи моего общения с ферманьяками заканчивались их предложениями о совместной работе. smile



_____________________________
Правила русского языка категорически против решения пределов, интегралов, рядов, матриц, определителей, функций, ...
..
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти