Элементарное доказательство ВТФ

Автор темы ruslan (victor sorokine) 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеПравила и принципы форума «Высшая математика»28.10.2009 15:17
ОбъявлениеЗапущен новый раздел «Задачки и головоломки»29.08.2019 00:42
ОбъявлениеГранты для студентов и аспирантов мехмата и физфака МГУ на обучение в магистратуре Кембриджа 2023/202428.11.2022 13:56
06.05.2005 18:47
«Кина не будет»!
Дорогой мой читатель,
К сожалению, вынужден Вас огорчить: как говорится, «кина не будет!», ибо мой участливый и, как мне казалось, очень серьезный собеседник, которому я предложил прочитать лекцию за меня (поскольку уже давно я живу за пределами России) ошарашил меня оскорбительно-плоским «юмором», под заголовком «Главное не когда, а где»: «Тут вопросов быть не может – в психбольнице, разумеется. P.S. Практически все случаи моего общения с ферманьяками заканчивались их предложениями о совместной работе». Ему, очевидно, невдомек, что у исследователя могут быть и иные интересы, нежели признание результата его поисков. В частности, само общение для меня является немаловажным фактором.
Напоминаю, что по сей день никто не выразил ни признания, ни опровержения верности моего доказательства. А «ты дурак», «ты маньяк» – это отнюдь не опровержение».
Читали ли Вы мое доказательство? Если да, есть ли у Вас какие-нибудь сомнения? Если есть, буду рад, если Вы мне их выскажете.



vs
17.06.2005 23:51
Итоги дискусии
В результате дискусии на форуме я счел необходимым слегка переделать доказательство: переставить местами две фразы и привести вычисления всех цифр.
Тексты доказательства находятся на сайтах:
На русском языке в doc. (4 кб): http://fox.ivlim.ru/docs/sorokine/vtf.doc
На русском языке в pdf : http://fox.ivlim.ru/docs/sorokine/vtf.pdf
English version of the demonstration (4kb): Revista Foaie Matematică: http://www.fmatem.moldnet.md/1_(v_sor_05).htm



vs
20.06.2005 14:26
Каждый подводит свой итог
У меня такой:

Эту тему не задушишь, не убьёшь,
Не убьёшь, не убьёшь!



_____________________________
Правила русского языка категорически против решения пределов, интегралов, рядов, матриц, определителей, функций, ...
..
30.06.2005 13:22
Нужно изоморфно отобразить доказательство в 10-ричную теорию чисел
Здравствуйте Виктор ! Всем привет !
1) Правильно Вы сказали - надо восстановить приоритет П. Ферма в доказательстве ВТФ !!! Полностью согласен ! И скажу больше - всегда шутил : найти доказательство великой проблемы Ферма не более 10 страниц, понятное от Наркома до прачки ! :):):) Но пока студенты - цвет нации Вам сопротивляются ! Надо убеждать лучше :)

2) Цель, которая объединит молодых оппонентов и Автора, должна звучать так : восстановим приоритет П. Ферма в доказательстве ВТФ !!!
Поможем автору, хоть у всех дефицит времени !

3) Со своей стороны замечу. Может ли Автор представить доказательство в обычной десятичной системе счисления ? Если есть ошибка она сразу выскочит( бес лукавый :D ) и это будет лучшим тестом Вашему, Виктор, доказательству !
С пожеланиями успехов Виктору !

P.S. Легче доказать ВТФ, чем опубликовать, как результат )))



С уважением,
Борис
01.07.2005 01:56
О системах счисления
Цитата

Борис Тарасов писал(а) :
Здравствуйте Виктор ! Всем привет !
1) Правильно Вы сказали - надо восстановить приоритет П. Ферма в доказательстве ВТФ !!! Полностью согласен ! И скажу больше - всегда шутил : найти доказательство великой проблемы Ферма не более 10 страниц, понятное от Наркома до прачки ! :):):) Но пока студенты - цвет нации Вам сопротивляются ! Надо убеждать лучше :)

2) Цель, которая объединит молодых оппонентов и Автора, должна звучать так : восстановим приоритет П. Ферма в доказательстве ВТФ !!!
Поможем автору, хоть у всех дефицит времени !

3) Со своей стороны замечу. Может ли Автор представить доказательство в обычной десятичной системе счисления ? Если есть ошибка она сразу выскочит( бес лукавый :D ) и это будет лучшим тестом Вашему, Виктор, доказательству !
С пожеланиями успехов Виктору !

P.S. Легче доказать ВТФ, чем опубликовать, как результат )))


Дорогой Борис,
спасибо на редкость доброжелательную реакцию. А также спасибо и Вашим друзьям.
Из записи П.Ферма следует, что объем его доказательства значительно меньше 10 страниц и равно максимум трем. К тому оно должно быть элементарным, то есть самым простым арифметическим. Следовательно, он оперировал не числами в целом, а цифрами.
В теории чисел конкретная цифра в числе указывается не с помощью ее порядкового номера (как у меня), а с помощью остатка от деления, что существенно затрудняет арифметические действия над ними. И числовикам очень трудно перейти на примитивную нумерацию, это их путает. К счастью, в моем доказательстве нумеруются только две последние значащие цифры (правда, после них следуют еще нули). Я убежден, что смог бы помочь любому девятикласснику понять доказательство, если бы тот просил бы разъяснения на первом непонятном ему месте.
Для чего нужна n-ичная система счисления?
Когда поначалу я анализировал равенство Ферма для четных и нечетных чисел, то быстро понял, что от анализа простых степеней никуда не деться. И если теоремы доказать для простых степеней, то теорема по существу будет доказана. Поэтому в дальнейшем я рассматривал только простые степени. А вскоре довольно быстро обнаружилось явное преимущество использования системы счисления с простым (тем же, что и в показателе) основанием: последние цифры в числе и в его степени совпадали. (Потом этот факт я доказал, а позже оказалось, что это была малая теорема Ферма).
Итак, счисление с простым основанием позволяло применять в доказательстве малую теорему Ферма и легко «вычислять» последнюю цифру в числе U’’.
Еще одну чрезвычайно важную помощь счисление с простым основанием оказало в деле преобразования последней цифры произведения: для любого числа, не оканчивающегося на ноль, существует такой сомножитель, что произведение оканчивается на любую желаемую цифру. В десятичной системе такое невозможно: так, на что ни умножай число 2, а 1 на конце не получишь.
Можно, конечно, вести доказательство и в десятичной системе, но тогда оно растянется страниц на 30 и все равно без введения в рассмотрение простых чисел не обойтись.
Кстати, еще в 17-м веке делались попытки доказать ВТФ с помощью простых оснований (о чем мне сообщили из Французской Академии Наук в 1992 г.). А нелюбовь к иным счислениям психологически вполне понятна: по этой же причине я невзлюбил программирование на ЭВМ, или матанализ на языке множеств, или теорию волн.
Впрочем, никаких расчетов в системе счисление с простым основанием делать не придется: Лемма из Приложения используется лишь однажды, да и то в общем абстрактном виде. А умножение на 11 оно в любой системе (кроме двоичной) одинаково.
Итак, счастливого плаванья!
В.С.

P.S.
Сначала небольшое добавление по поводу доказательства в десятичной системе счисления. Доказательство в системе с простым основанием счисления получилось довольно коротким – 2 стр. (Доказательство будет вдвое короче, если вместо сомножителя 11^n взять сомножитель х^n, где х цифра с определенным свойством, но обоснование этого свойства требует еще страницу доказательств.) Верность же доказательства и для чисел в десятичной системе следует, насколько помню, из фундаментальной теоремы о том, что равенство/неравенство в какой-либо системе счисления сохраняется при переходе к любой другой (в т.ч. и к десятичной) системе счисления.
По поводу простых чисел Ферма.
Применив сито Эратосфена в сочетании с малой теоремой Ферма к ряду 2^k + 1, возникает сильнейшая иллюзия, что оставшиеся после вычеркивания числа вида 2^(2^k) + 1 являются простыми. Полагаю, что Ферма попался в эту психологическую ловушку, тем более что все доступные ручной проверке числа оказались простыми.
Обобщенные числа Ферма, мне кажется (хотелось бы), это а^(2^k) + 1, где а – простое.
Время от времени в моем подсознании всплывает идея доказательства о бесконечности простых чисел вида 2^(2^k) + 1 (методом от противного: при достаточно большом k число составных чисел среди первых k чисел превышает k), но к этой теме я вернусь после признания ВТФ. (Интересная информация содержится у maxal на форуме http://www.mmonline.ru/forum/login.php по теме «Простые числа в геометрической прогрессии».)
Если П.Ферма был уверен в том, что его запись на полях книги Диофанта станет известна миру, то это было самое высокомерно-уничтожающее в Истории издевательство над интеллектом самоуверенного человека. Это была тонкая месть за все издевательства над «гадким утенком». И в этом смысле П.Ферма есть духовный стержень униженных и оскорбленных.
С наилучшими пожеланиями,
Виктор



vs
12.08.2005 01:45
Великая теорема Ферма: Эксперимент завершен
ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА: Эксперимент завершен

После обсуждения на четырех форумах с общим числом посещений более 4000 лишь два участника (с форума fiziksHelp) выступили с доброжелательным разбором доказательства по существу. Заключительный вывод таков: по последней значащей цифре числа u = a + b – c (> 0) противоречие не возникает. И это логично: последние цифры оснований – это всего лишь «макияж»; нужно же рассмотреть роль первых цифр чисел u, a, b, c. Именно они, как последние члены в возрастающей геометрической прогрессии, «делают погоду» в равенстве Ферма. И при первом же их рассмотрении появились признаки невозможности равенства Ферма. При этом доказательство существенно упрощается. Суть его такова.

Прежде всего, из равенства Ферма 1°, если таковое существует, следует, что
(c – u)/u < 2/n.
Пример для n = 5. Пусть a^5 + b^5 = c^5.
При заданном с максимум a + b достигается при a = b, откуда 2a^5 = c^5, откуда 1,1487a = c, откуда a = 0, 87055c; u = (2 x 0, 87055 – 1)c = 0,7411; c = 1,349u = u + 0,349u.
И если цифра наивысшего разряда в числе u равна «5», то и в этом случае 0,349n = 0,349 х 5 = 1,75… < 2.
Следовательно, цифра старшего разряда числа с превышает цифру старшего разряда числа u не более чем на 1. Если ввести понятие максимального ранга R (порядковый номер головной цифры числа от его конца) и обозначить R(c) через s, а R(u) через r, то s = r либо r + 1.
Важно, что (a – a_(r)) + (b – b_(r)) – (c – c_(r)) ==0.

Затем нам понадобится следующая простая Лемма:
Для любого числа «а» не кратного простому n (т.е. с а_1 =/ 0) существуют такие числа p и m, что ap = n^m – 1. То есть все цифры в произведении aр есть только n – 1, или «девятки». Справедливость Леммы вытекает из малой теоремы Ферма: любой простое число g1 есть сомножитель числа n^(g1 – 1) – 1, а число n^(g1 х g2 х… gt – 1) – 1 делится на g1 х g2 х… gt.
Затем с помощью умножения равенства 1° на p^n и, следовательно, числа u на p мы превращаем число u/u^k в n^m – 1, состоящее, за исключением конечных k нулей, только из цифр n – 1.

Доказательство Великой теоремы распадается на два случая.

Случай 1: abc не кратно n, или (abc)_1 =/ 0
Невозможность равенства Ферма (1°) при s = r очевидна: даже в самом благоприятном случае a^n + b^n >> c^n.
Примеры в базе n = 7: 6…^n + 6…^n > 6…^n; 5…^n + 5…^n >> 4…^n.
При s = r + 1 либо цифра c_r < n – 1, и тогда неравенство a^n + b^n >> c^n сохраняется, либо c_r = n – 1, и тогда c_{r + 1} = 1, но тогда (a – a_(r)) + (b – b_(r)) – (c – c_(r)) =/ 0.

Случай 2: b (или c) кратно n или b_1 =/ 0 при (ac)_ =/ 0.
Доказательство полностью аналогично, но, если b = b'n^k, то в качестве числа u здесь выступает выражение u = a + b'n^(kn – 1) – c. Это объясняется тем, что число с – а имеет сомножитель n^(kn – 1) (см. Приложение к 1-му доказательству).

Вариант уточненных рассуждений:

После приведения числа u = a + b – c к виду u = 999…999000…000 (> 0; состоящего из r цифр, из которых последние k – нули, а первые r – k – «девятки»)
легко видеть, что для каждого ранга i для r >= i > k + 1
выполняется строгое равенство: a_i + b_i – c_i = «9» (где «9» = n – 1).
Кроме этого, из равенства Ферма 1° с u = 999…999000…000 следует, что
u_r = 9, c_r = (u_r + 1)_1 = 0, c_{r + 1} = 1, следовательно a_r + b_r = n – 1 (или «9»)
После отбрасывания последних r – 1 цифр числа a, b, c будут в самом невыгодном случае выглядеть приблизительно так: a = 9^n, b = 0^n, c = 10^n либо a = 5^n, b = 4^n, c = 10^n, но в любом случае с a + b = n – 1. Но 9^n + 0^n < 10^n, 5^n + 4^n << 10^n!
И даже при самом невыгодном варианте восстановления отброшенных окончаний неравенство сохраняется: (10 – 1)^n + 1^n < 10,0^n!



vs
12.08.2007 19:26
История ВТФ
Грандиозное событие


Как-то в новогоднем выпуске рассылки о том, как произносить тосты, я вскользь упомянул, что в конце ХХ века произошло одно грандиозное событие, которого многие не заметили - была, наконец-то доказана так называемая Великая теорема Ферма. По этому поводу среди полученных писем я обнаружил два отклика от девушек (одна из них, насколько помню - девятиклассница Вика из Зеленограда), которых удивил данный факт.

А меня удивило то, насколько живо девочки интересуются проблемами современной математики. Поэтому, думаю, что не только девочкам, но и мальчикам всех возрастов - от старшеклассников до пенсионеров, тоже будет интересно узнать историю Великой теоремы.

Доказательство теоремы Ферма - великое событие. А т.к. со словом "великий" не принято шутить, то знать историю теоремы, мне кажется, каждый уважающий себя оратор (а все мы, когда говорим - ораторы) просто обязан.

Если так получилось, что вы не любите математику так, как люблю ее я, то некоторые углубления в детали просматривайте беглым взором. Понимая, что не всем читателям нашей рассылки интересно блуждать в математических дебрях, я постарался не приводить никаких формул (кроме самого уравнения теоремы Ферма) и максимально упростить освещение некоторых специфических вопросов.



Как Ферма заварил кашу


Французский юрист и по совместительству великий математик XVII века Пьер Ферма (1601-1665) выдвинул одно любопытное утверждение из области теории чисел, которое впоследствии получило название Великой (или Большой) теоремы Ферма. Это одна из самых известных и феноменальных математических теорем. Наверно, ажиотаж вокруг нее был бы не так силен, если бы в книге Диофанта Александрийского (III век) "Арифметика", которую Ферма частенько штудировал, делая пометки на ее широких полях, и которую любезно сохранил для потомков его сын Сэмюэл, не была обнаружена примерно следующая запись великого математика:

"Я располагаю весьма поразительным доказательством, но оно слишком велико, чтобы его можно было разместить на полях".

Она-то, эта запись, и явилась причиной последующей грандиозной суматохи вокруг теоремы.

Итак, знаменитый ученый заявил, что доказал свою теорему. Давайте же зададимся вопросом: действительно ли он ее доказал или банально соврал? Или есть другие версии, объясняющие появление той записи на полях, не дававшей спокойно спать многим математикам следующих поколений?

История Великой теоремы увлекательна, как приключение во времени. В 1636 году Ферма заявил, что уравнение вида Хn+Yn=Zn не имеет решений в целых числах при показателе степени n>2. Это собственно и есть Большая теорема Ферма. В этой, казалось бы, простой с виду математической формуле Вселенная замаскировала невероятную сложность.

Несколько странным является то, что почему-то теорема опоздала с появлением на свет, поскольку ситуация назрела давно, ведь ее частный случай при n=2 - другая знаменитая математическая формула - теорема Пифагора, возникла на двадцать два столетия раньше. В отличие от теоремы Ферма, теорема Пифагора имеет бесконечное множество целочисленных решений, например, такие пифагоровы треугольники: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15,17) … (27,36,45) … (112,384,400) … (4232, 7935, 8993) …



Синдром Великой теоремы


Кто только не пытался доказать теорему Ферма. Любой свежеоперившийся студент считал своим долгом приложиться к Великой теореме, но доказать ее всё никак никому не удавалось. Сначала не удавалось сто лет. Потом еще сто. Среди математиков стал развиваться массовый синдром: "Как же так? Ферма доказал, а я что, не смогу что ли?" и некоторые из них на этой почве свихнулись в полном смысле этого слова.

Сколько бы теорему не проверяли - она всегда оказывалась верна. Я знал одного энергичного программиста, который был одержим идеей опровергнуть Великую теорему, пытаясь найти хотя бы одно ее решение методом перебора целых чисел с использованием быстродействующего компьютера (в то время чаще именовавшегося ЭВМ). Он верил в успех своего предприятия и любил приговаривать: "Еще немного - и грянет сенсация!". Думаю, что в разных местах нашей планеты имелось немалое количество такого сорта смелых искателей. Ни одного решения он, конечно же, не нашел. И никакие компьютеры, хоть даже со сказочным быстродействием, никогда не смогли бы проверить теорему, ведь все переменные этого уравнения (в том числе и показатели степени) могут возрастать до бесконечности.

Самый виртуозный и плодотворный математик XVIII века Леонард Эйлер, архив записей которого человечество разгребало почти целый век, доказал теорему Ферма для степеней 3 и 4 (вернее, он повторил утерянные доказательства самого Пьера Ферма); его последователь в теории чисел, Лежандр - для степени 5; Дирихле - для степени 7. Но в общем виде теорема оставалась недоказанной.

В начале XX века (1907) состоятельный немецкий любитель математики по фамилии Вольфскель завещал сто тысяч марок тому, кто предъявит полное доказательство теоремы Ферма. Начался ажиотаж. Математические кафедры были завалены тысячами доказательств, но все они, как вы догадываетесь, содержали в себе ошибки. Говорят, что в некоторых университетах Германии, в которые в большом количестве поступали "доказательства" теоремы Ферма, были заготовлены бланки примерно такого содержания:



Уважаемый __________________________!

В Вашем доказательстве теоремы Ферма на ____ странице в ____ строчке сверху
в формуле:__________________________ обнаружена следующая ошибка:,

которые рассылались незадачливым соискателям премии.


В то время в кругу математиков появилось полупрезрительное прозвище - фермист. Так называли всякого самоуверенного выскочку, которому не хватало знаний, но зато с лихвой хватало амбиций для того, чтобы второпях попробовать силенки в доказательстве Великой теоремы, а затем, не заметив собственных ошибок, гордо хлопнув себя в грудь, громко заявить: "Я первый доказал теорему Ферма!". Каждый фермист, будь он хоть даже десятитысячным по счету, считал себя первым - это и было смешным. Простой внешний вид Великой теоремы так сильно напоминал фермистам легкую добычу, что их абсолютно не смущало, что даже Эйлер с Гауссом не смогли справиться с ней.

(Фермисты, как ни странно, существуют и ныне. Один из них хоть и не считал, что доказал теорему, как классический фермист, но до недавних пор предпринимал попытки - отказался верить мне, когда я сообщил ему, что теорема Ферма уже доказана).

Наиболее сильные математики, может быть, в тиши своих кабинетов тоже пробовали осторожно подходить к этой неподъемной штанге, но не говорили об этом вслух, дабы не прослыть фермистами и, таким образом, не навредить своему высокому авторитету.

К тому времени появилось доказательство теоремы для показателя степени n<100. Потом для n<619. Надо ли говорить о том, что все доказательства невероятно сложны. Но в общем виде теорема оставалась недоказанной.



Странная гипотеза
Великой теоремы не наблюдалось. Но вскоре в математической жизни произошло одно интересное событие. В 1955 году 28-летний японский математик Ютака Танияма выдвинул утверждение из совершенно другой области математики, получившее название "гипотезы Таниямы" (она же "гипотеза Таниямы-Шимуры-Вейла"), которое, в отличие от запоздалой теоремы Ферма, опередило свое время.

Гипотеза Таниямы гласит: "каждой эллиптической кривой соответствует определенная модулярная форма". Данное утверждение для математиков той поры звучало примерно так же абсурдно, как для нас звучит утверждение: "каждое дерево состоит из определенного металла". Нетрудно угадать, как может отнестись к подобному утверждению нормальный человек - он попросту не воспримет его всерьез, что и произошло: математики дружно проигнорировали гипотезу.

Небольшое пояснение. Эллиптические кривые, известные с давних пор, имеют двухмерный вид (располагаются на плоскости). Модулярные же функции, открытые в XIX веке, имеют четырехмерный вид, поэтому мы их даже представить себе не можем своими трехмерными мозгами, но можем описать математически; кроме того, модулярные формы удивительны тем, что обладают предельно возможной симметрией - их можно транслировать (сдвигать) в любом направлении, отражать зеркально, менять местами фрагменты, поворачивать бесконечно многими способами - и при этом их вид не изменяется. Как видим, эллиптические кривые и модулярные формы имеют мало общего. Гипотеза же Таниямы утверждает, что описательные уравнения двух соответствующих друг другу этих абсолютно разных математических объектов можно разложить в один и тот же математический ряд.

Гипотеза Таниямы была слишком парадоксальна: она соединила совершенно разные понятия - довольно простые плоские кривые и невообразимые четырехмерные формы. Такое никому не приходило в голову. Когда на международном математическом симпозиуме в Токио в сентябре 1955 года Танияма продемонстрировал несколько соответствий эллиптических кривых модулярным формам, то все увидели в этом не более, чем забавные совпадения. На скромные вопросы Таниямы маститый француз Андре Вейл, который в то время был одним из лучших в мире специалистов в теории чисел, дал вполне дипломатичный ответ, что, дескать, если пытливого Танияму не покинет энтузиазм, то, может быть, ему повезет, и его невероятная гипотеза подтвердится, но это, должно быть, случится не скоро. В общем, как и многие другие выдающиеся открытия, сначала гипотеза Таниямы осталась без внимания, потому что до нее еще не доросли - ее почти никто не понял. Один лишь коллега Таниямы, Горо Шимура, хорошо зная своего высокоодаренного друга, интуитивно чувствовал, что его гипотеза верна.

Через три года (1958) Ютака Танияма покончил жизнь самоубийством (сильны, однако, в Японии самурайские традиции). С точки зрения здравого смысла - никак не понимаемый поступок, особенно, если учесть, что совсем скоро он собирался жениться. Свою предсмертную записку лидер молодых японских математиков начал так: "Еще вчера я не помышлял о самоубийстве. Последнее время мне часто приходилось слышать от других, что я устал умственно и физически. Вообще-то я и сейчас не понимаю, зачем это делаю…" и так далее на трех листах. Жаль, конечно, что так сложилась судьба интересного человека, но все гении немного странные - на то они и гении (на ум почему-то пришли слова Артура Шопенгауэра: "в обычной жизни от гения столько же толку, как от телескопа в театре"). Гипотеза осиротела. Никто не знал, как ее доказать.

Лет десять про гипотезу Таниямы почти не вспоминали. Но в начале 70-х годов она стала популярной - ее регулярно проверяли все, кто смог в ней разобраться - и она всегда подтверждалась (как, собственно, и теорема Ферма), но, как и прежде, никто не мог ее доказать.



Удивительная связь двух гипотез


Прошло еще примерно 15 лет. В 1984 году произошло одно ключевое событие в жизни математики, которое объединило экстравагантную японскую гипотезу с Великой теоремой Ферма. Немец Герхард Фрей выдвинул любопытное утверждение, похожее на теорему: "Если будет доказана гипотеза Таниямы, то, следовательно, будет доказана и Великая теорема Ферма". Другими словами, теорема Ферма является следствием гипотезы Таниямы. (Фрей методом хитроумных математических преобразований свел уравнение Ферма к виду уравнения эллиптической кривой (той самой, которая фигурирует и в гипотезе Таниямы), более-менее обосновал свое предположение, но доказать его не смог). И вот буквально через полтора года (1986) профессор калифорнийского университета Кеннет Рибет четко доказал теорему Фрея.

Что же теперь получилось? Теперь оказалось, что, так как теорема Ферма уже точно является следствием гипотезы Таниямы, нужно всего-навсего доказать последнюю, чтобы сорвать лавры покорителя легендарной теоремы Ферма. Но гипотеза оказалась непростой. К тому же у математиков за столетия появилась аллергия на теорему Ферма, и многие из них решили, что справиться с гипотезой Таниямы также будет практически невозможно.



Смерть гипотезы Ферма. Рождение теоремы


Прошло еще 8 лет. Одному прогрессивному английскому профессору математики из Принстонского университета (Нью-Джерси, США), Эндрю Уайлсу, показалось, что он нашел доказательство гипотезы Таниямы. Если гений не лысый, то, как правило, взъерошенный. Уайлс - взъерошенный, следовательно, похож на гения. Войти в Историю, конечно, заманчиво и очень хотелось, но Уайлс, как настоящий ученый, не обольщался, понимая, что тысячам фермистов до него тоже мерещились призрачные доказательства. Поэтому, прежде, чем представить свое доказательство миру, он тщательно проверял его сам, но осознавая, что может иметь субъективную предвзятость, привлекал к проверкам также и других, например, под видом обычных математических заданий он иногда подкидывал смышленым аспирантам различные фрагменты своего доказательства. Позже Уайлс признался, что никто, кроме его жены не знал, что он работает над доказательством Великой теоремы.

И вот после долгих проверок и тягостных раздумий, Уайлс наконец-то набрался храбрости, а может, как ему самому казалось, наглости и 23 июня 1993 года на математической конференции по теории чисел в Кембридже объявил о своем великом достижении.

Это, конечно, была сенсация. Никто не ожидал такой прыти от малоизвестного математика. Тут же появилась пресса. Всех терзал жгучий интерес. Стройные формулы, как штрихи прекрасной картины, предстали перед любопытными взорами собравшихся. Настоящие математики, они ведь такие - смотрят на всякие уравнения и видят в них не цифры, константы и переменные, а всё равно, что стихи или музыку слышат, точно так же, как мы, читая книгу, смотрим на буквы, но вроде бы как их и не замечаем, а сразу воспринимаем смысл текста.

Презентация доказательства, казалось, прошла успешно - ошибок в нем не нашли - никто не услышал ни одной фальшивой ноты. Все решили, что произошло-таки масштабное событие: доказана гипотеза Таниямы, а следовательно и Великая теорема Ферма. Но примерно через два месяца, за несколько дней до того, как рукопись доказательства Уайлса должна была пойти в тираж, в ней было обнаружено несоответствие (Кац, коллега Уайлса, заметил, что один фрагмент рассуждений опирался на "систему Эйлера", но то, что соорудил Уайлс, такой системой не являлось), хотя в целом приемы Уайлса были признаны интересными, изящными и новаторскими.

Уайлс проанализировал ситуацию и решил, что проиграл. Можно себе представить, как он всем своим существом прочувствовал, что значит "от великого до смешного один шаг". "Хотел войти в Историю, а вместо этого вошел в состав команды клоунов и комедиантов - самонадеянных фермистов" - примерно такие мысли изматывали его в тот тягостный период жизни. Для него, серьезного ученого-математика, это была трагедия, и он забросил свое доказательство в долгий ящик.

Но вот через год с небольшим, в сентябре 1994 года, во время размышления над тем узким местом доказательства вместе со своим коллегой Тейлором из Оксфорда, последнего неожиданно осенила мысль, что "систему Эйлера" можно поменять на теорию Ивасава (раздел теории чисел). Тогда они попробовали воспользоваться теорией Ивасава, обойдясь без "системы Эйлера", и у них всё сошлось. Исправленный вариант доказательства был отдан на проверку и через год было объявлено, что в нем всё абсолютно четко, без единой ошибки. Летом 1995 года в одном из первенствующих математических журналов - "Анналы математики" - было опубликовано полное доказательство гипотезы Таниямы (следовательно, Великой (Большой) теоремы Ферма), которое заняло весь номер - свыше ста листов. Доказательство так сложно, что понять его целиком могли всего лишь несколько десятков человек во всем мире.

Таким образом, в конце ХХ века весь мир признал, что на 360 году своей жизни Великая теорема Ферма, которая на самом деле всё это время являлась гипотезой, стала-таки доказанной теоремой. Эндрю Уайлс доказал Великую (Большую) теорему Ферма и вошел в Историю.



Подумаешь, доказали какую-то теорему...


Счастье первооткрывателя всегда достается кому-то одному - это именно он последним ударом молота раскалывает твердый орешек. Но нельзя игнорировать множество предыдущих ударов, которые не одно столетие формировали трещину в Великой теореме: Эйлера и Гаусса (королей математики своих времен), Эвариста Галуа (успевшего за свою короткую 21-летнюю жизнь основать теории групп и полей, работы которого были признаны гениальными лишь после его смерти), Анри Пуанкаре (учредителя не только причудливых модулярных форм, но и конвенционализма - философского течения ), Давида Гилберта (одного из сильнейших математиков ХХ века), Ютаку Танияму, Горо Шимуру, Морделла, Фальтингса, Эрнста Куммера, Барри Мазура, Герхарда Фрея, Кена Риббета, Ричарда Тейлора и других настоящих ученых (не побоюсь этих слов).

Доказательство Великой теоремы Ферма можно поставить в один ряд с такими достижениями ХХ века, как изобретение компьютера, ядерной бомбы и полет в космос. Хоть о нем и не так широко известно, потому что оно не вторгается в зону наших сиюминутных интересов, как например, телевизор или электрическая лампочка, но оно явилось вспышкой сверхновой звезды, которая, как и все непреложные истины, всегда будет светить человечеству.

Вы можете сказать: "подумаешь, доказали какую-то теорему, кому это надо?". Справедливый вопрос. Тут в точности сгодится ответ Давида Гилберта. Когда на вопрос: "какая задача сейчас для науки наиболее важна?", он ответил: "поймать муху на обратной стороне Луны", его резонно спросили: "а кому это надо?", он ответил так: "Это никому не надо. Но подумайте над тем, сколько важных сложнейших задач надо решить, чтобы это осуществить". Подумайте, сколько задач за 360 лет смогло решить человечество, прежде, чем доказать теорему Ферма. В поисках ее доказательства была открыта чуть ли не половина современной математики. Надо также учесть, что математика - авангард науки (и, кстати, единственная из наук, которая строится без единой ошибки), и любые научные достижения и изобретения начинаются именно здесь. Как заметил Леонардо да Винчи, "наукой можно признать лишь то учение, которое подтверждается математически".



* * *


А теперь давайте вернемся в начало нашей истории, вспомним запись Пьера Ферма на полях учебника Диофанта и еще раз зададимся вопросом: действительно ли Ферма доказал свою теорему? Этого мы, конечно, не можем знать наверняка, и как в любом деле тут возникают разные версии:

Версия 1: Ферма доказал свою теорему. (На вопрос: "имел ли Ферма точно такое же доказательство своей теоремы?", Эндрю Уайлс заметил: "Ферма не мог располагать таким доказательством. Это доказательство ХХ века". Мы с вами понимаем, что в XVII веке математика, конечно же, была не та, что в конце ХХ века - в ту эпоху д,Артаньяна, царица наук еще не обладала теми открытиями (модулярные формы, теоремы Таниямы, Фрея и др.), которые только и позволили доказать Великую теорему Ферма. Конечно, можно предположить: чем черт не шутит - а вдруг Ферма догадался иным путем? Эта версия хоть и вероятна, но по оценкам большинства математиков, практически невозможна);
Версия 2: Пьеру Ферма показалось, что он доказал свою теорему, но в его доказательстве были ошибки. (То есть, сам Ферма был также и первым фермистом);
Версия 3: Ферма свою теорему не доказал, а на полях просто соврал.

Если верна одна из двух последних версий, что наиболее вероятно, то тогда можно сделать простой вывод: великие люди, они хоть и великие, но тоже могут ошибаться или иногда не прочь приврать (в основном этот вывод будет полезен для тех, кто склонен безраздельно доверять своим кумирам и прочим властителям дум). Поэтому, читая произведения авторитетных сынов человечества или слушая их пафосные выступления, вы имеете полное право сомневаться в их утверждениях. (Прошу заметить, что сомневаться - не значит отвергать).

Феликс Кирсанов
14.08.2007 15:40
доказательство Ферма
сто пудов:
Ферма доказал свою теорему для показателя 4 и для показателя 3.
Даже если у него не было доказательства для общего случая (он мог найти у себя ошибку), Ферма вполне мог иметь специальное доказательство для куба.
Такое доказательство было реконструировано Г. Вейлем.

Самый разумный способ - искать доказательство на пути Куммера.
Исследования в круговых кольцах показывают почему БТФ верна
(можно объяснить на пальцах).
Но строгое доказательство пока есть только для отдельных степеней.

Было бы конечно интересно понять: как возникает доказательство из гипотезы Таниямы. Есть ли какое простое объяснение?
Доказательство гипотезы Таниямы настолько сложное и длинное что в нем вполне вероятна ошибка.
А теория Куммера достаточно проста.
Там только надо доказать что некий идеал - главный.
(Для регулярных чисел все такие идеалы главные, самое сложное это проверка регулярности).
Остальное все очень просто. Если есть общее доказательство в теории Куммера то оно будет на одной - двух страницах. Причем оно будет алгебраическим и будет доступно для студентов 2-3 курса мехмата.



Алексей Ш
14.08.2007 15:49
исследования Куммера
Куммер работал с БТФ с помощью комплексных корней из 1,
на самом деле гораздо удобнее работать просто с корнями из 1,
появляются делители 0, но зато все проще и понятнее

например некоторые утверждения вообще доказываются в пару строк,
а кое-что вообще оказывается лишним

кажется после Куммера никто всерьез этим не занимался



Алексей Ш
17.08.2007 11:07
поправка
Цитата

Алексей Шилов писал:
Ферма доказал свою теорему для показателя 4 и для показателя 3.

Для показателя 3 доказал не Ферма, а Эйлер.



_____________________________
Правила русского языка категорически против решения пределов, интегралов, рядов, матриц, определителей, функций, ...
..
21.08.2007 14:18
не совсем так
У Эйлера доказательство не строгое.
То что доказательства Ферма не осталось, не значит что его не было.
Есть реконструкция доказательства, которое могло быть у Ферма, предложенное Г. Вейлем. Причем это доказательство строгое.

Поэтому можно допустить, что Ферма имел такое доказательство, тем более что он слов на ветер не бросал и имел наверное какие либо доводы в пользу своего утверждения.
Для куба доказательство не сложное по сравнению с другими утверждениями Ферма.



Алексей Ш
27.08.2007 11:35
поправка - А. Вейль
доказательство реконструировал Андре Вейль



Алексей Ш
03.09.2007 10:46
Это не математичсекое доказатльство
В доказательстве, приведенном по ссылке http://fox.ivlim.ru/docs/Sorocinr.doc используется такой факт.

Цитата

Простое следствие из бинома Ньютона и малой теоремы Ферма:
если цифра as увеличивается/уменьшается на d, то цифра ans+1 увеличивается/уменьшается на d.

Как уже тут http://www.mathforum.ru/forum/read/1/4152/4169/#4169 указал egor это утверждение в сформулированном виде не верно. На это victor sorokine всего лишь возразил, что приведенный контрпример не страшен, так как случай s=1 для доказательства не важен, то есть фактически признал ошибку. Однако исправленную формулировку утверждения не привел.
Хотелось бы увидеть точное и верное утверждение, на которое опирается доказательство ВТФ, а также полное доказательство этого вспомогательного утверждения.


Вот здесь (не в самом доказательстве, но в комментарии к нему) http://www.mathforum.ru/forum/read/1/4152/4224/#4224 victor sorokine писал
Цитата

ИНТУИТИВНО чувствуемый подвох (из-за чего я сам потерял несколько лет) разрешается очень просто: буква «u» только численно равна a+b-c, но НЕ ЕСТЬ a+b-c! «u» есть арифметическое выражение, или НЕВЫПОЛНЕННОЕ суммирование трех чисел.

Это рассуждение без четкого определения понятия "невыполненное вычисление" для математика звучит как бессмыслица.

Вот здесь http://www.mathforum.ru/forum/read/1/4152/5191/#5191 victor sorokine пишет
Цитата

После отбрасывания последних r – 1 цифр числа a, b, c будут в самом
невыгодном случае выглядеть приблизительно так: a = 9^n, b = 0^n,
c = 10^n либо a = 5^n, b = 4^n, c = 10^n, но в любом случае с a + b =
n – 1. Но 9^n + 0^n < 10^n, 5^n + 4^n << 10^n!
И даже при самом невыгодном варианте восстановления
отброшенных окончаний неравенство сохраняется:
(10 – 1)^n + 1^n < 10,0^n!

Опять таки, до тех пор пока не уточнено понятие "выгодное" (то есть, например, не приведено четкое математическое определение, что значит "один случай выгоднее другого", не доказано что отношение "выгодности" обладает свойствами порядка, а также не доказано, почему из справедливости каких-либо формул в менее "выгодном" случае следует из справедливость и в более "выгодном") это бессмыслица.

Приведенный текст доказательства никак неструктурирован, и это сильно препятствует его чтению. Имхо, текст нельзя будут прочесть и понять, до тех пор, пока в нем не будут выделены логические части (леммы, теоремы), а формулы и вычисления не будут разбиты и "спрятаны" в доказательства. Причем, необходимо приводить в тексте для каких значение переменных делается то или ионе утверждение (либо при формулировке, либо где-то выше в начале текста, ограничивая раз и навсегда область изменений переменных).
Также вызывает недоумение, почему вышеупомянутое следствии из малой теормеы Ферма приводится в списке исполльзуемых обозначений (почему бы тогда не завести раздел "вспомогательные факты" и не собрать формулировку используемых фактов там?); впрочем, это уже мелочи.

Кроме того, пугающие нестандартные обозначения (например, знаки * слева от символов) сильно ухудшают восприятие текста.
Хотелось бы так же пояснений, какую роль играет выделение различными цветами.


ИМХО, приведенный текст в таком виде как есть на математическое доказательство претендовать никак не может.

Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти