Бесконечность числового ряда

Автор темы _play (play_) 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеПравила и принципы форума «Высшая математика»28.10.2009 15:17
ОбъявлениеОткрыта свободная публикация вакансий для математиков26.09.2019 16:34
ОбъявлениеИщем преподавателя для углубленного обучения статистическим методам29.05.2020 13:22
23.04.2005 18:42
Бесконечность числового ряда
Как бы вы доказали бесконечность числового ряда?
Я вот говорю одноклассникам: пусть количество чисел конечно, тогда существует самое большое число=N, образуем число M=N+1, которое будет больше N--->чисел - бесконечное кол-во, так как всегда можно образовать число, которое будет больше/меньше самого большого/мальнького. Они мне хором: но ведь N-это самое большое, последнее число, ты не можешь прибавить к последнему числу что-либо. Правы они или я? Может есть какие-нибудь другие док-ва? Помогите разобраться.

P.S: интересуют натуральные числа.



Ancor, do you want more?!..
23.04.2005 20:30
по определению натуральных чисел
Для любых двух натуральных (это в частности) чисел определена операция сложения, и значит для любого N N+1 --- это тоже натуральное число.
24.04.2005 07:27
На форуме ВМК мне сказали, что это не докажешь
Хм... На форуме ВМК мне сказали, что это не докажешь, там аксиома Архимеда какая-то...



Ancor, do you want more?!..
24.04.2005 08:00
На ВМК математики не знают...
Цитата

Хм... На форуме ВМК мне сказали, что это не докажешь, там аксиома Архимеда какая-то...

Что только подтверждает и без того очевидный факт, что на ВМК математики не знают. В частности, не знают, что говорит аксиома Архимеда. Да ещё и доказывать бесконечность N не умеют, оказывается smile

25.04.2005 15:35
Я разгадала знак "бесконечность"
Цитата

play_ писал(а) :
Как бы вы доказали бесконечность числового ряда?

Встречный вопрос: а как бы Вы определили понятие "бесконечность числового ряда"?

Цитата

Я вот говорю одноклассникам: пусть количество чисел конечно, тогда существует самое большое число=N,

Это ещё почему?! wink

Цитата

образуем число M=N+1, которое будет больше N--->чисел - бесконечное кол-во, так как всегда можно образовать число, которое будет больше/меньше самого большого/мальнького. Они мне хором: но ведь N-это самое большое, последнее число, ты не можешь прибавить к последнему числу что-либо. Правы они или я?

Правы в любом случае они, ибо Ваше "доказательство" вообще ничего не доказывает. Оно представляет собой рассуждение на уровне опусов Земфиры (чистый, нефильтрованный поток сознания, говоря словами ушами_хлоп) - никаких определений понятий "конечное" и "бесконечное" Вами предъявлено не было. Требование же сих определений отнюдь не является праздным: даже класс {x | (x=1)} в некотором смысле бесконечен (мы можем построить сколько угодно разных - хотя и равных между собой - конкретных единиц) - но ведь явно не такую бесконечность Вы подразумеваете!

С уважением,
Гастрит

25.04.2005 22:04
Ваша Конструктивность,
Ваша Конструктивность, оставьте неофита в покое. Каждый должен сам выбрать свой путь wink

play_, пусть многомудрые речи многоуважаемого Гастрита не смущают Вас, возможность познакомиться с этим учением еще представится, но всему свое время.

25.04.2005 22:13
кстати, а если так
мне тут предложили вариант решения: возьмем число N, возьмем его десятичную запись, образуем новое число следующим образом: последнюю цифру увеличим на 1, если она не равна 9, если равна, то ее меняем на 0, предпоследнюю увеличиваем на 1, если предпоследняя равна 9, то... и так далее. Так как число цифр числа конечно, то получим новое число. Для каждого N.
26.04.2005 10:31
Форум ВМК
Смотря что они имели в виду. Если о том, что сначала надо договориться о предмете доказательства в смысле, что у нас в фудаменте, то они совершенно правы. А в самом деле, что такое натуральное число?

Натуральный ряд можно строить по-разному. Можно сначала аксиоматически задать сразу все множество действительных чисел. В том числе среди аксиом будет аксиома Архимеда. Тогда к натуральным мы спустимся как к части этого большого множества, порожденного числом 1 с помощью сложения: 1, 1+1, 1+1+1, ... Тогда все будет пучком - предположение о конечности N приводит к противоречию.
Можно поступить иначе. Начинаем с постройки натурального ряда, потом из него строим целые числа, потом рациональные, а из них действительные.
Натуральный ряд можно задать аксиоматически с помощью модели Пеано:
Пусть в множестве Р с выделенным элементом 0 определена операция ' (штрих, называемая операцией следования), удовлетворяющая аксиомам
1) Ни для какого x из Р не выполняется равенство x'=0.
2) Если х'=y', то х=у.
3) Аксиома индукции. Пусть А - непустое подмножество в Р, удовлетворяющее свойствам:
а) 0 входит в А
б) вместе с любым х, входящим в А, в него входит и x'
Тогда А=Р.
Примеры модели Пеано:
1) Р={|, ||, |||, ...}. Выделенный элемент здесь |, а операция следования - приписывание к имеющимся палочкам еще одной палочки. Если к Р добавить еще пустой символ empty и поставить его впереди остальных, то по сути это будет теоретико множественное построение натуральных чисел исходя из пустого множества. Кронекер когда-то признавал за Богом его роль в создании лишь целых чисел, а остальное все сделали люди: Die ganze Zahlen hat der lieber Gott gemacht. Alles anderes ist das Menschenswerk. Таким образом современный теор.-мн. подход признает за Богом его заслугу в созидании лишь пустого множества. :)
2) N - если мы уже знаем, что это такое. Операция следования - это прибавление числа 2.
3) Четные неотрицательные числа. Операция следования - это прибавление числа 2.
Все модели Пеано в определенном смысле (в который сейчас не вдаюсь) равноценны. Вот и берем в качестве N любую из этих равноценных моделей.
Тогда для доказательства бесконечности N, нам еще надо понять, а что это такое.
Определение. Множество бесконечно, если существует взаимно однозначное соответствие между элементами этого множества и элементами некоторого его собственного подмножества.
Теперь из аксиом Пеано легко такое вз. одн. соотв. с частью установить:
x <--> x'.
Фактически бесконечность N обеспечивается первыми двумя аксиомами Пеано.

В принципе можно и в этих рамках опять плясать от противного, но это долгий путь. Чтобы определить понятие меньше-больше нам потребуется сначала определить на Р операцию сложения - у нас ведь кроме операции следования пока ничего нет, ...

PS. А где этот форум ВМК?



_____________________________
Правила русского языка категорически против решения пределов, интегралов, рядов, матриц, определителей, функций, ...
..
26.04.2005 14:44
Не упоминайте Леопольда всуе
Цитата

bot писал(а) :
Кронекер когда-то признавал за Богом его роль в создании лишь целых чисел, а остальное все сделали люди: Die ganze Zahlen hat der lieber Gott gemacht. Alles anderes ist das Menschenswerk. Таким образом современный теор.-мн. подход признает за Богом его заслугу в созидании лишь пустого множества. :)

Вопросики:
1) Известен ли Вам действительный смысл цитированной Вами фразы Кронекера?
2) Если бы автор фразы был жив и узнал, что Вы упомянули его имя в связи с горячо ненавидимой им "теорией" множеств - он бы Вас сразу убил, или предварительно заставил бы помучаться?

С уважением,
Гастрит

26.04.2005 14:47
Ваша Вариативность,
покой Вам только снится wink

С уважением,
Гастрит

26.04.2005 15:02
Ты значишь то,
что ты на самом деле.
Надень парик с мильонами кудрей,
Стань на ходули, но в душе твоей
Ты будешь всё таким, каков ты в самом деле. biggrin

В вашем "новом" рассуждении нов только дополнительный туман - а по сути это тот же инкремент. Вы, кстати, не объяснили:
а) А почему у любого НЧ вообще есть десятичная запись?
б) А почему оная запись обязательно конечна?
в) А почему описанная Вами процедура результативна? Может, на "самом большом числе" она зависнет?

На используемом Вами уровне строгости "доказательство" может быть только одно: бесконечен класс НЧ, и всё тут. Dixi. Если такое "доказательство" Вас не устраивает - извольте давать более строгие определения (например, аксиомы Пеано, избавленные от любезно привнесённого в них bot'ом теоретико-множественного словоблудия) и чётко характеризовать используемые абстракции. Иначе говорить просто не о чем.

С уважением,
Гастрит

27.04.2005 12:22
Приятно оказаться
в одной компании с Гильбертом, который хотя и не одобрял наезды Кронекера на Кантора, тем не менее высоко оценил эту фразу, ставшую знаменитой.
Эту же мысль другими словами передал Пуанкаре:
Вся Математика может быть получена из концепции Натурального Числа.
Ни тот ни ни другой скорее всего не собирались превращать натуральные числа в фетиш. Однако вряд-ли кто станет отрицать роли натурального ряда в математике - по существу единственной модели счета.
Кронекер, имхо, сказал то, что сказал, а что по Вашему он имел в виду?



_____________________________
Правила русского языка категорически против решения пределов, интегралов, рядов, матриц, определителей, функций, ...
..
27.04.2005 15:10
Странные у Вас вкусы
- лично мне было бы очень неприятно попасть в компанию к этому мерзавцу (Гильберту, то бишь).

Цитата

bot писал(а) :
Ни тот ни ни другой скорее всего не собирались превращать натуральные числа в фетиш.

Кронекер (в отличие от Пуанкаре) был последовательным сторонником арифметизации математики: с его точки зрения, любой математический объект есть в конечном итоге натуральное число (и любое осмысленное математическое утверждение есть видоизменение некоторого чисто арифметического высказывания). Именно эту его позицию и выражает приведённая Вами фраза (которую редко кто сегодня понимает в её настоящем смысле).

Кстати, а Вы в "Основания математики" заглядывали? Или Ваше обожание Гильберта столь далеко не простирается?

Цитата

Однако вряд-ли кто станет отрицать роли натурального ряда в математике - по существу единственной модели счета.

Представляю себе bot'а, пересчитывающего что-нибудь (для определённости, стулья в комнате). Зная, что единственной моделью счёта является натуральный ряд, он не станет (как это сделал бы какой-нибудь неотёсанный неуч, вроде меня) приступать к процессу, прежде чем получит в своё распоряжение весь этот ряд целиком. Так что всю свою дальнейшую жизнь он потратит на построение всё новых и новых натуральных чисел. Конечно, с точки зрения неотёсанных неучей (вроде меня), для решения конкретной задачи о перечёте стульев числа вроде гугола на фиг не нужны, - но ведь потому-то bot и мудр, что точно знает: без ряда в деле счёта никуда! razz

Стулья, конечно, он так и не пересчитает (помрёт раньше), но разве это важно для истинного мудреца? Fiat justitia, pereat mundus! razz razz razz

Цитата

Кронекер, имхо, сказал то, что сказал, а что по Вашему он имел в виду?

То, что он сказал, мне известно. Я интересовался, известен ли Вам смысл сказанного им. Судя по всему, этот смысл Вам был неизвестен, а жаль cry

С уважением,
Гастрит

27.04.2005 18:42
???
Цитата

Гастрит писал(а) :
- лично мне было бы очень неприятно попасть в компанию к этому мерзавцу (Гильберту, то бишь).
???
Почему Гильберт -мерзавец?! Потрудитесь обосновать, пожалуйста.

С уважением, Свинтус
27.04.2005 19:14
!!!
Цитата

Свинтус писал(а) :
Почему Гильберт -мерзавец?! Потрудитесь обосновать, пожалуйста.

С уважением, Свинтус

Дано: журнал "Математические каракули", в редакции которого сидят Свинтус, Гастрит, и ещё человек десять.

Отношение Гастрита к математическим (и не только) воззрениям Свинтуса известно. И допустим, что восхотелось ему вышвырнуть Свинтуса из редакции "Математических каракуль" - а открыто заявить об этом кишка ему тонка. И вот идёт тогда он к одному из сторонних членов редакции X, да и предлагает ему выступить на очередном заседании редколлегии с предложением о закрытии журнала в связи с неустранимыми разногласиями внутри редакции. X (наивный человек) так и делает. После чего все редакторы подают заявления об уходе, и Свинтус (который от X гадостей не ожидает) - в том числе. Немедленно после такого закрытия журнала "Математические каракули" Гастрит объявляет о создании нового журнала "Математические каракули", в состав редакции которого входят все прежние редакторы, кроме Свинтуса.

Спрашивается: как бы Вы оценили вышеописанную интрижку Гастрита?

С уважением,
Гастрит

P.S.: Кстати - не поинтересуетесь ли на досуге у Alopex'а, как он оценивает моральный облик гр.Гильберта?

29.04.2005 12:38
Напрасно
Вы нападаете. Ушами_хлоп представил одну из возможных интерпретаций модели Пеано. Какую брать без разницы - они все изоморфны. Еще проще вместо десятичной записи взять двоичную:

Берем алфавит из двух букв 0 и 1. И по индукции, которую нам предоставляет модель Пеано строим натуральный ряд:
1->10->11->100->...
Здесь a->b означает, что a'=b.

Только не надо говорить, что я в порочный круг впадаю - взял двоичную запись, а она может появиться только после введения натуральных чисел. :)
Просто для узнаваемости было сказано, а вообще я мог и не говорить, что это двоичный код. То есть пусть натуральными числами будут конечные слова в двухбуквенном алфавите, не начинающееся с буквы 0, с описанной выше операцией следования.

Можно и однобуквенным алфавитом обойтись, как это делается не только в предмете, к которому вы питаете, мягко говоря, чувства далекие от симпатии, но и делали наши далекие пращуры, учившихся считать не на предметах мебели, а на шкурах и бивнях мамонтов:
|->||->|||->||||->...



_____________________________
Правила русского языка категорически против решения пределов, интегралов, рядов, матриц, определителей, функций, ...
..
29.04.2005 15:02
Да что Вы говорите!
Цитата

bot писал(а) :
Берем алфавит из двух букв 0 и 1. И по индукции, которую нам предоставляет модель Пеано (! - Гастрит) строим натуральный ряд:
1->10->11->100->...
Здесь a->b означает, что a'=b.

Только не надо говорить, что я в порочный круг впадаю - взял двоичную запись, а она может появиться только после введения натуральных чисел. :)

Не укажете ли место в рассуждениях ушами_хлоп, где было бы чётко отмечено, что мы рассуждаем в предположении истинности высказываний \((\forall x(\exists y(y=x')))\), \((\forall x(\forall y((x=y)\lor(x'\neq y'))))\) и \((\forall x(x'\neq 0))\)? А без этих предположений проведённые рассуждения повисают в воздухе!

Цитата

Просто для узнаваемости было сказано, а вообще я мог и не говорить, что это двоичный код. То есть пусть натуральными числами будут конечные слова в двухбуквенном алфавите, не начинающееся с буквы 0, с описанной выше операцией следования.

Замечательно - возьмём электрический счётчик (с фиксированным числом разрядов). Операция следования там определена именно так, как Вы с ушами_хлоп и говорите - вот только после "максимального" числа 99...9 он проворачивается на 00...0. Только не надо говорить, что здесь "новый разряд не дописан" - он дописан, просто результат дописывания оказался равен нулю (т.е. предположение $(\forall x(x'\neq 0))$ не выполняется). Что, по-Вашему, число возможных различных показаний счётчика бесконечно? razz

Цитата

Можно и однобуквенным алфавитом обойтись, как это делается не только в предмете, к которому вы питаете, мягко говоря, чувства далекие от симпатии,

Я, конечно, догадывался, что Вы говорите о вещах, в которых мало смыслите - но искренне не думал, что Вы в них смыслите НАСТОЛЬКО мало razz razz razz

С уважением,
Гастрит

P.S.: Пращуры, говорите? А Вам известно, что вопрос о существовании/несуществовании самых больших чисел на полном серьёзе обсуждался гораздо позже эпохи мамонтов (в Древней Греции)? Более того - даже в современную эпоху этот вопрос далеко не все считают самоочевидным (поищите, например, в сети незабвенный трактат Рашевского "О догмате натурального ряда").

29.04.2005 15:37
re
Покажите мне то место, где я говорил о том, что длина слов у меня ограничена. Так что эл. счетчик не годится. Циклов в модели Пеано не бывает в силу аксиомы. Эти аксиомы однозначно определяют модель Пеано с точностью до изоморфизма.
Строить по индукции она позволяет. То что продемонстрировал ушами_хлоп есть, хотя и не очень внятно описанное, но все же построение по индукции.
Что касается бесконечности модели Пеано, то об этом я уже говорил:
устраиваем биекцию основного множества с его частью по правилу x ->x'. В силу 1-ой аксиомы образ отображения есть собственная часть, а вторая аксиома говорит, что это отображение инъективно.
Таким образом всякая алг. система (называемая унаром), удовлетворяющая только лишь двум первым аксиомам будет бесконечной.



_____________________________
Правила русского языка категорически против решения пределов, интегралов, рядов, матриц, определителей, функций, ...
..
29.04.2005 16:13
rere
Цитата

bot писал(а) :
Покажите мне то место, где я говорил о том, что длина слов у меня ограничена. Так что эл. счетчик не годится.

Да нет - это Вы покажите мне у ушами_хлоп место, где говорится про неограниченность длины слов! Так что счётчик именно годится, пока про обратное не сказано явным образом!

Цитата

Циклов в модели Пеано не бывает в силу аксиомы. Эти аксиомы однозначно определяют модель Пеано с точностью до изоморфизма.

Покажите, где у ушами_хлоп выписаны эти аксиомы.

Цитата

То что продемонстрировал ушами_хлоп есть, хотя и не очень внятно описанное, но все же построение по индукции.

Построение по индукции, в котором чётко не отмечено предположение о допустимости этой индукции, есть неверное (вообще говоря) построение. Примером является как раз счётчик (и вообще любые вычеты).

Цитата

Что касается бесконечности модели Пеано, то об этом я уже говорил:
устраиваем биекцию основного множества с его частью по правилу x ->x'.

Покажите мне эту биекцию - мечтаю увидеть. Но только именно саму биекцию, а не её описание - ладушки, мечтатель Вы наш канторовский? razz

С уважением,
Гастрит

29.04.2005 17:22
rerere
1. Вообще то дискуссию начал школьник с вопроса, который можно считать простым, а можно и сложным и по сути упирается в вопрос - верим ли мы в существование хотя бы одной модели Пеано. Если да, то ушами_хлоп по сути отвечал верно. Опущенные детали легко восстанавливаемы.

2. Счетчик и даже петля не является контрпримером. И то и другое - индуктивные множества, в качестве стартового элемента в цикле можно брать любой его элемент.

3. По второй аксиоме из х'=y' следует х=у, а это определение инъективности. То, что образ отображения является частью основного множества следует из первой аксиомы. А может быть, Вы не верите даже в существование отображения, как множества пар с определенными свойствами?

4. А может быть мы здесь еще станем обсуждать непротиворечивость и/или неполноту арифметики? Лично у меня нет ни малейшего желания.

5. По существу все утверждения в математике - это импликации, хотя явно посылка частенько и не указывается, однако присутствует по умолчанию.


PS. Что-то мне это построение натурального ряда в алфавите {re} начинает надоедать. Пойду-ка я посплю - уж вечер у нас.

Приятно было пообщаться. :)



_____________________________
Правила русского языка категорически против решения пределов, интегралов, рядов, матриц, определителей, функций, ...
..
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти