Бесконечность числового ряда

Для любых двух натуральных (это в частности) чисел определена операция сложения, и значит для любого N N+1 --- это тоже натуральное число.

Цитата

Хм... На форуме ВМК мне сказали, что это не докажешь, там аксиома Архимеда какая-то...

Что только подтверждает и без того очевидный факт, что на ВМК математики не знают. В частности, не знают, что говорит аксиома Архимеда. Да ещё и доказывать бесконечность N не умеют, оказывается

Ваша Конструктивность, оставьте неофита в покое. Каждый должен сам выбрать свой путь

play_, пусть многомудрые речи многоуважаемого Гастрита не смущают Вас, возможность познакомиться с этим учением еще представится, но всему свое время.

Смотря что они имели в виду. Если о том, что сначала надо договориться о предмете доказательства в смысле, что у нас в фудаменте, то они совершенно правы. А в самом деле, что такое натуральное число?

Натуральный ряд можно строить по-разному. Можно сначала аксиоматически задать сразу все множество действительных чисел. В том числе среди аксиом будет аксиома Архимеда. Тогда к натуральным мы спустимся как к части этого большого множества, порожденного числом 1 с помощью сложения: 1, 1+1, 1+1+1, ... Тогда все будет пучком - предположение о конечности N приводит к противоречию.
Можно поступить иначе. Начинаем с постройки натурального ряда, потом из него строим целые числа, потом рациональные, а из них действительные.
Натуральный ряд можно задать аксиоматически с помощью модели Пеано:
Пусть в множестве Р с выделенным элементом 0 определена операция ' (штрих, называемая операцией следования), удовлетворяющая аксиомам
1) Ни для какого x из Р не выполняется равенство x'=0.
2) Если х'=y', то х=у.
3) Аксиома индукции. Пусть А - непустое подмножество в Р, удовлетворяющее свойствам:
а) 0 входит в А
б) вместе с любым х, входящим в А, в него входит и x'
Тогда А=Р.
Примеры модели Пеано:
1) Р={|, ||, |||, ...}. Выделенный элемент здесь |, а операция следования - приписывание к имеющимся палочкам еще одной палочки. Если к Р добавить еще пустой символ empty и поставить его впереди остальных, то по сути это будет теоретико множественное построение натуральных чисел исходя из пустого множества. Кронекер когда-то признавал за Богом его роль в создании лишь целых чисел, а остальное все сделали люди: Die ganze Zahlen hat der lieber Gott gemacht. Alles anderes ist das Menschenswerk. Таким образом современный теор.-мн. подход признает за Богом его заслугу в созидании лишь пустого множества. :)
2) N - если мы уже знаем, что это такое. Операция следования - это прибавление числа 2.
3) Четные неотрицательные числа. Операция следования - это прибавление числа 2.
Все модели Пеано в определенном смысле (в который сейчас не вдаюсь) равноценны. Вот и берем в качестве N любую из этих равноценных моделей.
Тогда для доказательства бесконечности N, нам еще надо понять, а что это такое.
Определение. Множество бесконечно, если существует взаимно однозначное соответствие между элементами этого множества и элементами некоторого его собственного подмножества.
Теперь из аксиом Пеано легко такое вз. одн. соотв. с частью установить:
x <--> x'.
Фактически бесконечность N обеспечивается первыми двумя аксиомами Пеано.

В принципе можно и в этих рамках опять плясать от противного, но это долгий путь. Чтобы определить понятие меньше-больше нам потребуется сначала определить на Р операцию сложения - у нас ведь кроме операции следования пока ничего нет, ...

PS. А где этот форум ВМК?



_____________________________
Правила русского языка категорически против решения пределов, интегралов, рядов, матриц, определителей, функций, ...
..

покой Вам только снится

С уважением,
Гастрит

в одной компании с Гильбертом, который хотя и не одобрял наезды Кронекера на Кантора, тем не менее высоко оценил эту фразу, ставшую знаменитой.
Эту же мысль другими словами передал Пуанкаре:
Вся Математика может быть получена из концепции Натурального Числа.
Ни тот ни ни другой скорее всего не собирались превращать натуральные числа в фетиш. Однако вряд-ли кто станет отрицать роли натурального ряда в математике - по существу единственной модели счета.
Кронекер, имхо, сказал то, что сказал, а что по Вашему он имел в виду?



_____________________________
Правила русского языка категорически против решения пределов, интегралов, рядов, матриц, определителей, функций, ...
..

Цитата

Гастрит писал(а) :
- лично мне было бы очень неприятно попасть в компанию к этому мерзавцу (Гильберту, то бишь).

???
Почему Гильберт -мерзавец?! Потрудитесь обосновать, пожалуйста.

С уважением, Свинтус

Вы нападаете. Ушами_хлоп представил одну из возможных интерпретаций модели Пеано. Какую брать без разницы - они все изоморфны. Еще проще вместо десятичной записи взять двоичную:

Берем алфавит из двух букв 0 и 1. И по индукции, которую нам предоставляет модель Пеано строим натуральный ряд:
1->10->11->100->...
Здесь a->b означает, что a'=b.

Только не надо говорить, что я в порочный круг впадаю - взял двоичную запись, а она может появиться только после введения натуральных чисел. :)
Просто для узнаваемости было сказано, а вообще я мог и не говорить, что это двоичный код. То есть пусть натуральными числами будут конечные слова в двухбуквенном алфавите, не начинающееся с буквы 0, с описанной выше операцией следования.

Можно и однобуквенным алфавитом обойтись, как это делается не только в предмете, к которому вы питаете, мягко говоря, чувства далекие от симпатии, но и делали наши далекие пращуры, учившихся считать не на предметах мебели, а на шкурах и бивнях мамонтов:
|->||->|||->||||->...



_____________________________
Правила русского языка категорически против решения пределов, интегралов, рядов, матриц, определителей, функций, ...
..

Покажите мне то место, где я говорил о том, что длина слов у меня ограничена. Так что эл. счетчик не годится. Циклов в модели Пеано не бывает в силу аксиомы. Эти аксиомы однозначно определяют модель Пеано с точностью до изоморфизма.
Строить по индукции она позволяет. То что продемонстрировал ушами_хлоп есть, хотя и не очень внятно описанное, но все же построение по индукции.
Что касается бесконечности модели Пеано, то об этом я уже говорил:
устраиваем биекцию основного множества с его частью по правилу x ->x'. В силу 1-ой аксиомы образ отображения есть собственная часть, а вторая аксиома говорит, что это отображение инъективно.
Таким образом всякая алг. система (называемая унаром), удовлетворяющая только лишь двум первым аксиомам будет бесконечной.



_____________________________
Правила русского языка категорически против решения пределов, интегралов, рядов, матриц, определителей, функций, ...
..

1. Вообще то дискуссию начал школьник с вопроса, который можно считать простым, а можно и сложным и по сути упирается в вопрос - верим ли мы в существование хотя бы одной модели Пеано. Если да, то ушами_хлоп по сути отвечал верно. Опущенные детали легко восстанавливаемы.

2. Счетчик и даже петля не является контрпримером. И то и другое - индуктивные множества, в качестве стартового элемента в цикле можно брать любой его элемент.

3. По второй аксиоме из х'=y' следует х=у, а это определение инъективности. То, что образ отображения является частью основного множества следует из первой аксиомы. А может быть, Вы не верите даже в существование отображения, как множества пар с определенными свойствами?

4. А может быть мы здесь еще станем обсуждать непротиворечивость и/или неполноту арифметики? Лично у меня нет ни малейшего желания.

5. По существу все утверждения в математике - это импликации, хотя явно посылка частенько и не указывается, однако присутствует по умолчанию.


PS. Что-то мне это построение натурального ряда в алфавите {re} начинает надоедать. Пойду-ка я посплю - уж вечер у нас.

Приятно было пообщаться. :)



_____________________________
Правила русского языка категорически против решения пределов, интегралов, рядов, матриц, определителей, функций, ...
..