Простые числа в геометрической прогрессии

Числовики, помогите с вопросом о простых числах в геометрической прогрессии

В книге
Paulo Ribenboim. The Little Book of Big Primes. Изд. «Springer-Verlag», 1991 (New York – Berlin – Heidelberg – London – Paris – Tokyo – Hong Kong – Barcelona – Budapest) на стр. 173 автор пишет:
"From Dirichlet's theorem on primes in arithmetic progressions, given n>=1, there exist infinitely many integers k >= 1, such that k x 2^n + 1 is a prime, and also infinitely many integers k' >= 1, such that k' x 2^n – 1 is a prime" («Исходя из теоремы Дирихле о простых числах в арифметических рядах, для данного n >= 1 существует бесконечно много целых k >= 1 таких, что k x 2^n + 1 есть целое число, а также бесконечно много целых чисел k' >= 1 таких, что k' x 2^n – 1 является целым числом»).

Я обращаюсь ко всем специалистам, знающим вышеозначенную теорему Дирихле с двумя вопросами, ответу на которые буду бесконечно благодарен:
1. Применим ли метод доказательства теоремы об арифметических рядах к доказательству аналогичной теоремы о геометрических рядах и насколько очевидно доказательство второй теоремы?
2. Кто и когда доказал теорему о геометрических рядах?



vs

Теорема:
Для любого целого положительного n существует бесконечно много таких целых положительных чисел k, что число n x 2^k + 1 есть простое.
Похоже, однако, что Вы правы – эта теорема из «другой оперы». А жаль…



vs

13 лет тому назад один математик сказал мне, что доказать эту теорему-гипотезу труднее, чем доказать ВТФ. Но после покорения ВТФ доказательство этой теоремы-гипотезы, ввиду лаконичности и ясности формулировки, вполне может стать новой путеводной звездой для покорителей сверхинтеллектуальных проблем. (Одно только плохо: никто ранее ее не доказал.)
Конечно, по разнообразию обнадеживающих идей эта проблема намного беднее ВТФ, но, тем не менее, идей сотни. Среди них есть захватывающе интересные (например, с помощью системы линейных диофантовых уравнений). Задачи такого рода интересно решать вдвоем-втроем. Оптимальная организация: два виртуозных генератора идей и один шустрый скептик. Только однажды мне пришлось работать в такой (бесконкурентной!) группе: мы решали сложную многотранспортную задачу. Мои 20-летние усилия по созданию еще одной такой группы (по любой теме и в любой науке) успехом не увенчались. А теперь уж и совсем времени нет…



vs

Уважаемый maxal,
Преогромное спасибо за сущий подарок (опровержение теоремы)– это гораздо красивее, чем самое большое простое число (чтобы почувствовать это, нужно безрезультатно потратить уйму времени на решение проблемы).
Интересно бы узнать, как (и когда) был обнаружен этот потрясающий факт. Если он был обнаружен целенаправленно, то по трудности это задача была посложнее ВТФ.
Однако масса удивительных фактов обнаруживается случайно, походя. Можно найти в стоге сена иголку, но попробуйте найти ее еще раз, забросив ее обратно в стог!В моей копилке таких фактов и решений великое множество. Несколько было и в математике. Вот одна из них (эквивалент ВТФ для чисел, не делящихся на n):
В малой теореме Ферма число «a^n – a» делится на n, но ни при каком «а» не делится на n^2. Теорема эта является простейшим следствием из элементарного доказательства ВТФ, которое, как известно, «существовать не может», а потому расширенная малая теорема вряд ли когда-нибудь будет доказана.
Еще раз спасибо за информацию.



vs

Уважаемый maxal,
Случается найти в стоге сена иголку. Но чтобы найти две иголки, тут надо либо знать (где вторая находится), либо иметь эффективный инструмент для поиска. Но в любом случае надо поработать. Спасибо за второй подарок! (Если бы Вы составили из подобных фактов книгу, то она, несомненно, стала бы бестселлером, а я – первым покупателем.)
Да, я слишком поспешно объявил гипотезу теоремой – просто эта гипотеза постоянно возникала и путалась под ногами. (Она тянула за собой массу других интересных гипотез.)
Когда в 2000 г. (если не ошибаюсь, мы с Вами тогда немного общались) причина недоказанности ВТФ (элементарными методами) стала мне понятна, то тот же метод (преобразование цифр в числе u = a + b – c) позволил показать следующее: если равенство Ферма выполняется по последним четырем цифрам при ненулевом трехзначном окончании числа u (которое заведомо оканчивается на два нуля), то уравнение Ферма имеет решение (и это решение можно вычислить). Эта лемма со всей определенностью показывала, что противоречие в равенстве Ферма скрывается именно в последней значащей цифре числа u (это противоречие выявляется самым примитивным способом: после умножения чисел a, b, c на 11).
Была и другая лемма, что-то вроде: если последние k цифр в числе u есть нули, то к двум заданным числам в равенстве Ферма можно подобрать такое третье, что равенство Ферма будет выполняться по последним k+1 цифрам. Что опять-таки говорило о том, что корнем проблемы (в элементарном док-ве ВТФ) является последняя значащая цифра числа u. К сожалению, идеи для док-ва ВТФ рождались и обрабатывались (причем большинство из них только приблизительно, оценочно! – это другой способ математического мышления) с такой большой скоростью, что восстановить их сходу после длительного перерыва весьма затруднительно. Это очень разные работы: поиск работоспособной идеи и строгое оформление результата. Для второй работы нужно мыслить однозначно, а я к этому мало приспособлен: я смотрю в книгу, а вижу… нет, не фигу, а 10 разных фиг…
Ну, да пора бы и остановиться. Всего Вам хорошего.



vs